лекції по мат.логике / L11-propos-proof-prop

Лекцiя • 11 з математично¨ логiки та теорi¨ множин Для студентiв-прикладникiв ММФ ХНУ 1 курсу 12 листопада 2009 року

Òåìà: Формальне доведення. Числення висловлювань.

Дослiдження математично¨ логiки досить чiтко роздiляються на два типи однi стосуються cпiввiдношень мiж формулами та дiйснiстю (вiдповiдний рооздiл логiки називають семантикою), а другi стосуються виключно правильностi записiв, та правильностi переходiв вiд одних формул до iнших, не торкаючись закладеного в цих формулах глузду. Коли ми замiсть пропозицiйних змiнних пiдставля¹мо певне висловлювання чи просто значення iстиностi, i далi щось робимо, коли ми дослiджу¹мо рiвносильнi формули, то ми знаходимося в семантицi. Коли ж ми да¹мо визначення формули, домовля¹мося про вжиток дужок, то ми знаходимося в синтаксисi.

Попередня лекцiя торкалася бiльшою частиною семантики. Пропонована лекцiя буде торкатися формального доведення, а це в основному синтаксис. Проте про семантику також забувати не будемо, вона також буде використовуватися.

Неформально, змiстовно, доведення ми уявля¹мо як висування припущень, потiм iз припущень одержу¹мо висновки. Можна також уявити, що роблячи крок доведення ми кажемо:Якщо припущення правильнi, то правильним буде висновок . Отже тут використову¹ться сполучник Якщо ... то , але не для побудови формул, а для роботи з формулами. Тут виника¹ певна незручнiсть для сполучника Якщо ... то ¹ стале позначення, але вiн використову¹ться в невiдповiдному мiсцi. Уявимо собi годинник, який використову¹ться як важок на вудцiяк нам називати тепер цю рiч: таки ж годинник, чи просто важок.

Сказане ¹ поясненням, того, що в математичнi логiцi ¹ формалiзацi¨ доведення, якi використовують виключно тi ж знаки, що використовуються при побудовi формул так зване числення висловлювань, i ¹ формалiзацi¨, якi для сполучника Якщо ... то вводять новий знак`. Цей знак можна назвати знаком доведення, штопором, шваброю, чи ще якось стало¨

назви для нього нема¹. Знак ` використову¹ться в формальних доведеннях i не використову-

¹ться при побудовi формул. Формалiзацiя доведення, яке використову¹ знак `, назива¹ться численням секвенцiй1

1 Числення секвенцiй

1.1 Знак доведення i вивiднi послiдовностi

Спочатку введемо "знак доведення"`. Цей знак чита¹ться "в припущенi, що ..., можна довести, що..."Коли позначити висловлювання "В лiсi ростуть дерева"через p, висловлювання

"На деревах ¹ гнiзда"через q, а висловлювання "В лiсi ¹ гнiзда,"через r, то мiркування:"В

припущеннi, що справдi в лiсi ¹ дерева i справдi на деревах ¹ гнiзда, можна довести, що в лiсi ¹ гнiзда"можна записати у виглядi тако¨ послiдовностi символiв:

p; q ` r:

Перед знаком ` пишуть, вiддiляючи одне вiд iншого комою, припущення, а пiсля знака ` пишуть те висловлювання, яке можна довести. Запис

a1; a2; a3 ` a

1sequence англiйською мовою означа¹ послiдовнiсть

1

Бiльш правильне мiркування, нiж a ` a , важко уявити. I обгрунтувати якось цю пра-

вильнiсть, користуючись чимось iншим, крiм здорового глужду, недоцiльно. Ми зна¹мо слово, яке означа¹ самоочевиднi iстини, iстини, що не пiдлягають доведенню. Це слово "аксiома". Отже ми ма¹мо такi аксiоми доведення:

"Припустивши, що зараз лiто, можна довести, що зараз лiто";

"Припустивши, що iз парностi числа 4 випливах парнiсть числа 28, ми можемо довести, що iз парностi числа 4 випливах парнiсть числа 28"

Загальне визначення аксiом доведення ма¹ наступний вигляд: Запис

A ` A; (1)

äå A деяка формула логiки висловень, назива¹ться аксiомою доведення в логiцi висловлю-

âàíü.

Запис (1) називають схемою аксiом числення секвенцiй. Така словосполука пiдкреслю¹, що

(1) ñò๠àêñiîìîþ ëèøå ïiñëÿ òîãî, ÿêà çàìiñòü A пiдставлена певна формула логiки вислов-

лювань.

Прикладами аксiом доведення в численнi секвенцiй будуть

Аксiом доведення нескiнченно багато, ¨х стiльки ж, скiльки i формул.

Всi такi аксiоми загальновизнанi. Але для особистого вжитку можна написати i iншi аксiоми, ¨х називають позалогiчними. Наприклад, ви бажа¹те сповiстити обчислювальнiй машинi, що висловлювання "Число 5 натуральне"¹ правильним, i доведенню якомусь особливому не пiдляга¹. Тодi ви познача¹те наведене висловлювання лiтерою (наприклад, a) i пишете:

` a;

що чита¹ться так: "Можнa довести, що число 5 натуральне". Правильнiсть таких тверджень виплива¹ iз досвiду того, хто ¨х сповiща¹. Тому в даному випадку ` a буде позалогiчною

аксiомою доведення. Загальновизнаною аксiомою ` a áóòè íå ìîæå òîìó, ùî êîëè çàìiñòü a

пiдставити iнше висловлювання, можна одержати безглуздя. Наприклад, пiдставивши замiсть a висловлювання "Непарних чисел не iсну¹ "одержимо таке мiркування: "Без будь-яких при-

пущень можна довести, що непарних чисел не iсну¹". Загальновизнаним таке мiркування бути не може.

Позалогiчнi аксiоми зустрiчаються при використаннi логiки висловлювань. Але на даному етапi вивчення логiки висловлювань торкатися позалогiчних аксiом ми не будемо.

1.3 Правила доведення. ˆх групування

Припустимо, що правильнiсть мiркування

у нас не виклика¹ сумнiву. Чи буде у нас тодi викликати сумнiв правильнiсть мiркування

Щоб дати вiдповiдь на це питання, потрiбно кiлька разiв замiсть a; b; c пiдставити висловлювання. Зробимо це. Означимо

a весна дружна;

b якщо весна дружна, то буде повiнь; c áóäå ïîâiíü.

3

Вивiдна послiдовнiсть (2) прочита¹ться так: "Припустимо, що весна дружна; припустимо, що коли весна дружна, тодi буде повiнь; припустимо також, що весна дружна. В такому разi можна довести, що буде повiнь."

Вивiдна послiдовнiсть (3) прочита¹ться так:"Припустимо, що весна дружна; припустимо, що коли весна дружна, тодi буде повiнь. В такому разi можна довести, що буде повiнь." ðàç.Ми бачимо, що у вивiднiй послiдовностi (2) припущення "Весна дружна"записане зайвий

Пiдставимо тепер замiсть a; b; c â (2) òà (??) висловлювання

a скло прозоре;

b кришталь прозорий; c келихи прозорi.

Правило доведення це дрiб, у чисельнику якого написанi одна або кiлька вивiдних послiдовностей, а в знаменнику та одна вивiдна послiдовнiсть, яку можна отримати за допомогою нашого правила.

В розумностi правил переконуються, пiдставляючи замiсть висловлювальних символiв справжнi висловлювання. Для прикладу розглянемо запис

Щоб цей запис можна було взяти як правило доведення, потрiбно переконатися в узгодженнi його зi здоровим глуздом. Для цього пiдставимо замiсть a; b; c справжнi висловлювання.

Спочатку вiзьмемо

a бiлий та синiй холоднi кольори;

b червоний та чорний теплi кольори;

c крига на картинах зображухться бiлим та синiм кольорами.

Чисельник прочита¹мо тепер як "В припущеннi, що бiлий та синiй холоднi кольори, i в припущеннi, що червоний та чорний теплi кольори, можна довести, що крига на картинах зображу¹ться бiлим та синiм кольорами". Знаменник прочита¹ться так: "В припущеннi, що червоний та чорний теплi кольори, i в припущеннi, що бiлий та синiй холоднi кольори , можна довести, що кригу на картинах зображають бiлим та синiм кольором". В знаменнику, ми бачимо, написане те ж саме, що i в чисельнику, тiльки припущення переставленi. Тому коли мiркування чисельника правильнi, тодi правильнi i мiркування знаменника. В наведеному прикладi правило зi здоровим глуздом узгоджу¹ться.

Нехай тепер

4

a сучасний танець модний;

b модний танець забува'¹ться через рiк; c сучасний танець забува'¹ться через рiк.

Пiдставивши наведенi висловлювання замiсть a; b; c â (??), прочитавши чисельник i знамен-

ник, бачимо, що наведенi в них мiркування одночасово правильнi або одночасово неправильнi. I тому (4) можна взяти як правило доведення. Лишилося подумки перебрати можливi висловлювання i дiйти висновку, що в якому б порядку припущення не писали, висновок можна зробити той же самий, i (4) можна взяти як правило доведення.

Можна собi уявити, що правил доведення можна написати скiльки завгодно. Але нам потрiбнi тiльки основнi. Основнi правила доведення розбиваються на 5 груп:

1-а група поясню¹, що можна робити з припущеннями;

2-а група поясню¹ наше розумiння сполучника "якщо ..., то ..."; 3-а група поясню¹ наше розумiння сполучника "i";

4-а група поясню¹ наше розумiння сполучника "або";

5-а група роз'ясню¹ застосування заперечувального звороту "неправда, що ..."та наше розумiння суперечностi.

1.4 Правила, що стосуються перетворення сукупностi припущень

Пiдкреслимо, що сила припущення вiд його кiлькаразового повторення не збiльшухться. Наприклад, нехай iз припущень

1)ми вивча¹мо логiку;

2)якщо ми вивча¹мо логiку, то будемо бiльш освiченi;

3)ми вивча¹мо логiку;

4)ми вивча¹мо логiку,

можна довести, що

5) будемо бiльш освiченi.

Тодi той же висновок "Будемо бiльш освiченi"можна одержати не повторюючи кiлька разiв "Ми вивча¹мо логiку", досить це зробити один раз. В справжньому життi iнколи приходиться повторювати речення кiлька разiв, чи то для бiльшощ переконливостi, чи щоб бiльше звернути увагу. Але в математичнiй логiцi висловлювання не бувають бiльше чи менше переконливимивони бувають правильнi i не правильнi. Також мiркування не бувають бiльше чи менше переконливi вони також бувають тiльки цiлком правильнi, або цiлком неправильнi. Сказаним ми обгрунтували, що кiлька разiв повторене припущення можна замiнити одним, вiд цього висновок не втратить чинностi. Це правило (правило вилучення повтореного припущення) символьно записухться так :

a1; a2; :::; an; a; a; b1; b2; :::; bm ` c

a1; a2; :::; an; a; b1; b2; :::; bm ` c

Правило вилучення повтореного припущення можна формулювати i словами : 5

Правило вилучення повтореного припущення Вiд вивiдно¨ послiдовностi, в якiй певне припущення повторене двiчi, можна перейти до вивiдно¨ послiдовностi, в якiй припущення записано лише один раз.

Друге правило вiдмiча¹ несутт¹вiсть порядку, в якому записанi припущення. Наведемо приклад. Нехай припущення a "зараз лiто"i припущення b "зараз не лiто суперечливi,

Тодi суперечливими будуть також припущення: b "зараз не лiто"i a "зараз лiто", що у виглядi вивiдно¨ послiдовностi запишеться так:

В загальному випадку вивiдна послiдовнiсть може мати довiльну скiнченну сукупнiсть припущень. Тому в символiчному виглядi в загальному випадку правило, що розгляда¹ться (правило довiльностi порядку припущень) запису¹ться у виглядi

6

Тут i нижче, припускаючи певну розкутiсть, замiсть слiв конкретний випадок правила доведення будемо також вживати словосполуку правило доведення , до непорозумiнь це не призведе. Щоб пiдкреслити наявнiсть змiнно¨, замiсть яко¨ пiдставляють формулу, кажуть про схему правил доведення. В такому випадку замiсть виразу конкретний випадок правила доведення потрiбно вживати вираз правило доведення

В (10) сказано, що мiняти мiсцями можна лише два сусiднi припущення. Оскiльки мiняючи сусiднi припущення ми можемо досягти будь-якого порядку запису припущень, то словами правило довiльностi порядку припущень формулю¹ться так:

Правило довiльностi порядку припущень Вiд вивiдно¨ послiдовностi можна перейти до iншо¨ вивiдно¨ послiдовностi, яка ма¹ тi ж самi припущення, що i перша, але вони записанi в будь-якому порядку, i той же самий висновок.

Останн¹, трет¹ правило перетворень припущень, що назива¹ться правилом добавляння зайвого припущення, формулю¹ться так:

Правило добавляння зайвого припущення Якщо з меншо¨ кiлькостi припущень можна зробити якийсь висновок, то з бiльшо¨ кiлькостi припущень тим бiльше можна зробити той же висновок.

Проiлюструхмо сказане. Нехай наступне мiркування

правильне, де

a "лiс цe легенi планети" b "на планетi ¹ лiси"

c "планета ма¹ легенi".

Словами наведене мiркування чита¹ться так: "Припустимо, що лiс це легенi планети. Припустимо також, що на планетi ¹ лiси. Тодi можна довести, що планета ма¹ легенi"

Тодi правильним буде також мiркування

äå a; b; c означають тi ж висловлювання, що i в попередньому випадку, а d означах висловлювання "в лiсi живуть тварини". Словами мiркування (12) передахться так:

"Припустимо, що лiс це легенi планети. Припустимо також, що мають мiсце твердження на планетi ¹ лiси, та твердження в лiсi живуть тварини. Тодi можна довести, що планета ма¹ легенi".

7

Символiчно перехiд вiд вивiдно¨ послiдовностi (11) до вивiдно¨ послiдовностi (12) запишеться у виглядi правила a; b ` c :

a; b; d ` c

В реальнiй ситуацi¨ для бiльшо¨ переконливостi пiдсилюють достатню аргументацiю. Наведемо приклад. Введемо висловлювальнi символи

a - "У 860 роцi Русь зробила вiйськовий морський похiд"; b - "До 860 року Русь робила вiйськовi морськi походи";

c - "В походi 860 року брало участь близько 200 кораблiв"; d - "В IX столiттi Русь робила вiйськовi походи";

e - "В IX столiттi Русь мала вiйськовий флот".

Будемо вважати правильною (iнту¨тивно) вивiдну послiдовнiсть

тобто будемо вважати правильними мiркування "Припустимо, що у 860 роцi Русь зробила вiйськовий похiд, i припустимо, що до 860 року Русь робила вiйськовi походи. Тодi можна довести, що "В IX столiттi Русь робила вiйськовi походи i в IX столiттi Русь мала вiйськовий флот".

Але замiсть (13) ми можемо написати

тобто ми можемо вважати правильними мiркування

Припустимо, що у 860 роцi Русь зробила вiйськовий морський похiд; припустимо, що до 860 року Русь робила вiйськовi морськi походи; припустимо також, що у походi 860 року брало участь близько 200 кораблiв. Тодi можна довести, що в IX столiттi Русь робила вiйськовi походи i в IX cтолiттi Русь мала вiйськовий морський флот .

Добавлянням висловлювання c "В походi брало участь близько 200 кораблiв"ми пiдкре-

слю¹мо, що слово "флот"розумi¹ться як вельми серйозне об'¹днання кораблiв та засобiв ¨х пiдтримки. I добавляння зайвого припущення висновку не завадить.

Перехiд вiд (13) до (14) запишеться у виглядi правила

äå a1; a2; : : : ; an; a; b це формули логiки висловлювань.

Вважа¹ться, що окремими випадками правила добавляння зайвого припущення ¹ наступнi

8

Звичайно, (15) також буде окремим випадком правила (16).

Ми в правилi (16) добавля¹мо зайве припущення справа. Але комбiнуючи правило добавляння зайвого припущення iз правилом довiльностi порядку припущень ми можемо одержати правило, за яким добавляти зайве припущення можна в будь якому мiсцi серед тих припущень, що уже були, тобто окремими випадками правила добавляння зайвого припущення будуть

a ^ b; c ` a ^ b ^ c ; a ^ b; d; c ` a ^ b ^ c

1.5 Правила доведення, що стосуються iмплiкацi¨

Перше правило, що стосу¹ться iмплiкацi¨ ) правило введення логiчного сполучника "якщо

..., то ...", пiдкреслю¹, що розумiння знака ` дуже близьке до розумiння знака ).

Наведемо приклад. Нехай в припущеннi, що лiтом iде снiг, можна довести, що лiтом бува¹ холодно. Символiчно сказане запишеться так

äå

ëiòîì iäå ñíiã ,

b лiтом бува¹ холодно .

Тодi можна довести правильнiсть висловлювання "якщо лiтом iде снiг, то лiтом бувах холодно". Останн¹ символiчно у виглядi вивiдно¨ послiдовностi запишеться так :

äå

a "сьогоднi лiто"; b "ìè íà ðiçöi";

c "ми будемо купатися".

9

Перехiд вiд послiдовностi (19) до вивiдно¨ послiдовностi (20) запишеться так:

Це також конкретний приклад введення сполучника ).

Головна рiзниця мiж знаками ` òà ) поляга¹ в мiсцi ¨х використання: ) ми використову¹мо

при записi формул, а знак ` використову¹ться при дослiдженнi уже створених формул. Можна

навести подiбний приклад iз побуту: шафа, використана для зберiгання бiлизни, назива¹ться комодом, а шафа, використана для зберiгання посуду, назива¹ться сервант. Гарна господиня побачить багато рiзного у комода i у серванта. Подiбним чином логiк вкаже бiльшу рiзницю мiж знаками ` òà ), íiæ âiäìi÷åíî íà ñòîðiíöi.

Правило введення ) В загальному випадку правило введення сполучника )

äå A1; A2; :::; An; B деякi формули. Зокрема правилом введення сполучника )

Друге правило, що стосу¹ться сполучника ), назива¹ться правилом вiддiлення засновку,

або модус поненс. Дослiвно модус поненс (латинською мовою пишеться modus ponens) переклада¹ться як правило вiддiлення. Латинську назву вживають, щоб пiдкреслити особливу важливiсть цього правила в логiцi, а також вiддаючи данину традицi¨. Проiлюстру¹мо його.

Озназимо

a "ñíiã áiëèé"

b "снiг видно на рiллi".

Нехай можна довести, що снiг бiлий (висловлювання a) i можна довести, що коли снiг бiлий, то його видно на рiллi (висловлювання a ) b), тобто в символьному виглядi ми можемо

написати

(21)

Тодi можна вважати доведеним, йо снiг видно на рiллi (висловлювання b), тобто в символьному

Перехiд вiд (21) до (22) запишеться у виглядi правила

`a; ` a ) b:

`b

Це i ¹ конкретний випадок правила modus ponens.

Ще один приклад. Припустимо, що нам потрiбно довести твердження a: a "Трикутник зi сторонами 3,4,5 прямокутний".

10