лекції по мат.логике / L1-pract-log-sets

Висловлення, символи, множини

Григорiй Чарльзович Курiнний Жовтень 2010 року

Çìiñò

2.2Êîí'þíêöiÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3Äèç'þíêöiÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4Iмплiкацiя та еквiваленцiя . . . . . . . . . . . . . 11

2.5Заперечувальний зворот неправда, що... . . . . 14

3Множини, пiдмножини, унiверсальна множина 16

3.1Множини, унiверсальна множина, порожня множина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2Пiдмножини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

1 Висловлення

1.1 Означення та закон тотожностi.

Особливiстю математичного мислення ¹ тяжiння до точних означень, завдяки яким всi математики розумiють вживанi термiни однаково. Почнемо з наступного:

Висловлення, це розповiдне речення, сказане в якому або безумовно вiдповiда¹ дiйсностi (iстинне), або безумовно не вiдповiд¹ дiйсностi (хибне), але воно не може в один i той же час бути i iстинним i хибним.

Кожен термiн, що входить до означення, повинен бути ранiше введеним, тобто мати сво¹ власне означення (тодi його назвемо означуваним), або мати розлоге пояснення прикладами (тодi його назвемо первiсним). Що таке точка, пряма, натуральне число це первiснi термiни, або первiснi поняття. Що таке гострий кут, трикутник, степiнь натурального числа це означуванi поняття, означуванi термiни. Тiльки пiсля того, як став вiдомий точний змiст вживаних у висловленнi термiнiв, можна обговорювати, наскiльки сказане у висловленнi вiдповiда¹ дiйсностi.

ñòiДалi, мислення математика пiдкоря¹ться закону тотожно-

Закон тотожностi: Значення слiв, вжитих у розповiдному реченнi, можуть бути i повиннi бути уто- чненими так, що сказане в цьому реченнi буде або

2

безумовно правильним або безумовно хибним, але не тим i другим одночасно. Значення слiв протягом обговорення сказаного в цьому реченнi не змiнюються.

На практицi все не так просто. Звичайно значення слiв змiнюються. Так ви можете говорити про овочi як про розсаду, потiм як про рослини, а потiм овочi можуть стати продуктом харчування. Звичайно, такi змiни не завдають спiвбесiдникам жодних незручностей. Проте можна уявити i непорозумiння. Для прикладу, припустимо, що у вас ¹ дозвiл продавати ово- чi i тiльки овочi. I ви бажа¹те продавати козельцi, про якi не чули контролюючi органи. Козельцi на ринках не продають i, вiдповiдно, в ¨жу не вживають, традицiя вжитку козельцiв в Укра¨нi вiдсутня. Але ви зна¹те, що в Англi¨ ¨х продають як овочi. Отже тут можливе непорозумiння.

Випускниця механiко-математичного факультету пiшла працювати в бухгалтерiю. Там ¨й потрiбно було обчислювати третину вiд певних сум. Це вона робила простим дiленням суми на три, за що й одержала помiтне покарання ця випускниця знехтувала роз'ясненням, як потрiбно пiдраховувати третину. А третину потiбно пiдраховувати множенням числа на 0.33.

Якщо покласти на депозит 100 гривень на рiк пiд 10%, то ви цiлком можете не одержати в кiнцi термiну дi¨ депозиту 110 гривень. Слово рiк , вжите в уснiй розмовi може не вживатись в угодi i розумiтися як 365 днiв. А дати в угодi проставленi так, що ви тримали грошi лише 364 днi. Таким чином ви отрима¹те меншу суму, нiж очiкували.

Коли математики порушують закон тотожностi, то вони кажуть, що мiркування ведуться з певною точнiстю . Щоб показати, наскiльки математики можуть бути розкутими в дотриманнi закону тотожностi, звернемо увагу на термiн кут , i наведемо кiлька висловлень, що стосуються кутiв.

² Кут це геометрична фiгура, що утворена двома променя-

3

ми, якi виходять iз однi¹¨ точки. Ця точка назива¹ться вершиною кута.

²Трикутник ма¹ три внутрiшнi i три зовнiшнi кути.

²Трикутник ма¹ 3 внутрiшнi i 6 зовнiшнiх кутiв.

²Синус кута 20 дорiню¹ 0.9129452507...

²Синус кута 20o äîðiâíþ¹ 0.3420201433...

²Кожен кут ма¹ сумiжний. Сума градусних мiр кута i сумiжного до нього дорiвню¹ 180o

²Êóò 270o не ма¹ сумiжного.

Житт¹вий досвiд показу¹, що коли одна людина не бажа¹ зрозумiти iншу, то ¨й це вдасться. I нiякi означення ¨м не допоможуть. Навпаки, люди, що ставляться один до одного прихильно, можуть вживати слова зовсiм в рiзних значеннях, змiнювати цi значення протягом розмови, i прекрасно однозначно розумiти один одного. Альтернативою до закону тотожностi можна взяти закон неусувно¨ багатозначностi:

За будь-яких обставин, будь-яке слово багатозначне. При обговореннi висловлень значення слiв повиннi змiнюватися в прийнятних межах.

Ще однi¹ю обставиною, яка вплива¹ на оцiнку правильностi чи хибностi сказаного у висловленнi, ¹ так звана передумова, чи пресупозицiя додаткове, неявно сформульоване повiдомлення. В реченнi Студенти знають, що заняття почнуться 25 серпня неявно сказано, що заняття почнуться 25 серпня. От це висловлення Заняття почнуться 25 серпня i називають передумовою або пресупозицi¹ю.

4

Наведемо приклади математичного контексту, в якому передумови стають сутт¹вими.

На математичнi олiмпiадi учням запропонували знайти загальну кiлькiсть хат в трьох селах, коли цi кiлькостi (позна- чимо ¨х x; y; z) задовольняють систему рiвнянь

2x + 3y + z = 63; 4x + 2y + 5z = 60; 3x + 4y + 3z = 84

Учнi додали три рiвняння одне до одного, одержали рiвняння 9x+9y +9z = 207, роздiлили одержане рiвняння на 9, одержа-

ëè x+y+z = 23 i записали вiдповiдь Загальна кiлькiсть хат

в трьох селах дорiвню¹ 23. Така вiдповiдь визнана неправльною, оскiльки розв'язок системи x = 10; y = 15; z = ¡2 ìi-

стить вiд'¹мне число, а кiлькiсть хат не може бути вiд'¹мною. Отже, тi, хто перевiряв роботи, побачили у вiдповiдi передумову кiлькiсть хат в кожному селi додатн¹ цiле число , а учнi у свою вiдповiдь таку передумову не вкладали.

В курсi алгебри студенту можуть запропонувати знайти суму кубiв коренiв квадратного тричлена не знаходячи самих коренiв. Звичайна ситуацiя передумовою цi коренi iснуюють нехтують.

I в математичному контекстi, i в позаматематичному життi оцiнюючи правильнiсть чи хибнiсть сказаного потрiбно звертати увагу на пресупозицiю згоджуючись iз сказаним ви згоджу¹тесь iз передумовою.

Передумова може бути сховна в iнтонацi¨, рухах тiла, чи у формi запису. У висловленнi Вiн чудова, чемна, чуйна людина три букви ч вказують на жарт чи глузування. За обставин, коли вам показують автомобiль i кажуть, що це пароплав, але в iнтонацiях переда¹ться пресупозицiя Я до тебе дуже i дуже добре вiдношусь , то оцiнка iстиностi висловлення може бути не очевидною.

5

1.2Закон виключеного третього та закон суперечностi

В позаматематичному життi використову¹ться багато словосполук для оцiнки правильностi чи ступеня правильностi сказаного. Це i майже правильно , бажано, щоб було правильно ,сподiваюсь, що правильно , не знаю , сказане ¹ безглуздям та подiбнi. В математичному життi для оцiнки вiдповiдностi сказаного дiйсностi використовують лише так та нi . Це i ¹ змiстом наступного закону.

Закон виключеного третього. Всi використовуванi твердження або правильнi, або неправильнi iншi оцiнки неможливi.

Наступний закон заставля¹ для оцiнки правильностi сказаного вживати лише одну оцiнку.

Закон суперечностi. В один i той же час i саме твердження i його заперечення не можуть бути правильними.

На практицi можна в один i той же час вважати, що 1) завжди 1+1 =2 i 2) якщо до однi¹¨ крапельки додати це одну крапельку, то буде одна крапелька. В книзi В.С.Прол¹¹ва Енциклопедiя порокiв. Виправдання вад та слабкостей людсько¨ натури 1 автор для кожно¨ iз 100 вад людсько¨ вдачi знаходить точку зору, з яко¨ ця вада не тiльки не ¹ вадою, а навiть ма¹ позитивне забарвлення.

Подiбно до того, як люди порушують правила вуличного руху, так i математики можуть порушувати сво¨ неявно сформульованi правила. Так математик може сказати, що функцiя f це правило, згiдно якого для даного числа x обчислю¹ться

1Пролеев С. В. Энциклопедия пороков оправдание изъянов и слабостей челове- ческой натуры. К.: Наукова Думка, 1996

6

iнше число f(x) . Беремо висловлення двi функцi¨ x2 i x2¡3+3

рiзнi . Це висловлювання хибне, тому що обчислюючи для кожного числа два вирази ми одержимо один i той же результат. I це висловлення в той же час iстинне, тому що раз правила обчислення рiзнi, то i функцi¨ повиннi бути рiзними.

2 Символи

2.1 Формалiзацi¨ та висловлювальнi символи

В математицi часто використовують слова, що беруть початок у словi форма. Форму розумi¹мо як набiр обмежень. Так гле- чик зада¹ обмеження у просторi, вiн ма¹ зовнiшню форму, i внутрiшню форму. Ця внутрiшня форма може бути заповнена молоком чи водою. Думки людини обмежуються свiтоглядом, досвiдом, обставинами. Отже думки течуть у певних формах. Многочлени вiд кiлькох змiнних, на доданки яких накладенi тi чи iншi обмеження називають формами.

Пiд формалiзацi¹ю розумiють вiдкидання несутт¹вого. Для прикладу, нехай трамвай проходить 4 зупинки за 12 хвилин. Обчислимо, за скiльки звилин вiд проходить одну зупинку. Для розв'язування вiдкида¹мо як несутт¹ве розмiри трамвая, його колiр, кiлькiсть колiс, нерiвномiрнiсть руху, час зупинки. Те, що лишилося, i ¹ формалiзацiя задачi. Отже формалiзована задача ма¹ вигляд Точка рiвномiрно руха¹ться по прямiй i проходить три однаковi вiдрiзки за 12 хвилин. За скiльки часу точка проходить 1 вiдрiзок? . Вiдповiдь За 3 хвилини . Замiсть слова формалiзацiя можна вживати слово абстракцiя. Отже абстрагуватися вiд чогось означа¹ нехтувати цим, абстракцiя це те, що одержане пiсля вiдкидання несутт¹вого. Абстракцi¹ю трамваю може бути точка. Абстрагуючись вiд обставин можна вважати, що вода ¹ рiдиною.

При розв'зуваннi задачi з фiзики часто нехтують опором

7

ïîâiòðÿ.

Подiбно до того, як трамвай щойно став точкою, що руха¹ться по прямiй, так i висловлення ста¹ пiсля формалiзацi¨ висловлювальним символом.

Так при розв'язуваннi певно¨ задачi висловлення Число 12 дiлиться на 4 може бути (i звичайно так робиться) для зру- чностi позначене буквою p або iншою буквою чи символом.

При формалiзацi¨ висловлення нехтують пресупозицi¹ю, нехтують шрифтом запису, нехтують мовою, якою воно сказане, i т. п.

2.2 Êîí'þíêöiÿ

Бiльш складнi висловлення одержуються iз бiльш простих за допомогою сполучникiв. Сполучником назива¹ться службова частина мови, яка вжива¹ться для зв'язку однорiдних членiв речення, частин складного речення та складових частин тексту. Нас цiкавить лише ¨х призначення для зв'язку частин складного речення та складових частин тексту. ™ сполучники сурядностi i сполучники пiдрядностi.

Сполучники сурядностi з'¹днують рiвноправнi речення, а сполучники пiдрядностi з'¹днують залежнi речення. Сполу- чники сурядностi дiляться на ¹днальнi, протиставнi та роздiловi.

Зупинимося на ¹днальних сполучниках. ™днальнi сполу- чники i, й, та (= i), нi ... нi. Вони означають по¹днання або при¹днання:

Протиставнi сполучники а , але , та (= але) , проте , зате , однак виражають зiставлення або протиставлення: Чи- сло 50 дiлиться на 2 але не дiлиться на 4.

8

Формалiзацiю всiх ¹днальних та протиставних сполучникiв називають кон'юнкцi¹ю i символьно позна- чають ^.

Таким чином, якщо ввести висловлювальнi символи

p = ß iäó. q = Cíiã iäå.

r = Менi i снiгу нiяк не по дорозi, то висловлення (1) запишеться у виглядi

Щоб не захаращувати запис дужками використовують домовленiсть домовляються розумiти (2) як (3)

А щоб не захаращувати мову iноземними словами замiсть слова кон'юнкцiя говорять просто i .

Звернемо увагу, що суряднi речення можуть ¹днатися взагалi без сполучникiв ¹днати може i крапка i кома сказане у висловленнi (1) можна з точнiстю до несутт¹вого записати у виглядi

A = Я iду. Снiг iде. Нам не по дорозi.

9

A = Я iду, снiг iде, нам не по дорозi.

I всi цi висловлення символьно записуються у виглядi (3).

В старих текстах для позначення кон'юнкцi¨ використовувався символ & графiчне скорочення латинського сполу-

чника et, або амперсeнд (назва амперсанд також вважа¹ться правильною).

2.3 Äèç'þíêöiÿ

Згада¹мо роздiловi сполучники або , чи , або ... або , чи ...

чи , то ... то , чи то ... чи то , якi вказують на несумiснiсть явищ або ¨хню черговiсть: Або число 75 дiлиться на 7 або воно дiлиться на 8 . Чи то дощик на вулицi йде, чи то такий туман сто¨ть .

Формалiзацi¹ю всiх роздiлових сполучникiв ¹ диз'юнкцiя. Вона познача¹ться символом _:

Так в складному висловленнi

A = Два брати або мають спiльного батька, або мають спiльну матiр, або всиновленi однi¹ю сiм'¹ю. (5)

можна видiлити три простi

p = Два брати мають спiльного батька. q = Два брати мають спiльну матiр. r = Два брати усиновленi в однiй сiм'¨.

В цих позначеннях висловлення (5) запишеться у виглядi

На використання диз'юнкцi¨ (як i кон'юнкцi¨) наклада¹ться те ж саме додаткове правило кожне висловлення може ¹днатися диз'юнкцi¹ю лише з одним висловленням. Цього досягають використанням дужок взяте в дужки розгляда¹ться як

10