§ 4.Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Будет ли пространство евклидовым, если в трехмерном геометрическом пространстве за скалярное произведение принять:

а) произведение длин двух векторов?

б) произведение длин двух векторов на косинус угла между ними?

в) удвоенное обычное скалярное произведение этих векторов?

 а) нет; б) да; в) да.

2. Можно ли в двухмерном вещественном линейном пространстве скалярное произведение (х^.у) векторовх(х₁,х₂) иу(у₁,у₂) определить формулами:

а) (х,у) =х₂у₁; б) (х,у) =х₁у₁ + 2х₁у₂+ 10х₂у₂;

в) (х,у) =х₁у₂ +х₂у₁; г) (х,у) = 2х₁у₁ + 3х₂у₂;

д) (х,у) =х₁у₁ – 2х₁у₂– 2х₂у₁+ 5х₂у₂;

е) (х,у) = 7х₁у₁ + 6х₁у₂+ 6х₂у₁+ 9х₂у₂;

ж) (х,у) = 9х₁у₁ – 3х₁у₂– 3х₂у₁+х₂у₂;

з) (х,у) = 2х₁у₁ + 2х₁у₂+ 2х₂у₁+х₂у₂.

 а) ,б) нет; нарушено 1⁰; в) нет; нарушено 4⁰; г), д), е) да; ж) нет; нарушено 4⁰; з) да.

3. Доказать, что в двухмерном вещественном линейном пространстве функция F(x,y) =a₁₁x₁y₁+a₁₂x₁y₂+a₂₁x₂y₁+a₂₂x₂y₂, гдеx₁,x₂,y₁,y₂– координаты векторовx иyв некотором базисе, задает скалярное произведение тогда и только тогда, когдаa₂₁=a₁₂,a₁₁> 0,a₁₁a₂₂–> 0.

4. Можно ли в двухмерном комплексном пространстве скалярное произведение (x,y) векторовx(х₁,x₂) иy(y₁,y₂) определить формулами:

а) (х,у) =х₁у₁ +х₂у₂; б) (х,у) =х₁;

в) (х,у) = iх₁+iх₂; г) (х,у) = iх₁–iх₂;

д) (х,у) = (3 +i)х₁+ (3 –i)х₂; е) (х,у) =3х₁+ 4х₂;

ж) (х,у) =5х₁+iх₂; з) (х,у) =х₁+ (1+i)х₁+ (1–i)х₂+3х₂.

 а), б) нет; нарушено 1⁰; в) нет; нарушено 1⁰; г) нет; нарушено 4⁰; д) нет; нарушено 4⁰;

е) да; ж) нет; нарушено 1⁰; з) да.

5. Обозначив через х₁,х₂ иу₁,у₂ координаты векторовхиу в некотором базисе двухмерного комплексного линейного пространства, найти условия на комплексные коэффициентыa₁₁,a₁₂,a₂₁ иa₂₂ необходимые и достаточные для того чтобы функцияF(x,y) = =a₁₁x₁+a₁₂x₁+a₂₁x₂+a₂₂x₂определяла унитарное скалярное произведение.

 a₂₁ = ;a₁₁ > 0; a₂₂ > 0; a₁₁ a₂₂ – | a₁₂ |² > 0.

5. В пространстве полиномов степени не выше трех можно ли скалярное произведение задать так:

.

А для полиномов степени не выше двух?

 n = 3, нет; нарушено 4⁰; n = 2, да.

5. В пространстве полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше n можно ли скалярное произведение полиномовиформулами:

а) ; б); в).

 а) да; б) нет; нарушено 4⁰; в) да.

5. Показать, что в линейном пространстве полиномов степени не выше n с вещественными коэффициентами скалярное произведение

может быть задано формулами:

а) , где₀,₁, … ,_nи₀,₁, … ,_nкоэффициенты полиномовPиQ;

б) , гдеи– производныеk-го порядка многочленовPиQ в некоторой точкех=а,аR.

5. Можно ли принять за скалярное произведение в пространстве непрерывных функций, заданных на соответствующих интервалах следующие выражения:

а) на (–1, 1); б)на (0, 1);

в) на (–1, 1); г)на (–1, 1);

д) на (0, 1); е)на (0,);

ж) на (0, 1); з)на (0, 1);

и) на ().

 а) нет; нарушено 4⁰; б) да; в) да; г) нет; нарушено 4⁰; д) нет; нарушено 2⁰ и 3⁰;

е) да; ж) да; з) да, если V вещественно и нет, если Vкомплексно; и) да.

5. Найти длину вектора харифметического пространства с заданными скалярным произведением:

а) х(5, 4, 3), в стандартном скалярном произведении;

б) х(1, -2, 3, 4), в стандартном скалярном произведении;

в) х(1, 1), (х,у) =х₁у₁+х₁у₂ +х₂у₁ + 3х₂у₂ ;

г) х(1, –1, 2), (х,у) = 4х₁у₁+ 2х₁у₂ + 2х₂у₁ + 2х₂у₂ –х₂у₃ –х₃у₂ + 3х₃у₃;

д) х(1,i), (х,у) = 2х₁+ (1+i)х₁+ (1–i)х₁+ 3х₁;

е) х(1+i, 1–i), (х,у) =х₁–iх₁+iх₂+ 2х₁+(2+i)х₂+

+ (2–i)х₃+6х₃.

Составить матрицы Грамма соответствующих скалярных произведений.

 а) 5,; б),; в),; г) 3,;

д) ,; е),.

5. Найти угол между данными векторами в Е₃со стандартным скалярным произведением:

а) (2, – 3, 1), (4, – 6, 2); б) (1, – 1, 2), (1, 0, 1); в) (1, 0, –1), (–1, 2, 2).

 а) 0; б)  /6; в) 3 /4.

5. Найти угол между данными векторами в Е₄со стандартным скалярным произведением:

а) (1, –1, 1, –1), (–1, 1, –1, 1); б) (–1, 2, 3, –4), (5, 0, –2, 1);

в) (1, 2, 2, 1), (1, 1, 1, 2).

 а) ; б) 2 /3; в) arccos .

5. Найти угол между векторами в Е₂со скалярным произведением (х,у) =х₁у₁+х₁у₂ +х₂у₁ + 3х₂у₂:

а) (1, 0), (0, 1); б) (1, 0), (–1, 1).

 а) arccos ; б) / 2. 

5. Найти угол между векторами в Е₃со скалярным произведением (х,у) = 4х₁у₁+ 2х₁у₂ + 2х₂у₁ + 2х₂у₂ –х₂у₃ –х₃у₂ + 3х₃у₃:

а) (1, 0, 0), (0, 1, 0); б) (–1, 0, 0), (–1, 2, 2).

 а)  / 4; б)  / 2. 

5. В пространстве Е₄ в стандартном скалярном произведении опре-

делить (х,у) и угол между векторамихиу:

а) х(2, 1, 3, 1),у(1, 2, –2, 2); б)х(1, 2, 2, 3),у(3, 1, 5, 1);

в) х(1, 1, 1, 2),у(3, 1, –1, 0).

 а) 0,  / 2; б) 18,  / 4; в) 3, arccos .

5. В стандартном скалярном произведении найти нормированный век­­­тор, ортогональный к векторам (1, 1,1,1), (1,–1, –1, 1), (2, 1, 1, 3).

 один из векторов .

5. Найти какой-нибудь нормированный вектор, ортогональный к данной системе векторов арифметического пространства с заданным скалярным произведением:

а) (2, 2, 1), (–2, 2, 3) в стандартном скалярном произведении;

б) (1, 2, 1, 0), (1, 1, 1, 1) в стандартном скалярном произведении;

в) (1, –1, 2), в стандартном скалярном произведении;

г) (1, 1), (х,у) =х₁у₁+х₁у₂ +х₂у₁ + 3х₂у₂ ;

д) (1, 2, 0), (2, 0, –1), (х,у) = 4х₁у₁+ 2х₁у₂+2х₂у₁+2х₂у₂–х₂у₃–х₃у₂+3х₃у₃;

е) (1+i, 1–i), в стандартном скалярном произведении;

ж) (–1, 1+i, 0), в стандартном скалярном произведении.

 а) 1/3(1, -2, 2); б) например, 1/2(1, -1, 1, -1); в) например, (1, 1, 0); г)(2, -1);

д) (1, -1, 1); е) 1/2(1+i, -1+i); ж) 1/2(1–i, 1, –i). 

5. Применить процесс ортогонализации к линейно-независимой системе векторов вещественного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением

(х,у) =х₁у₁+х₁у₂ + … +х_nу_n:

а) (1, –3, 1), (4, –5, 3); б) (1, 0, –1, 3), (2, 1, –1, 3);

в) (2, 0, 1), (4, –5, 3),(1, 7, –3); г) (1, 2, 2), (1, 1, 0), (0, 1, –4);

д) (2, 1, –2), (4, 1, 0), (0, 1, 0); е) (1, 1, –1, 0), (1, 2, 0, –1), (0, 0, 1, 0).

• а) (1, -3, 1), (2, 1, 1); б) (1, 0, -1, 2), (1, 2, 1, 0); в) (2, 0, 1), (1, -1, -2), (1, 5, -2);

г) (1, 2, 2), (2, 1, -2), (2, -2, 1); д) (2, 1, -2), (1, 0, 1), (-1, 4, 1);

е) (1, 1, -1, 0), (0, 1, 1, -1), (1, 0,1,1). 

5. Система векторов задана в ортонормированном базисе евклидового или унитарного пространства своими координатами. Пользуясь процессом ортогонализации Штурма, построить ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов:

а) (1, 2, 1), (4, 4, 1), (–1, –3, –1); б) (1, 1, –1), (–4, 0, 5), (–8, 2, 0);

в) (3, –1, –2), (4, 0, –1), (5, 1, 0); г) (1, 2,–1, 1), (–5, –5, 4,–2), (–3, 6, 2,0);

д) (1, 0, 1, –1), (6, 0, 4, –5), (3, 2, –5, 4);

е) (1, –3, 2, 1), (–1, 7, –3, –2), (2, –2, 3, 1);

ж) (1, –1, 1, –1), (4, –2, 4, –2), (–2, 7, –4, 7), (2, 7, ­2, 5);

з) (i, 1, –i), (2, 0, –1), (0, 2, –i);

и) (1, –1, 1 + i), (1, –i, –2 +i), (1 + 2i, 4 –i, –1).

 а) (1, 2, 1),(1, 0, -1),(1, -1, 1); б)(1, 1, -1),(-1, 3, 2),

(-5, 1, -4); в) (3, -1, -2),(1, 1, 1); г)(1, 2,-1, 1),(-2, 1, 1, 1),

(0, 2, 1,-3); д)(1, 0, 1,-1),(1, 0, -1, 0),(1, 2, 1, 2); е)(1, -3, 2, 1),

(1, 1, 1, 0); ж) 1/2(1, -1, 1, -1), 1/2(1, 1, 1, 1), (1, 0, -1, 0),(0, 1, 0, -1);

з) (i, 1, -i), (1,i, 0); и) 1/2(1, -1, 1+i), (1-i, 0, -1), (1, 3, 1+i). 

5. Исходя из системы векторов f₁,f₂,f₃арифметического пространства с заданным скалярным произведением с помощью процесса ортогонализации и нормировки построить ортонормированный базисе₁,е₂,е₃, если:

а) f₁(1, 0, 0),f₂(0, 1, 0),f₃(0, 0, 1);

) (х,у) = 4х₁у₁+ 2х₁у₂ + 2х₂у₁ + 2х₂у₂–х₂у₃ –х₃у₂ + 3х₃у₃;

) (х,у) =х₁у₁+ 2х₁у₂ + 2х₂у₁ + 5х₂у₂– 2х₂у₃ – 2х₃у₂ + 7х₃у₃;

б) f₁(1, 0, –2),f₂(0, 1, –2),f₃(4, 0, 0);

(х,у) = 4х₁у₁+ 2х₁у₂ + 2х₂у₁ + 2х₂у₂–х₂у₃ –х₃у₂ + 3х₃у₃;

в) f₁(0, 1, –1),f₂(2, 0, 1),f₃(–2, 4, 0);

(х,у) = 5х₁у₁–х₁у₂ –х₂у₁ +х₂у₂+ 2х₁у₃ + 2х₃у₁ + 4х₃у₃.

 а. ) (1/2, 0, 0), (-1/2, 1, 0), (-1, 2, 2); а .) (1, 0, 0), (-2, 1, 0), (-4, 2, 1),

б) 1/4(1, 0, -2), (-1, 1, 0), 1/4(-1, 4, 2), в)(0, 1,-1),(-2, -2, 1),

(0, 4, 1). 

5. Пусть е₁,е₂,е₃– ортонормированная система базисных векторов трехмерного унитарного пространства. Показать, что система векторов:а₁= 1/3(2е₁+2е₂–е₃);а₂= 1/3(2е₁–е₂+2е₃);а₁= 1/3(е₁­–2е₂– 2е₃) также образует ортонормированную систему базисных векторов этого пространства.

5. Ортонормировать базис: i– j,i+ 2j,i+ j–k.

 (i – j), (i + j), - k. 

5. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:

а) (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0);

б) (1, 2, 2, –1), (1, 1, –5, 3), (3, 2, 8, –7);

в) (2, 1, 3, –1), (7, 4, 3, –3), (1, 1, –6, 0), (5. 7, 7, 8).

 а) (1, 2, 1, 3), (10, -1, 1, -3), (19, -87, -61, 72); б) (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2);

в) (2, 1, 3, -1), (3, 2, -3, -1), (1, 5, 1,10). 

5. В ортонормированном базисе V₄дополнить пару векторов до ортогонального базиса:

а) (1, 1, 1, 2), (1, 0, 1, –1); б) (1, –1, 2, 0), (–1, 1, 1, 3);

в) (1, 2, 1, 2), (1, 1, –1, –1); г) (4, 0,–1, 0), (1, –­6, 1, 2).

 а) (-1, 0, 1, 0), (1, -6, 1, 2); б) (1, 1, 0, 0), (1, -1, -1, 1); в) (1, -1, -1, 1), (2, -1, 2, -1);

г) (1, 1, 1, 2), (1, 0, 1, –1). 

25. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы е₁(1/2, 1/2, 1/2,1/2),е₂ (1/6, 1/6, 1/2,–5/6).

 е₁, е₂,е₃= (0, -4, 3, 1),е₄= (-13, 5, 6, 2).

26. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны

и дополнить их до ортогональных базисов:

а) (1, –2, 2, –3), (2, –3, 2, 4); б) (1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, –3).

 а) (2, 2, 1, 0), (5, -2, -6, -1); б) (1, -2, 1, 0), (25, 4, -17, -6). 

26. Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:

а) (2/3, 1/3, 2/3), (1/3, 2/3, –2/3); б) (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, 1/2,–1/2, –1/2).

 а) (2/3, -2/3, -1/3); б) (1/2, -1/2, 1/2, -1/2), (1/2, -1/2, -1/2, 1/2). 

26. В пространстве всех многочленов степени не выше 2 на интервале (0, 1) скалярное произведение определено так: . Показать, что это будет унитарное пространство размерности 3. Показать, что если в этом пространстве ортонормировать последовательность 1,х,х², то получим 1,(2х– 1),(6х²– 6х+ 1).

26. Доказать, что полиномы вида образуют ортонормированную систему в пространстве со скалярным произведением. Эти полиномы называются полиномами Чебышева I-го рода.

26. Многочлены, определенные формулами:

,k= 1, 2, 3, …

называются многочленами Лежандра. Доказать, что многочлены ЛежандраL₀,L₁, … ,L_nобразуют ортогональный базис в евклидовом пространствеР_nмногочленов степени не вышеnсо скалярным произведением. Найти норму этих многочленов. 

26. В пространстве полиномов от х степени не выше 3 функции 1,х,х²,х³ образуют базис. Ортогонализовать этот базис, если скалярное произведение, задано формулой:

а) ; б); в).

В результате ортогонализации системы векторов 1, х,х²,х³ с помощью указанных скалярных произведений, получим первые четыре а) полинома Лежандра; б) полинома Чебышева I-го рода; в) полинома Эрмита.

 а) ; б); в).

26. Пусть V– пространство непрерывных функций на интервале (0, +), в котором определено скалярное произведение

.

Дан базис этого пространства {е^-x,xе^-x,x²е^-x, …}. Проверить, будет

ли этот базис ортогональным и, если он не ортогонален, то найти

первые четыре элемента ортогонального базиса.

 Не ортогонален; ,,,

. 

26. Найти базис ортогонального дополнения L^подпространстваL, натянутого на векторы:а₁(1, 0, 2, 1),а₂(0, 1, –2, 1).

 Например, b₁(2, -2, -1, 0), b₂(1, 1, 0, -1).

26. В трехмерном пространстве векторов построить ортогональное дополнение к подпространству векторов: (i–j).  (i + j) +  k. 

26. Найти базис ортогонального дополнения L^подпространстваL, еслиL задано системой уравнений:.

 Например, (1, 0, 6, 0), (3, 2, 0, -2). 

26. В пространстве полиномов степени не выше 3 построить ортогональное дополнение к подпространству полиномов, обращающихся в нуль при х= 0. За скалярное произведение принять:

а) ; б); в).

 а) ; б) ; в).

26. В ортогональном базисе евклидового пространства со скалярным произведениемнайти координаты вектора:

а) х³; б)х²; в)а₃х³+а₂х²+а₁х+а₀.

 а) (0, 3/5, 0, 1); б) (1/3, 0, 1, 0); в) (а₀ +а₂/3, а₁ +(3/5)а₃, а₂, а₃ ). 

26. Найти ортогональную проекцию вектора х³–х+ 1 на(1,х), если скалярное произведение задано в виде:

а) ; б).

 а) 1 – (2/5)х; б) х – (2/7)х. 

26. Найти проекцию вектора х³–iх+ 1 наℒ(1,х) со скалярным произведением.1 + (5/7 +i)х. 

26. Подпространство Lевклидового пространства является линейной оболочкой векторов, заданных в некотором ортонормированном базисе пространства своими координатами. Найти ортогональную проекцию наL и ортогональную составляющую относительноL векторах, заданного в этом же базисе своими координатами:

а) а(10, –20, 10),х(0, 1, 0); б)а₁(1, 1, 1),а₂(4, 0, 5),х(7, –3, –1);

в) а(4, 3, 2, 1),х(1, –1, 1, –1); г)а₁(1, –1, 1, 0),а₂(2,–1, 0, 1),х(1, 0, 2,–2);

д) а₁(1, –1, 1, 1),а₂(1, 4, –1, 0),х(2, 1, 1, 0);

е) а₁(1, 0, –1, 1),а₂(3, 3, –2, 1),а₃(–1, 6, 3, –5),х(1, 4, 0, 2);

ж) а₁(2, 0, –1, –1),а₂(1, –1, 1, –1),а₃(1, 1, –1, –1),х(1, 2, 0, –1);

з) а₁(1, 1, 1, 1),а₂(5, 1, 1, 3),а₃(3, –1, 1, 0),х(5, 4, –3, –2).

 а) 1/3(-1, 2, -1), 1/3(1, 1, 1); б) (2, -2, 3), (5, -1, -4); в) 1/15(4, 3, 2, 1), 1/15(11, -18, 13,-16);

г) (0, -1, 2, -1), (1, 1, 0, -1); д) 1/2(3, 2, 1, 2), 1/2(1, 0, 1, -2); е) (2, 3, -1, 0), (-1, 1, 1, 2);

ж) 1/2(1, 3, -1, -3), 1/2(1, 1, 1, 1); з) (3, 0, -1, 2), (2, 4, -2, -4). 

26. Найти ортогональную проекцию уи ортогональную составляющуюzвекторахнаℒ(а₁,а₂, … ,а_k):

а) х(4, –1, –3, 4),а₁(1, 1, 1, 1),а₂(1, 2, 2, –1),а₃(1, 0, 0, 3);

б) х(5, 2, –2, 2),а₁(2, 1, 1, –1),а₂(1, 1, 3, 0),а₃(1, 2, 8, 1);

в) х(7, –4, –1, 2), аL задано уравнениями:.

 а) у = 3а₁–2а₂ = (1,-1,-1,5); z = (3,0,-2,-1); б) у = 2а₁–а₂ = (3,1,-1,-2); z = (2, 1,-1, 4);

в) у = (5, -5, -2, -1); z = (2, 1, 1, 3). 

26. Найти ортогональную проекцию уи ортогональную составляю-

щую zвекторахна подпространствоLнатянутое на векторыа₁,а₂, … ,а_k:

а) х(5, 2, –2, 2),а₁(2, 1, 1, –1),а₂(1, 1, 3, 0);

б) х(–3, 5, 9, 3),а₁(1, 1, 1, 1),а₂(2, –1, 1, 1),а₃(2, –7, –1, 1).

 а) у (3, 1, -1, -2), z (2, 1, -1, 4); б) у(1, 7, 3, 3), z(-4, -2, 6, 0). 

26. Линейное подпространство Lарифметического пространства со стандартным скалярным произведением натянуто на векторыf₁,f₂, … ,f_m. Найти угол между векторомхи подпространствомL:

а) х(0, 1, 1),f₁(1, 0, 1),f₂(0, 1, 0); б)х(5, 1, –2),f₁(1, –1, 2),f₂(1, 1, 3);

в) х(1, –1, 0),f₁(0, 2, 1),f₂(1, 3, 0); г)х(–1, 1, 2),f₁(1, 2, 1),f₂(2, 1, –1);

д) х(–2, 2, 1, 0),f₁(1, 2, 3, 0),f₂(1, 0, 1, –2);

е) х(1, 0, 2, 1),f₁(3, 3, –1, –1),f₂(2, 1, 0, –2);

ж) х(1, 1, 0, 1),f₁(1, –1, 1, –1),f₂(1, 1, 3, 3),f₃(3, –2, 4, –1);

з) х(1, 1, 1, 3),f₁(1, –1, 1, –2),f₂(1, 0, 1, –1),f₃(3, 1, 2, –1);

 а) /6; б) /2; в) arccos; г) 0; д) arccos; е)/2; ж) /4; з) /6. 

26. Найти угол между ℒ(а₁,а₂, … ,а_k) и векторомх:

а) х(1, 3, –1, 3),а₁(1, –1, 1, 1),а₂(5, 1, –3, 3);

б) х(2, 2, –1, 1),а₁(1, –1, 1, 1),а₂(–1, 2, 3, 1),а₃(1, 0, 5, 3);

в) х(2, 2, 1, 1),а₁(3, 4, –4, –1),а₂(0, 1, –1, 2).

 а) /4; б) /2; в) /3. 

26. Определить расстояние от точки х до линейного многообразияа₀ +₁а₁ +₂а₂ +… +_m а_m:

а) х(1, 2, –1, 1),а₀(0, –1, 1, 1),а₁(0, –3, –1, 5),а₂(4, –1, –3, 3);

б) х(0, 0, 0, 0),а₀(1, 1, 1, 1),а₁(1, 2, 3, 4).

 а) ; б).

26. Найти расстояние от точки, заданной вектором хдо линейного многообразия, заданного системой уравнений:

а) х(4, 2, –5, 1); б)х(4, –1, 3, 7);

;.

 а) 5; б) 7. 

26. Рассматривается пространство полиномов, степени не выше n. Скалярное произведение:. Определить расстояние от начала координат до линейного многообразия состоящего из полиномов:хⁿ +а₁х^n-1+а₂ х^n-2+… +а_n-1х+ а_n .

 .

26. Доказать, что определитель Грамма не изменится при применении к векторам а₁,а₂, … ,а_kпроцесса ортогонализации, т.е. в результате ортогонализации векторыа₁,а₂, … ,а_k перейдут в векторыb₁,b₂, …,b_kиG(а₁,а₂, … ,а_k) =G(b₁,b₂, … ,b_k) = (b₁,b₁)(b₂,b₂)…(b_kb_k). Пользуясь этим выяснить геометрический смыслG(а₁,а₂) иG(b₁,b₂), предполагая векторы линейно-независимыми.

• G(а₁, а₂) = квадрату площади параллелограмма на векторах а₁, а₂;

G(а₁, а₂, а₃) = квадрату объема параллелепипеда на векторах а₁, а₂, а₃. 

26. Пусть есть система линейно-независимых векторов g₁, g₂, … ,g_n. Доказать, что векторые₁,е₂, … ,е_nполученные изg₁, g₂, … ,g_n процессом ортогонализации имеют вид:

,

где G₀ = 1,G_k =G(g₁, g₂, … ,g_k) и.

26. С помощью процесса ортогонализации Грамма (см. зад. 48), ортогонализовать следующие системы векторов:

а) (1, 2, 1), (4, 4, 1), (–1, –3, –1);

б) (1, 1, –1), (–4, 0, 5), (–8, 2, 0);

в) (3, –1, –2), (4, 0, –1), (5, 1, 0).

 а) (1, 2, 1),(1, 0, -1),(1, -1, 1); б)(1, 1, -1),(-1, 3, 2),

(-5, 1, -4); в) (3, -1, -2),(1, 1, 1).