ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

§1. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ. ПОДГРУППЫ

Множество G элементов x, y, z, … произвольной природы называется группой, если в нем корректно введена внутренняя операция (закон композиции) т.е. "х, yÎG, $zÎG такое,

(Здесь применена мультипликативная форма записи)

Подгруппа G1 группы G сама по себе является группой. Простейшими (тривиальными ) подгруппами любой группы является сама группа и группа, состоящая из одного элемента – нейтрального.

§2. ПРИМЕРЫ ГРУПП

1)Аддитивные группы: {0}, Q, R, C, множество Zk целых чисел, кратных целому заданному k.

2)Мультипликативные: {1}, {1, –1}, {1, i, –1, –i}, множество {zÎC½||z|| = 1}, P+ –

множество вещественных положительных чисел, Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

3)Группа симметрий ромба V: {E, SBD, SAC, S0}.

Таблица Кэли:

4) Для заданного равностороннего треугольника АВС рассмотрим преобразования, отображающие треугольник сам на себя:

1.Е – тождественное преобразование.

2.α – поворот на угол 2π/3 против часовой стрелки.

3.β – поворот на угол 4π/3 против часовой стрелки.

4.S1 – симметрия относительно оси (1) (В ↔ С)

5.S2 – симметрия относительно оси (2) (А ↔ С)

6.S3 – симметрия относительно оси (3) (А ↔ В).

24

Такой закон композиции ассоциативен, но не коммутативен (например S1 S2¹ S2 S1. Единичный элемент Е – тождественное преобразование, обратные a−1 = b; b−1 = a; Si−1 = Si .

Множество преобразований самосовмещения треугольника с таким законом композиции называется группой самосовмещений равностороннего треугольника.

Подмножество {E, a, b} этой группы образует подгруппу группы самосовмещений и

называется группой поворотов равностороннего треугольника.

5)Перестановкой назовем закон, по которому элементам a, b, c, d, … взаимно однозначно ставятся в соответствие элементы того же множества, но, возможно, в другом порядке

Композиция двух перестановок f1 f2 определяется как последовательное применение двух перестановок: сначала f2, а потом f1.

Для конечного множества Е из n – элементов перестановки образуют группу (не абелевую!), которая называется симметричной группой Sn.

Данная группа имеет три подгруппы по два элемента: {P1, P2}, {P1, P3}, {P1, P4} и одну подгруппу из трех элементов: {P1, P5, P6}.

Группу самосовмещений равностороннего треугольника можно представить как

6)Рассмотрим множества, состоящие из двух элементов {0, 1} с операцией: 0 0 = 0; 0 1

=1; 1 0 = 1; 1 1 = 1. Единичный элемент здесь 0.

Эта группа называется группой вычетов по модулю 2 и обозначается Z2.

25