Т°. Произведение эрмитовых операторов А

и В будет эрмитовым оператором тогда

и только тогда когда операторы А и В

коммутируют (т. е. АВ = ВА).

(АВ)* = В*А* = ВА

(ф)

тогда:

а) Если АВ = ВА, то из (ф) (АВ)*= АВ, т. е. оператор АВ – эрмитов.

б) Если АВ эрмитов, то (АВ)*= АВ и из (ф) АВ = ВА т.е. операторы коммутируют

(Ax,

x) = (lx, x) = l(x, x);

(х, х) ³ 0, l – вещественно

веществ.

вещест.

попред.

изсв−в

теореме

скал.

произ.

Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным

собственным значениям – ортогональны.

Пусть Ах1 = λ1х1, Ах2 = λ2х2

и

x1,x2 ¹ 0

.

l1 ¹ l2

Тогда (Ах1, х2) = (λ1х1, х2) = λ1(х1, х2)

равны как эрмитовы (х1, Ах2) = (х1, λ2х2) =

l

2

(х1, х2) =

= λ2(х1, х2)

и получено (λ1 – λ2)(х1, х2) = 0

вещ.

Þ(х1, х2) = 0

§3. НОРМА ОПЕРАТОРА

Def:

Нормой линейного оператора

AÎL(V, V)

называется число ||A|| определяемое

равенством ||A|| =

sup

Ax

.

x

=1

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное

неравенство ||A|| £

||A||× ||х|| .

Т°. Для эрмитового оператора А: ||A|| =

sup

(Ax,x)

.

x

=1

|(Aх, x)| £ ||A||

т.е.

m £

||A||

(*

)

2) Отметим:

|(Az, z)| £ |(Az/||z||, z/||z||)| ×

||z||2 £ ||z||2 ×

sup|(Az/||z||, z/||z||)|,

=

= 2m((x, x) + (y, y)) = 2m (||x||2 + ||y||2).

Отсюда,

при ||x|| = ||y|| = 1

Ax

4|Re(Ах, у)| £ 4m Þ| Re(Ах, у)| £ m.

Положим теперь y =

(очевидно ||y|| = 1):

Ax

Reç Ax,

Ax ÷

=

1

Re(Ax,Ax)

= 1 (Ax,Ax) =

Ax

2

= Ax £ m .

æ

ö

ç

÷

Ax

Ax

Ax

Ax

è

ø

вещ.

Тогда

sup

Ax

£ m

,

т.е.

||А|| £ m.

x

=1

В 1) и 2) доказано,

что ||А|| ³ m и ||А|| £ m, т.е. ||А|| = m =

sup

(Ax,x)

x

=1

кроме того АR и АI – эрмитовы. Следовательно, (ARx, x)ÎR и (AIx, x)ÎR, т.е. (Ax, x) = =

æ

ö

æ

ö

ç A x,x÷

+ iç

A x,x ÷ .

ç

R ÷

ç

I ÷

è

вещ.чвстьø

è

мним.частьø

Теперь:

Необходимость. Пусть А = А* Þ(Ах, х)ÎR ÞIm(Ах, х) = 0.

sup(AI x,x) = 0

Достаточность. Пусть Im(Ах, х) = 0 Þ(AIx, x) = 0 Þ

x

=1

Þ||AI|| = 0 ÞAI = 0 Þ

ÞA = AR Þ AR – эрмитов

z

z

æ

z

z ö

æ

z

z ö

ç

÷

ç

÷

Аz = λz Þ A

z

= l

z

Þ ç A

z

,

z

÷

= lç

z

,

z

÷

Þ l = (Ах, х),

è

ø

è

ø

где х – собственный вектор и ||х|| = 1

Следствие: Пусть А – эрмитов

оператор и m =

inf(Ax,x),

M = sup(Ax,x)

. Тогда для

x

=1

x

=1

собственных значений λ оператора А справедливо m £ l £ M.

Т°. Если А – самосопряженный (эрмитов) оператор и "xÎV; (Ax, x) ³ 0,

то

||A|| = lmax

sup(Ax,x)

=

sup(Ax,x)

= (Ax0,x0)

x

=1

x

=1

достигается . Обозначим l = (Ax0, x0) = ||A||.

Рассмотрим

( Ax,x)³0

||(A – lЕ)х0||2 = (Ax0 – lx0, Ax0 – lx0) = (Ax0, Ax0) – l(х0, Ах0) –

(Ax0, x0) + l

(х0, х0) =

l

l

=

A − эрмито

= (Ax0, Ax0) – l(Ах0, х0) – l(Ах0, х0) + l2(х0, х0) =

x0

= 1;

λ =

A

=

λ − вещест.

A

= sup

Ax

=

Ax

0

=

||Aх0||2 – 2||A||2 + ||A||2 = 0, т.е.

||(A – lЕ)х0|| = 0

Þ (A – lЕ)х0 = 0 ÞAх0 = lх0,

т.е. l

– собственное значение

Т°. Пусть для эрмитового оператора А m =

inf(Ax,x),

M = sup(Ax,x)

; тогда m и

x

=1

x

=1

Т.е. В – эрмитов, (Bx, x) ³ 0 Þ || B || = lmax, но

B

=

sup(Bx,x) =

sup(Ax,x) - m= M - m,

x

=1

x =1

Þ$х

Вх = – m Þ–Ах = – mх Þ Ах = mх, т.е. m – собственные значения А

Тº

(о собственном базисе эрмитового оператора). Если А – эрмитов оператор: АÎL(V,

V) в n­мерном унитарном пространстве, то в V существует n­линейно­независимых,

попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

1) А – эрмитов, АÎL(V, V) = lmax = l1 =

sup(Ax,x)

и $е1 – единичный собственный

x

=1

вектор с собственным значениям l1: Ае1 =

l1е1. Обозначим V1 = ^(е1).

При этом V =

V1 Å (е1). Оказывается V1 – инвариантно относительно А. В самом деле

"хÎV1: (Ах, е1) = (х, Ае1) = l1(х, е1) x^=e 0, т.е. (Ах, е1) = 0 Þ

Ax^e1 .

1

Ax ÎV1

2) Теперь можем рассмотреть А в V1: АÎL(V1, V1), А – эрмитов Þlmax = l2

sup(Ax,x)

=

x

=1

и $е2 – единичный вектор, такой, что Ае2 = l2 е2 и е2 ^ е1.

x^e1

Рассмотрим V2 = ^(е1, е2). Тогда V = V1 Å (е1), V2

–

инвариантно относительно А.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует:

l

m+1

=

max

(Ax,x)

, или

x ek

k=1,2, ,m (x,x)

lm+1 = max

(Ax,x)

,

где

Еm = (е1, е2, …, еm).

x Em (x,x)

Т° (минимаксное свойство собственных значений).

Пусть

А – эрмитов оператор и l1

³ l2

³ … ³ ln

его собственные значения, тогда

lm+1

= minmax

(Ax,x)

где

m –

E εm

x E (x,x)

множество всех m­мерных подпространств пространства V.

Доказать cамостоятельно.

§5. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЭРМИТОВОГО ОПЕРАТОРА.

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА – КЭЛИ

Пусть А – эрмитов оператор; l1 ³ l2 ³ … ³ ln собственные значения этого оператора

и {е1, е2, …, еm} –

соответствующий им ортонормированный собственный базис. Тогда

"xÎV

æ

(x,e )e

ö

=

(x,e )

Ae =

l

(x,e )e .

x = åakek = å(x,ek )ek ; Ax = Aç

å

÷

å

å

k

k

k

è

k k

ø

k

k

k

k

Def:

k

k

k

Оператор Рk: Pkx = (x,ek)ek,

называется оператором­проектором или просто

проектором на одномерное пространство, порожденное вектором {ek}.

Свойства проекторов:

1°.

Pk – самосопряженный (эрмитов).

(Pkx, y) = ((x,ek)ek, y) = (x,ek)(ek,y) = (

)(x, ek) = (x, (y,ek)ek) = (x, Pky)

y,ek

2°.

Pk2 = Pk.

Pk2x = Pk(Pkx) = Pk(x,ek)ek = (x,ek)Pek = (x,ek)(ek,ek)ek = (x,ek)ek = Pkx

3°. PkPj

= 0,

(x ¹ j). PkPj x = Pk(Pj x) = Pk(x,ej)ej = (x,ej)Pkej

= (x,ej) (ej ,ek )ek = 0

II0

Для операторов­проекторов Pk имеем:

x = åPkx = (åPk )x Þ åPk = E = A ;

Ax = ålkPkx = (ålkPk )x Þ ålkPk = A

k

k

k

k

k

k

.

Обратим еще внимание: A2 = (ålkPk )2 = ål2kPk ,

"sÎ N, As = ålskPk .

k

k

k