МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.Н. КАРАЗИНА

Н.Р. БЕЛЯЕВ

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико­технического факультета

1

Харьков­2004

ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

Пусть V – унитарное пространство. Пусть "xÎV ®f(x)ÎC, такое что:

1)f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2);

2)f(ax) = af(x).

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(x, y). (В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис {ei}.

Действие формы В(x, y) однозначно определенно если известны элементы bij. Матрица

Вс элементами bij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный линейный оператор АÎL(V, V) такой, что В(x, y) = (x, Ay).

2

оператор А такой, что h = Ax. При этом (A(a1х1 + a2х2), у) = В(a1х1 + a2х2, у) = a1В(х1, у)

+ + a2В(х2, у) = a1(Ах1, у) + a2(Ах2, у) = (a1Aх1 + a2Aх2, у) = A(a1х1 + a2х2) = a1Aх1 + a2Aх2 т.е.

оператор А линейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор такой, что B(x, y) = (Аx, y), то в ортонормированном базисе матрица ВТ совпадает с матрицей линейного оператора А.

Пусть {ei} ортонормированный базис V. Тогда

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор такой, что B(x, y) = (x, Аy), то в ортонормированном базисе bij = aij . Доказать

самостоятельно.

Примечание: Если А1 – оператор из 1й теоремы о спец. представлении и А2 – из второй, то А1 = A2T .

СОПРЯЖЕННЫЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Def: Оператор А*ÎL(V, V) называется оператором, сопряженным к оператору

"АÎL(V, V), если "х, уÎV; (Ах, у) = (х, А*у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

3

(х, А*(α1у1 + α2у2)) = (Ах, α1у1 + α2у2) = α1(Ах, у1) + α2 (Ах, у2) = = α1(х, А*у1) + α2 (х, А*у2) = (х, α1А*у1) + (х, α2А*у2) = (х, α1А*у1+ α2А*у2)

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

Так как (Ax, y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим ­ B(x, y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, y) = B(x, y) =

2° (А + В)*=А*+В*.

((А + В)х, у) = (Ах + Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (х, А* у) + (х, В* у) = (х, (А* + В*)у)

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство 3° имеет вид: (λА)* = λА*

Примечание: физики очень часто обозначают А* как А+ (читается А – крест) и

операцию называют эрмитовым сопряжением.

§2. ЭРМИТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ

Def: Оператор А L(V, V) действующий в унитарном пространстве называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А – произвольный линейный опреатор из L(V, V). Введем операторы АR и АI по

т.е . АR и АI эрмитовы. Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора) A L(V, V) существуют эрмитовы операторы АR и АI такие, что А = АR + iАI (при этом операторы АR и АI называются вещественной и мнимой частью оператора А)

4