Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Belaev_viska_2.1.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.1 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.Н. КАРАЗИНА

Н.Р. БЕЛЯЕВ

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико­технического факультета

1

Харьков­2004

ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

Пусть V – унитарное пространство. Пусть "xÎV ®f(xC, такое что:

1)f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2);

2)f(ax) = af(x).

 

Тогда говорят, что из V

в C

задан линейный функционал f или линейная форма f

(fÎL(V, C)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T°. Пусть fÎL(V, C), т. е. f – линейная форма, тогда существует единственный hÎV

 

 

такой, что f(x) = (x, h).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть {ei} – ортонормированный базис V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

"xÎV;

f (x)

= f (åxiei ) = åxi

f (ei ) = åxi hi

= (x,h)

,

 

 

 

 

 

i=1

 

i=1

 

 

i=1

базис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ортонорми.

 

т.е. вектор h имеет координаты hi =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

f (ei )

 

 

 

 

 

 

 

Единственность: Пусть f(x) = (x, h1) = (x, h2) Þ(x, h1

h2) = 0; "xÎV. Возьмем x = h1 h2

Þ(h1 h2, h1 h2) = 0, т.е. h1 = h2

 

 

 

 

 

 

 

Примечание:

в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также

справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

 

§2. СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

 

Пусть "x, уÎV ®В(х, уС такое, что

 

 

 

 

 

 

 

1) B(x1 + x2,y) = B(x1,y) + B(x2,yлинейность

 

;

 

 

 

 

 

2) B(ax,y) = aB(x,y)

 

ý

му

 

 

 

 

 

 

 

þпо1 аргумен

 

 

 

 

 

 

3) B(x,y + y ) = B(x,y ) + B(x, y полулинейность

.

 

 

 

 

1

2

 

1

2 ý

му

 

 

 

 

 

 

4) B(x,ay)

= aB(x,y)

 

þ

по2 аргумен

 

 

 

 

 

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(x, y). (В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис {ei}.

"уÎV

B(x, y) = B(åxiei ,å yiei ) = ååxi yj B(ei ,ej ) = åbijxi yj

.

i

i

i j

 

 

i,j

 

 

 

 

bij

 

 

 

Действие формы В(x, y) однозначно определенно если известны элементы bij. Матрица

Вс элементами bij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный линейный оператор АÎL(V, V) такой, что В(x, y) = (x, Ay).

2

 

 

"yÎV; B(x,y) = B(åxiei

,y) = åxi B(ei , y) = (x,

 

(y))

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вортонорми. . Оказывается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

hi

базисе

 

 

 

 

 

 

 

 

"yÎV

$

 

 

 

 

т.е. "yÎV ®hÎV. Таким образом, определен оператор h = Ay.

hi = B(ei, y) ,

Линейность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, A(a1y1 + a2y2)) = B(x, a1y1 + a2y2) = a1B(x, y1) + a2 B(x, y2) = a1(x, Ay1) + a2 (x, Ay2) =

= (x, a1Ay1) (x, a2Ay2) = (x, a1Ay1+ a2Ay2),

т.е. А(a1y1 + a2y2) = a1Ay1+ a2Ay2.

Единственность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть B(x, y) = (x, A1y) = (x, A2y),

тогда (x, A1y A2y) = 0 ÞA1y = A2y "уÎV, т.е.

A1 = A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

 

линейный оператор "АÎL(V, V)

такой, что B(x, y) = (Ax, y).

 

"хÎV

B(x, y) = B(x,å yjej ) = åB(x,ej )yi = (h(x),y)

или, что тоже определен

 

 

j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hj

 

 

 

 

 

 

 

оператор А такой, что h = Ax. При этом (A(a1х1 + a2х2), у) = В(a1х1 + a2х2, у) = a1В(х1, у)

+ + a2В(х2, у) = a1(Ах1, у) + a2(Ах2, у) = (a11 + a22, у) = A(a1х1 + a2х2) = a11 + a22 т.е.

оператор А линейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор такой, что B(x, y) = (Аx, y), то в ортонормированном базисе матрица ВТ совпадает с матрицей линейного оператора А.

Пусть {ei} ортонормированный базис V. Тогда

æ

 

ö

= åaki(ek,ej ) = åakidkj = aji

 

bij = B(ei, ej ) = (Aei, ej ) = ç

åakiek, ej ÷

è

k

ø

k

k

 

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор такой, что B(x, y) = (x, Аy), то в ортонормированном базисе bij = aij . Доказать

самостоятельно.

Примечание: Если А1 – оператор из 1й теоремы о спец. представлении и А2 – из второй, то А1 = A2T .

СОПРЯЖЕННЫЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Def: Оператор А*ÎL(V, V) называется оператором, сопряженным к оператору

"АÎL(V, V), если "х, уÎV; (Ах, у) = (х, А*у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

3

(х, А*(α1у1 + α2у2)) = (Ах, α1у1 + α2у2) = α1(Ах, у1) + α2 (Ах, у2) = = α1(х, А*у1) + α2 (х, А*у2) = (х, α1А*у1) + (х, α2А*у2) = (х, α1А*у1+ α2А*у2)

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

Так как (Ax, y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим ­ B(x, y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, y) = B(x, y) =

(x, A*y)

 

 

Свойства сопряженных операторов.

 

Е* = Е.

(Ех, у) = (х, у) = (х, Еу)

 

2° (А + В)*=А*+В*.

((А + В)х, у) = (Ах + Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (х, А* у) + (х, В* у) = (х, (А* + В*)у)

3° (λА)* =

 

A .

(λАх, у) = λ(Ах, у) = λ(х, А*у) = (x,

 

A y)

 

 

λ

λ

4° (А*)*=А.

(А*х, у) =

 

= ( Ay,x) = (х, Ау)

 

(y, A*x)

(АВ)*=В*А*.

(АВх, у) = (А(Вх), у) = (Вх, А*у) = (х, В*(А*)у) = (х, В*А*у)

(А–1)*=(А*)–1.

 

 

 

 

 

 

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство 3° имеет вид: (λА)* = λА*

Примечание: физики очень часто обозначают А* как А+ (читается А – крест) и

операцию называют эрмитовым сопряжением.

§2. ЭРМИТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ

Def: Оператор А L(V, V) действующий в унитарном пространстве называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А – произвольный линейный опреатор из L(V, V). Введем операторы АR и АI по

правилу АR =

 

 

A+ A*

; АI =

AA*

,

тогда А = АR + I

и кроме того:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

а) (АRx, y) = (

 

A+ A*

x, y) = (x, (

A+ A*

)*y) = (x,

A+ A*

y) = (x, ARy);

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

б) (АIx, y) = ((

 

AA*

 

)x, y) = (x, (

AA*

)*y) = (x,

A* A

y) = (x, AIy);

 

 

2i

 

 

2i*

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

т.е . АR и АI эрмитовы. Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора) A L(V, V) существуют эрмитовы операторы АR и АI такие, что А = АR + I (при этом операторы АR и АI называются вещественной и мнимой частью оператора А)

4

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]