Тº. (Гамильтона­Кэли). Эрмитов оператор А является корнем своего

характеристического полинома: если p(l) = det(A- lE) Þ p(A) = 0.

p(A) = å p(lk )Pk = 0

k

§6. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

КОРЕНЬ m­й СТЕПЕНИ ИЗ ОПЕРАТОРА

Def: Эрмитов оператор

А называется положительным, если "хÎV, (Ax, x) ³ 0.

б) положителен: (Bx,x) = (ål1k/mPkx,x)

= ål1k/m(Pkx,x)

= ål1k/m(Pk(x,ek )ek,x) =

= ål1k/m(x,ek )(

) = ål1k/m

(x,ek )

2 ³ 0;

x,ek

в) Bm = (ål1k/mPk )m = å(l1k/m)mPk= ålkPk= A .

Теорема доказана.

Примечание: В ортонормированном базисе {ek} из собственных векторов матрица

æl1

0

0 ... 0

ö

ç

0 l2

0 ... 0

÷

оператора А и матрица А

имеют вид: A =

ç

÷

ç

0

0

l3 ... 0 ÷ ,

1/m

ç

÷

ç ... .... ....... ...÷

ç

0

0

÷

è

0 ... ln ø

æ m

0

0

...

0

ö

l

1

ç

0

0

...

0

÷

ç

m

l2

÷

m

ç

÷

A =

0

0

m l3

...

0

ç

÷ .

ç ... ...

...

...

...

÷

ç

÷

0

0

0

... m

ø

è

ln

Def: Полуторалинейная форма

В(х, у) называется эрмитовой, если "x, yÎV:

B(x,y) =

.

B( y,x)

Мы уже отмечали: "В(х, у) – полуторалинейные формы $! А – линейный оператор

такой, что В(х, у) = (Ах, у).

Тº.

Для того, чтобы полуторалинейная форма В(х, у) была эрмитовой необходимо и

достаточно, чтобы оператор А (В(х, у) = (Ах, у)) был эрмитовым.

Достаточность: Пусть А – эрмитов,

т.е. А = А* ÞВ(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) =

=

( Ay,x)

=

B y,x

, т.е. форма В(х, у) – эрмитова.

( (

))

А – эрмитов

Тº.

Для того, чтобы форма В(х, у) была эрмитовой необходимо и достаточно, чтобы

В(х, х) была вещественной "хÎV.

В(х, у) –

эрмитова Û А – эрмитов. А – эрмитов Û А(х, у)ÎR

предыдущая

доказано ранее

теорема

§2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Def: Квадратичной формой называют В(х, х),

соответствующую полуторалинейной

форме В(х, у).

Тº.

Пусть В(х, у) – эрмитова форма в n­мерном унитарном пространстве V. Тогда в V

существует ортонормированный базис {ek} и существуют вещественные числа λk,

λ

2

что для "хÎV в базисе {ek}: B(x,x) = ålk

xk

Þ В(х, у)

k=1

где А – эрмитов оператор. А – эрмитов Þ

В(х, у)

– эрмитова

= (Aх, у),

${ek} – собственный ортонормированный базис и λk – собственные числа оператора А

x = åxkek ;

Ax = åx j Aej

=ål jx jej .

k

j

j

æ

ö

2

ål jx j xkd jk = ålk

xk

Тогда: (Ax,x) = çç

ål jx jej , åzkek ÷÷ =

è

j

k

ø

j,k

k

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº.

Пусть А(х, у) и В(х, у) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и, кроме

того, "хÎV, х ¹ q, В(х, у) > 0. Тогда в V существует базис {ek}, в котором:

A(x,x) = ålk

xk

2, B(x,x) = å

xk

2 .

k

k

В(х, у) –

эрмитова,

В(х, у) >

0, "хÎV,

х ¹ q. Из этих условий:

В линейном

этом базисе A(x,x) = ålk

xk

2 .

k

2 и

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то (x,x) = åxk

= å

xk

xk

В(х, х) = (х, х), т.е. В(х, х) = å

xk

2

k

k

k

УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§1. УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Def: Линейный оператор UÎL(V, V) называется унитарным, если

"х, yÎV (Ux, Uy) = = (x, y) .

1°

Из условия унитарности: ||Ux|| = ||x||, ||U|| = 1.

2° Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

Пусть е – собственный вектор с собственными значениями λ и ||x|| = 1. Тогда

| λ | =| λ | || e|| = ||le|| = ||Ue|| = || e|| =1

Тº. Чтобы линейный оператор UÎL(V, V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U* = U–1.

Необходимость: Пусть U – унитарный Þ(Ux, Uy) = (x, y) Þ(x, U*Uy) = (x, y) Þ

Þ (x, (U*U -Е)у) = 0 ÞU*Uy = Еу ÞU*U = Е ÞU* = U−1.

Достаточность:

Пусть U*

= U−1

Þ U*U = Е Þ (х, у) = (х, U*Uу) = (Ux, Uy),

т.е. U –

унитарный

Примечание: U* = U−1 Û U*U = UU* = Е

Û (Ux, Uy) = (x, y).

1)

[L, M] = N Þ [l, m] = n;

2) L = L* Þ l = l*;

3)

Ly = ly Þ lj = lj;

4) (Ly1, y2) Þ (lj1, j2).

Тº.

Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А* имеют общий собственный

вектор е, такой, что ||e|| = 1, Ae = le, A*e =

e.

l

Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим Rλ – собственное

подпространство оператора А, т.е. множество хÎV, Ах = lх.

Пусть хÎRλ, Ах = lх. Тогда А(A*х) = (АA*)х = (A*А)х = A*(Ах) = A*(lх) = l(A*х).

Получили А(A*х) = l(A*х),

A*хÎRλ. Итак, хÎRλ ÞA*хÎRλ, т.е. оператор A* действуют

из

Rλ

в

Rλ. Следовательно $еÎRλ, ||e|| = 1, такой, что A*e = me (собственный вектор А*),

но еÎRλ

(собственный вектор А);

Ах = le; A*e = me. При этом l = l(e, e) = (le, e) = (Ae, e)

= (e, A*e) = (e, me) = μ (e, e) = μ

Тº.

Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{ek}, состоящий из собственных векторов А и А*.

1)

по предыдущей теореме

$е1ÎV, ||e1|| = 1 и являющийся общим собственным

вектором операторов А и А* с собственными значениями l1,

1 соответственно.

l

Пусть V1 = (e1) ÞV = (e1) ÅV1. Это значит, что если

xÎV1 Þ x^e1.

xÎV1 Þ (Ax, e1) = (x, A*e1) = (x,

l

1 e1) = l1(x, e1) = 0;

(A*x, e1) = (x, Ae1) = (x, l1e1) =

1 (x, e1) = 0, т.е. Ax, A*xÎV1.

l

Следовательно операторы А и А* действуют в V1.

2)

Тогда

А и А* имеют в V1 общий собственный вектор е2

(е2ÎV1, е2^е1, ||e2|| = 1) с