Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Проверим сначала основное свойство операторов проектирования:

Q=I −P =

Очевидно,

4 1−1 4 1−1 4 1−1

P P = −6 −1 2

−6 −1 2

= −6 −1 2

6 2 −1

1 0 0 4 1−1 −3−1 1

−3−1 1 −3−1 1 −3−1 1

0 1 0

− −6 −1 2

6 2−2

Q Q= 6 2−2

6 2−2

0 0 1

6 2 −1

−6−2 2

4 1−1 −3−1 1 0

0 −3−1 1 4 1−1

P Q =

−6

−1 2

6 2−2

−6 −1 2

=Q P

6 2 −1

−6−2 2

6 2 −1

Далее, найдем образ F =RanP и ядро G =KerP оператора P .

С этой целью приведем матрицу оператора к “единичному” виду методом Гаусса

4 ±1 −1				2		1 0
	−6	−1 ±2	~	−2		0	1

	6	±2 −1			±0		0
	6	±2 −1		0	±0		0

Следовательно,

F = RanP = Lin{q 2 , q3 }=

= f1 + 2 f 2 ,

q3 = − f1

−

≡ Lin{ f1, f 2 }

q 2

f 2

= −2x1

x1 1x1

G = Lin{ g1 }

G = KerP

= −2x1

= x1

−2

Аналогично, найдем образ G = Ran Q и ядро F = Ker Q оператора Q .

−3 −1 1

6 2

−2

0 0

±0

−6

−2

0 ±0

Следовательно,

G = RanQ = Lin{q3 }=

≡ Lin{ g1 }

= g1

1x1

F =Lin{ f1, f 2 }

= 3x1

+1x2

=x1

+x2

F =KerQ x3

+1x

Справедливость разложения

f1 +3 f 2

f 2

Rn = F +iG

вытекает,

например,

из

того,

что

объединенная

система

базисных векторов

{ f1, f 2 } { g1 } образует базис в R3

( № 9.2. d. ).

Осталось, разложив произвольный вектор h по “новому” базису {{ f1, f 2 }, { g1 }}

h = (α1 f1 +α2 f 2 )+(β1 g1 )

непосредственно убедиться, что

P h = (α1 f1 +α2 f 2 ),

Qh = (β1 g1 )

№ 10.2.

Пусть

{ λ1, ... , λk , ... , λm }

все различные

собственные

значения линейного оператора A , соответствующие

собственным подпространствам

{ F1, ... , Fk , ... , Fm }

Обозначим базисы собственных подпространств через

{{

, ... , f1

}, ... ,{ fk

, ... , fk

}, ... ,{

, ... , fm

n m

}}

В общем случае, объединенная система подбазисов всего лишь некоторая линейно

независимая система векторов в пространстве E ( № 9.2. a. ,

b. ,

c.).

Пусть объединенная система собственных векторов образует базис в пространстве E .

В этом случае ( № 9.2. d. )

оператор

A ,

имеющий в некотором (старом) базисе { e }

матрицу A , в базисе {

f } из собственных векторов (новом) имеет диагональную матрицу

λ 1

λ1In1

λ1

λk

Λ =

n k

λk

λm

λm In m

(поэтому соответствующий оператор называется диагонализируемым).

Обозначим через tki

столбец-координат собственного вектора

f k i

, соответствующим

собственному значению λk ,

в старом базисе { e }. Тогда матрица перехода от старого

базиса { e } к новому {

f } базису из собственных векторов равна

T = t

1 1

, ... , t

1 n1

, ... ,

, ... , t

k nk

, ... , t

m n m

Следовательно,

A =T Λ T −1 .

Далее, произвольный вектор пространства может быть однозначно разложен по базису

h =

(

+ ... + x

+ ... +

(

+ ... +x

knk

k nk )

+ ... +

(

+ ... +x

m n m

m n m )

1n1

1n1 )

f 1

f k Fk

f m Fm

т. е., в данном случае, в сумму собственных векторов

h = f1 + ... + fk + ... + fm

E = F1 +i

... +i

Fk +i

... +i Fm

получивших название проекций вектора h на собственные подпространства Fk

параллельно сумме остальных собственных подпространств

F1 +i ... +i

Fm .

на

Действие оператора A сводится к

умножению

каждого

слагаемого

соответствующее собственное значение

A h = λ1 f1 + ... + λk fk + ... + λm fm

Определим операторы проектирования

Pi = Pi Pj

= δi j Pj

h → fk = Pk h

Полученным выше разложениям произвольного вектора

и действию оператора

A с

помощью проекторов можно придать вид:

i i i

+...+

+...+ f

I = P

+ ... +

+ ... + P

=F1 +... +Fk +... +Fm

+...+λ

...+λ

+...+λ

=λ

A=λ

1 1

m m

Замечание. Полученное спектральное разложение диагонализируемых операторов позволяет для них естественным образом ввести функциональное исчисление, полагая

y = f (x) B = f (A) = f (λ1 )P1 + ... + f (λk )Pk + ... + f (λm )Pm

Соответственно, для диагонализируемых матриц имеем

	f (λ1)In1	0		0


y = f (x) B = f (A) =T f (Λ) T −1 =T	0 f (λk )In		k	0				T −1
			k
	0
	0	0 f (λ		m	)I	n
				m		n
							m

Замечание. Можно построить “естественное” функциональное исчисление произвольных матриц (операторов), содержащих жордановы клетки ( № 9.2. a. , b. , c.).

Построим характеристический полином матрицы

−1 −1 1

−1 −λ −1

A = 6

4 −2

pA (λ) = det (A −λI ) =

4 −λ

−2

= −λ3 + 7λ2 −16λ +12 =

−2 4

−6

−2 4 −λ

−6

= −(λ − 2)2 (λ −3)

Найдем собственные значения λ :

pA (λ) = 0 λ1 = 2, λ2 = 3

Получим соответствующие собственные векторы t :

(A −λI )t = 0

λ1

−1 − 2 −1

1 x1

= x

±0

6 4 − 2

−2

0 + x

−6

−2 4 −

t1 1

t1 2

λ2

−1 −3 −1

1 x1

= x

6 4 −3 −2

−2

−6

−2 4 −3

Тройка собственных векторов {{t11 ,

t1 2 }, { t 2 1 }}

t 2 1

образует базис.

Матрица

T перехода от

старого

канонического

базиса

{ e } к новому базису из

собственных векторов { t } ={{t11 ,

t1 2

{ t 2 1 }}

равна

1 0 1

4 1 −1

T =

0 1−2

−1 = −6

−1 2

3 1 2

−1 1

−3

В базисе из собственных векторов матрица оператора диагональная

λ1

0 0 2 0 0

A = Λ =

λ1 ±0 =

0 2 ±0

0 0 λ

0 0 3

Проверку справедливости разложения

									−1 −1 1 1 0 1 2 0 0 4 1 −1
								A =		6 4 −2						=				0 1−2									0 2 0						−6 −1 2									=T Λ			T −1

										−6 −2 4										3 1 2									0 0 3						−3 −1 1
										−6 −2 4										3 1 2									0 0 3						−3 −1 1
удобно провести в следующем виде:
																											A T =T Λ
Имеем
																				λ1				0				0
A t	11	, t			, t		2 1		= t		11	, t	1	2	, t		2 1				0			λ	1			0			At			11		, At				1 2		, At	2		= λ		1	t	11	,	λ	1	t	1 2	,λ	2	t	2 1
	11		1 2				2 1				11		1	2			2 1								1									11						1 2			2	1			1		11			1		1 2		2		2 1
																					0			0				λ2
																					0			0				λ2
Построим “косые” проекторы Pk																					на собственные подпространства параллельно другим.
																							0																0							0 0 0
																			1 0				0									1 0							0							0 0 0
I =T T −1 =T I T −1 =T																			0 1				0			T −1 =T							0 1						0		T		−1+T				0 0 0								T −1 =

																		0 0					1										0 0 0														0 0 1
																		0 0					1										0 0 0														0 0 1
																																					\\													\\
																																					P1														P2
									*								0													±												0 0 0				± *
					1±0				*			1 0					0					4 1 −1								±				1								0 0 0				± *
	=			±0 1					*			0 1					±0				−6 −1 2									+ ±* *				−2								0 0		±0				* ±							=
																						* * *									* *										±0 ±0 1
				3 1					*		±0 ±0 0											* * *									* *				2						±0 ±0 1						−3 −1 1
															\\																											\\
															P1																												P 2
								1 0				4 1						−1					1												4 1−1										−3 −1 1
						=			0 1			4 1						−1			+			−2									=				−6 −1 2							+		6 2 −2
						=			0 1												+			−2				−3 −1 1					=				−6 −1 2							+		6 2 −2
									3 1			−6				−1 2								2														6 2 −1
									3 1															2														6 2 −1							−6 −2 2
																																								\\							\\
																																									P1						P2

Из построения проекторов очевидно “косое” разложение единицы и спектральное разложение диагонализируемого оператора, задаваемого матрицей A

I = P1 + P2 A = λ1 P1 + λ2 P2

Наконец, найдем значение характеристического полинома pA ( A) . Из разложения следует

I =T I T −1, A =T Λ T −1, A2 =A A =T Λ (T −1 T ) Λ T −1 =T Λ2 T −1,		A3 =...=T Λ3 T −1, ...
так что
pA (λ1) 0			0
					=0
pA ( A) =−A3 +α2 A2 +α1A+α0 I =T (−Λ3+α2Λ2 +α1Λ+α0 I )T −1=T	0	pA (λ1) 0		T −1	=0

	0	0	pA (λ
	0	0	pA (λ	2 )

Замечание. Для любого произвольного оператора справедлива теорема Гамильтона-Кели pA ( A) = 0

11.ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

№11.1. Можно ли принять в данном пространстве в качестве скалярного произведения функцию двух векторных аргументов

a. Rn :	( x, y )		n			m
a. Rn :	( x, y )		= ∑xk yk ;		( x, y )= ∑xk yk , m < n
			k =1			k =1
b. Pn :	(	p, q )	n		(	m
b. Pn :	(	p, q )	= ∑ p (xk )q (xk );		(	p, q )= ∑ p (xk )q (xk ), m < n
			k =1			k =1
c. Pn a,		b : (	p, q )= b∫ρ(x)p(x)q(x)dx, где весовая функция ρ(x) > 0 - непрерывна.
			a
a. Cn :	( x, y )		n			n
a. Cn :	( x, y )		= ∑xk yk ;		( x, y )= ∑xk yk
			k =1			k =1
b. Pn :	(	p, q )	n−1		(	m−1
b. Pn :	(	p, q )	= ∑ak bk ;		(	p, q )= ∑ak bk , m < n
			k = 0			k = 0
c. Pn 0, + ∞ ):			+∞
c. Pn 0, + ∞ ):			( p, q )= ∫	e −x p(x)q(x)dx
			0

№ 11.2. Записать неравенство треугольника и неравенство Коши-Буняковского для скалярных произведений ( № 11.1. )

Ортогонализировать базис в Rn , полагая (

№ 11.3.

y )= ∑xk

k =1

−5

−4

a. f

−4

±5

= ±5

−2 ,

6 ,

−5

−1

±4

±1

−4

−3

−1

a. f

= −3

= ±9

−5

= 6 ,

−2 ,

−3

±3

−1

№ 11.4.

Ортогонализировать базис в Pn a, b , полагая ( p, q )= b∫ρ(x)p(x)q(x)dx

{x 0 ,

x1, x2 ,

...},

x −1, +1

ρ(x) ≡1

{x 0 ,

x1, x2 ,

...},

+ ∞

)

ρ(x) = e −x

x 0,

№ 11.5. Проверить, чтосистемакомплексно-значныхфункцийобразуетортонормированный базис в пространстве тригонометрических полиномов со скалярным произведением

T2n+1={T (x) =bn sin nx +...+b1 sin x +a 0 +a1 cos x +...+an cos nx }, (T, S )=+∫π T (x)

S(x)

−π

{

sin nx , ... ,

sin x ,

cos x ,

... ,

cos nx }

2π

{

e −i n x , ... ,

e −i x ,

e +i x

, ... ,

e +i n x }

2π

Теория			(a, b)
Скалярным произведением называется		скалярная функция	(a, b)	двух векторных
аргументов, удовлетворяющая условиям:
1	( a, a )≥ 0 (= 0 a = 0)
2	( a, b )= ( b, a )
3	(α a, b ) = α ( a, b )	( a, α b )= α ( a, b )
4	( a + b, c )= ( a, c )+( b, c )	( a, b + c )= ( a, b )+ ( a, c )
Замечание. В вещественном пространстве аксиома 2 имеет вид ( x, y )= ( y, x )= ( y, x ).
Замечание. Проверка условий 2 , 3 , 4		как правило тривиальна. Затруднения обычно
вызывает проверка 1 .
Линейное пространство En со скалярным произведением называется евклидовым.
Замечание. Евклидово пространство En можно рассматривать как абстрактный аналог

геометрического пространства V , в котором кроме операций сложения векторов и умножения на скаляр определены длины векторов и углы между ними ( № 1.3. a. ).

В просто линейном пространстве нельзя представить себе, что один вектор короче другого, или что пара векторов образует прямой угол. Наделение линейного пространства абстрактным скалярным произведением позволяет ввести аналог длины вектора ( № 11.2. ) и угла между ними, в частности, ортогональность ( № 11.3. ).

№ 11.1. a.

В координатном пространстве Rn столбцов x, y, z , ... высоты скалярная функция столбцов

			(		n
			(	x, y ) = ∑xk yk
Проверим справедливость аксиом					k =1
Проверим справедливость аксиом
	n	n			(xk )2 = 0 x = 0)
1	( x, x )= ∑xk xk = ∑(xk )2 ≥ 0 (= 0				(xk )2 = 0 x = 0)
	kn=1	kn=1		y, x )
2	( x, y )= ∑xk yk = ∑ yk xk = (			y, x )
	k =1n	k =1	n		( x, y )
3	(α x, y )= ∑ α xk yk =α ∑xk yk =α				( x, y )
	k =1n		k =1	n	n	)+( y,
4	( x + y, z )= ∑(xk + yk )zk = ∑xk zk				+ ∑ yk zk = ( x, z	)+( y,
	k =1		k =1		k =1

n рассматривается

z )

Замечание. Скалярная функция

			m
	( x, y )= ∑ xk yk , m < n
			k =1
очевидно, удовлетворяет условиям 2		, 3	, 4 и почти условию 1			, кроме уточнения
	(		?
Действительно,	(	=	0 x = 0 )
Действительно,
m	m					xm +1, ... , xn
0 = ( x, x )= ∑xk xk = ∑(xk )2				xk = 0,	m < n;	xm +1, ... , xn
k =1	k =1
т.е. “скалярный” квадрат	( x, x )= 0		равен	нулю для	ненулевых векторов x ≠ 0 с
ненулевыми последними компонентами xm +1,				... , xn .

№ 11.1. b.

В пространстве Pn полиномов p, q, r, ... степени ≤(n−1) рассматривается скалярная функция

( p, q ) = ∑ p (xk ) q (xk )

k =1

Проверим справедливость аксиом

1 ( p, p ) = ∑ p(xk ) p(xk )

k =1

Отдельно уточним требование

= ∑(p(xk ))2 ≥ 0

k =1

(= 0 p = 0). Имеем

(

p ) = 0

∑ p(xk ) p(xk ) = ∑(p(xk ))2

= 0 p(xk ) = 0,

k = 1,..., n

k =1

≤ (n −1)

n корней,

Следовательно,

полином

степени

имеет

что

возможно

только в

тривиальном случае p(x) ≡0

p =0 . В обратную сторону p = 0 ( p, p)= 0

очевидно.

Проверка оставшихся аксиом 2 , 3 , 4 аналогична № 11.1. a.

( p, q )= ∑ p(xk ) q(xk ) = ∑q(xk ) p(xk ) =( q, p )

k=1n

k=1

=α ( p, q )

(α p, q )= ∑α p(xk ) q(xk ) =α ∑ p(xk ) q(xk )

k=1

( p +q, r )= ∑(p(xk ) +q(xk ))r(xk ) = ∑p(xk ) r(xk ) +∑q(xk ) r(xk ) =( p, r )+( q, r )

k=1

Замечание. Скалярная функция

( p, q )

= ∑ p (xk ) q (xk ), m < n

k =1

( p, p )= 0 для

не является скалярным

произведением, т.к. “скалярный”

квадрат

ненулевого полинома p = p(x) = (x − x1) ... (x − xm ) ≡ 0 степени ≤ (n

− 1).

№ 11.1. c.

Pn a, b

q, r, ...

≤(n − 1)

пространстве

полиномов

степени

рассматривается

скалярная функция

p, q )= b∫ρ(x) p(x) q(x)dx, ρ(x) > 0

(

Снова остановимся на проверке наиболее неочевидного требования

( = 0 p = 0 )

f (x) ≥ 0

Вспомним, что если, для непрерывной

неотрицательной функции

интеграл

(

)

, то

f (x) ≡ 0

. Следовательно,

∫

x dx = 0

0 = (

p, p )= ∫ρ(x)(p(x))2dx ρ(x)(p(x))2 ≡ 0 p(x) ≡ 0 p = 0

Остальные свойства очевидны.

(

p, q )=b∫ρ(x) p(x)q(x)dx = b∫ρ(x) q(x) p(x)dx = ( q, p )

(α p, q )=b∫ρ(x) α p(x)q(x)dx = α b∫ρ(x) p(x)q(x)dx =α ( p, q )

(

p +q, r )=∫ρ(x)(p(x) +q(x))r(x)dx =∫ρ(x) p(x)r(x)dx +∫ρ(x)q(x)r(x)dx =( p, r )+( q, r )

№ 11.2.

Нормой

вектора

называется скалярная

функция

векторного аргумента,

удовлетворяющая условиям:

≥ 0 (= 0 a = 0)

a +b

α a

a + b

≤

- неравенство треугольника.

Замечание. Если скалярное произведение определено, то норма задается равенством

( a, a )

Тогда имеет место неравенство Коши-Буняковского

( a, b )

≤

Метрикой называется скалярная функция ρ(a, b) двух векторных аргументов, удовлетворяющая условиям:

1 ρ(a, b) ≥ 0 (= 0 a = b)

2ρ(a, b) = ρ(b, a)

3ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b) - неравенство треугольника

Замечание. Если норма определена, то метрика задается равенством

ρ(a, b)= a −b

№ 11.2. a.

Rn : ( x, y )= ∑xk yk

∑xk 2

ρ(x, y)

= ∑(xk − yk )2

k =1

Неравенство треугольника

x + y

≤

∑(xk + yk )2 ≤

∑xk 2 +

∑yk 2

k =1

Неравенство Коши-Буняковского

( x, y )

≤

∑xk yk

≤ ∑xk

2 ∑yk

k =1

№ 11.2. b.

Pn a,b :

( p, q )= b p (x)q (x)dx

a∫

Неравенство треугольника

(p(x) + q(x))2 dx

p + q

≤

∫

	b
∫b p(x)2 dx ρ(p, q)= ∫		(p(x) − q(x))2 dx
a	a
≤ ∫b p(x)2 dx +	b∫q(x)2 dx
a	a

Неравенство Коши-Буняковского

( p, q )

≤

∫b p(x)q(x)dx

2 ≤ ∫b p2 (x)dx ∫b q2 (x)dx

№ 11.3.

Векторы a, b называются ортогональными, если ( a, b )= 0 .

Базис {e } ={... , ei , ... , e j , ...} называется ортонормированным, если ( ei , e j )

=δi vj .

евклидовом

пространстве из произвольного

базиса { f } ={ f1, f2

, f3 , ...}

с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта

можно получить ортонормированный.

= f

= ?

e1 =

g1 = f1

g2 = f2 −α21 e1

g2 e1			( g2 , e1 )= 0

				g2
	g2	= ?	e2 =

				g2
				g2

g3 = f3 −(α31 e1 +α3 2 e 2 )

( g3, e1 )= 0

( g3

, e2

)= 0

= ?

И т.д.

	α21 = (	f2 , e1 )
				e2
				e2	g2
					g2
			e1		f2
		f1			f2
			g3		f3
α31 = (		f3 , e1 )	e3
	α3 2 = (	f3 , e2 )	e3	e2
	α3 2 = (	f3 , e2 )		e2
		f1	e1		f2
		f1			f2

Замечание. Построенный на k -том шаге вектор gk

= fk −(αk1 e1 + ... +αk, k −1 ek −1 )= fk + (* f1 + ... +* fk −1 )

gk =

ek f1, ..., fk −1

можно рассматривать, как “высоту”

k -мерного “параллелепипеда”

{

f1, ... , fk −1, fk },

в основании которого лежит (k −1)-мерный “параллелограмм” {

f1, ... ,

fk −1 }. При этом,

= L - длина вектора g1 = f1

{ f1, f2 }

{ f1 }

и высотой { g2 }

= S - площадь параллелограмма

с основанием

- объем параллелепипеда {

f1, f2 , f3 }

с основанием {

f1, f2 }

и высотой { g3 }

И т.д.

Отсюда вытекает геометрический смысл определителя

±1

det A =det

f1, f2 , f3, ...

=det g1, g2 , g3, ... =(

... ) det e1, e2 , e3, ... =± V

модуль которого равен “объему” n -мерного параллелепипеда {

f1, f2 ,

, ...}, а знак ±

определяет, так называемую, ориентацию базиса ( “правого” или “левого”).

№ 11.3. b.																	−4									5							1											6
														f =			−4		,	f	2	=				5		,	f	3	=		5	,	f	4	=							2
														1				4			2					1				3			7			4						−4
																		4								1							3									4
1)
1)							−4																																													−1
							−4																																									g1				−1
g		=	f			= −4																																		g				= 8		e =				= 1 −1


1				1			4																															1								1		g1	2			1
1				1			4																															1								1			2			1
							4																																													1
							4																																													1

2)													5					−1
													5					−1
g	2	= f		2	−α		2 1	e	1	=			5	−α	2 1			1 −1				→
	2			2			2 1		1				1		2 1			2	1
													1						1

													α2 1 = (			f2 , e			1 ) = 1					(5 (−1) +5 (−1)+1 1+1 1) =−4
																						2
			5										−1					3																														g2				1
→			5			− (−4)					1 −1			=				3																								g2			= 6 e2 =					= 1 ±1
			5								1 −1							3

			1								2		1					3																														g2	2			±1
			1										1					3																																	1
			1										1					3																																	1

3)																		1								−1									1
																		1								−1									1
g3 = f3 −(α31 e1 +α3 2 e2 ) =																		5	−α31					1		−1			−α3 2				1		1						→
g3 = f3 −(α31 e1 +α3 2 e2 ) =																		7	−α31					2			1		−α3 2				2		1						→
																		3									1								1

													α31 = (			f3, e1			) =			1 (1 (−1) +5 (−1) +7 1+3 1) = 2
																f3		, e2				2	(1 1 + 5 1 +7									1 + 3 1) = 8
												α3 2 = (				f3		, e2	)= 12				(1 1 + 5 1 +7									1 + 3 1) = 8
			1									−1							1					−2																								g3				−1
→			5			− 2			1 −1					− 8				1	1			=				2													g					=4		e	=			=1		±1
→			5			− 2			1 −1					− 8				1	1			=				2													g					=4		e	=			=1		±1
			7						2				1					2	1							2																	3			3		g3		2		±1
			7						2				1					2	1							2																	3			3				2		±1
			3										1						1						−2																											−1
			3										1						1						−2																											−1

4)

g4 = f4 − (α4 1e1 +α4 2

α4 1

α4 2

α4 3

e2 +α4 3 e3 )

=( f4 , e1 )

=( f4 , e2 )

=( f4 , e3 )

	6				−1				1				−1
=	2	−α	4 1	1	−1	−α	4 2	1	1	−α	4 3	1	1	→
	−4		4 1	2	1		4 2	2	1		4 3	2	1
	4				1				1				−1

= 12 (6 (−1) +2 (−1) −4 1+4 1) = −4

= 12 (6 1 + 2 1 − 4 1 + 4 1) = 4

= 12 (6 (−1) +2 1−4 1+4 (−1)) = −6

	6			−1				1						−1				−1												g4				−1
→	2	− (−4) 1 −1				−4 1		1	−(−6) 1						1	=			1				g4			=2			e4 =			=1 ±1
	2							1							1				1

	−4	2		1			2	1					2		1			−1												g4	2			−1
	4		1					1						−1					1														1
	4		1					1						−1					1														1

Итак,								−1							1						−1							−1
								−1							1						−1							−1
					e		= 1	−1		,	e	2	= 1		±1	,	e		= 1		±1	,	e	4		= 1		±1
						1	2	1				2	2		1		3			2	±1			4	2			−1
								1							1						−1						1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.2019228.35 Кб610-18.doc
#
28.08.201957.86 Кб210. Нематериальные активы.doc
#
02.11.20182.71 Mб4100 великих адмиралов.doc
#
23.02.20154.76 Mб168102-19.doc
#
23.02.201573.73 Кб6105.doc
#
23.02.20152.22 Mб131060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra.pdf
#
17.09.2019271.04 Кб311-20.docx
#
23.02.201531.76 Кб311.docx
#
18.09.2019217.6 Кб4116.doc
#
16.11.2019644.61 Кб101163065107625.doc
#
23.02.201544.38 Кб19123.docx