1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra
.pdf4.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ
№4.1. Является ли система векторов { a1, ... ,ak , ... ,am } линейно зависимой, и найти все эти зависимости (сравнить с № 2.1.).
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
1 |
= |
−1 |
, |
a |
2 |
= |
−1 |
, |
a |
3 |
= 1 |
, |
a |
4 |
= |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
1 |
= |
|
3 |
, |
a |
2 |
= |
2 |
, |
a |
|
= 1 |
, |
a |
4 |
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ 4.2. |
Выяснить, принадлежит ли вектор b Lin{ a1, ... ,a k , ... ,am } линейной оболочке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов, и найти все разложения вектора b по системе { a1, ... ,ak , ... ,am }. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
1 |
= |
|
2 |
, |
a |
2 |
= |
−3 |
, |
a |
3 |
= 3 |
, |
a |
4 |
= |
|
−1 |
; b = |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
1 |
= |
−2 |
, |
a |
2 |
= |
−3 |
, |
a |
|
= |
7 |
, |
a |
4 |
= |
5 |
; b = |
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ 4.3. |
Показать, |
что |
система векторов |
{ f1, ... , fk , ... , |
fn } |
|
образует |
базис |
и найти |
||||||||||||||||||||||||||||
разложение вектора b по этому базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
1 |
= |
|
−2 |
, |
f |
2 |
= |
5 |
, |
f |
3 |
= 1 |
, |
f |
4 |
= |
|
−5 |
; b = |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
1 |
= |
|
−2 |
, |
f |
2 |
= 1 |
, |
f |
3 |
= |
−2 |
, |
f |
4 |
= 5 |
; b = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 4.4. |
|
Найти базис |
и |
|
размерность |
пересечения |
двух |
подпространств |
L1 ∩L2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
Проверить справедливость формулы Грассмана (сравнить с. № 2.3.). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
L1 = Lin{a1 |
|
−1 |
|
a 2 |
|
−1 |
|
}, L2 = |
Lin{b1 = |
1 |
b |
|
|
−3 |
} |
R5 |
|
|||||||||||||||||||
|
= |
2 |
, |
= |
7 |
|
|
|
7 |
, |
2 |
= |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
L1 = Lin{a1 |
|
2 |
|
a 2 |
|
−5 |
|
}, L2 = |
Lin{b1 = |
|
5 |
b |
|
|
2 |
} |
R5 |
|
||||||||||||||||||
|
= |
−1 |
, |
= |
0 |
|
|
|
−4 |
, |
2 |
= |
−5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
21
№ 4.1.
Система векторов {a1, ... , ak , ... , am } называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации
x1 a1 + ... + xk a k + ... + xm am = 0
возможно только в тривиальном случае x1 =... = xk =... = xm = 0 , и линейно зависимой, если это возможно, когда среди чисел x1, ... , xk0 , ... , xm хотя бы одно xk0 ≠0 отлично от нуля.
Следовательно, выяснение вопроса линейной зависимости / независимости можно свести к решению однородной системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов, построенной из столбцов системы линейных уравнений
|
|
|
|
|
A = a1, ... , |
a k , ... , am |
|
Если |
система уравнений имеет только |
тривиальное решение, то векторы |
|
{a1, |
... , ak , ... , am } линейно независимы, |
а |
если имеются ненулевые решения, то |
линейно зависимы, при этом компоненты решений и есть коэффициенты нетривиальных линейных комбинаций, равных нулю.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
0 |
|||||||
x |
1 |
|
−1 |
+ x |
|
−1 |
+ x |
1 |
+ x |
|
−2 |
= |
0 |
||||||||||
|
|
−2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
7 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
+ |
2x2 |
|
+ |
|
x3 |
+ |
3x4 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−x1 |
− |
x2 |
|
|
− |
2x4 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−2x1 |
+ |
3x2 |
|
+ |
7x3 |
+ |
|
x4 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3x |
1 |
+ |
2x |
|
− |
4x |
+ |
5x |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 0 3 |
|
1 2 0 3 |
|
|
|
|
1 0 |
|
|
−2 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
A = |
−1 |
−1 1 |
−2 |
~ |
0 1 1 1 |
~ |
|
|
0 1 |
|
|
|
1 1 |
= A |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2 3 7 1 |
|
|
|
0 7 7 7 |
|
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
− |
4 5 |
|
|
|
±0 |
−4 −4 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
\\ |
|
|
\\ |
|
\\ |
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
\\ |
\\ |
\\ |
|
|
||||||||||||
|
|
a1 |
|
a2 |
a3 a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
|
a3 |
a4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
2x3 |
−1x4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||
x1 |
|
x |
|
= 2x3 |
− |
x4 |
|
x2 |
|
= −1x3 |
−1x4 |
|
= x |
|
−1 |
+ x |
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= −x |
− |
x |
|
x |
|
|
1x |
1x |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
x3 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
Столбцы |
a1, a2 |
, a3 |
, a4 |
исходной |
матрицы |
|
|
|
A |
|
трансформировались в |
||||||||||||||||||||||||||
столбцы a1, |
a2 |
, a3, a4 |
преобразованной методом Гаусса матрицы A , откуда видно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a3, a4 |
являются |
некоторыми |
линейными комбинациями |
a1 , |
a2 |
(коэффициентами |
||||||||||||||||||||||||||||||||
разложений преобразованных столбцов |
a3, |
a4 |
по столбцам |
|
a1 = e1, |
a2 = e2 являются их |
||||||||||||||||||||||||||||||||
компоненты).. Следовательно, данная система векторов a1, a2 , |
a3, |
a4 линейно зависима. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В частности, |
векторы |
a3, |
a4 |
линейно выражаются |
|
через |
|
|
векторы |
a1, a2 (при этом |
коэффициентами разложений являются компоненты преобразованных столбцов a3, a4 ): a3 = −2 a1 +1 a2 , a4 = +1 a1 +1 a2
22
№ 4.2.
Принадлежность вектора b Lin{ a1, ... , a k , ... , am } означает существование чисел x1, ... , xk , ... , xm таких, что
b = x1 a1 + ... + xk ak + ... + xm am
Следовательно, выяснение вопроса возможного разложения вектора b |
|
по векторам |
||||||
{ a1, ... , a k , ... , am } можно свести к решению неоднородной |
системы |
линейных |
||||||
уравнений с расширенной матрицей коэффициентов A- = a |
1 |
, ... , a |
k |
, ... , a |
m |
|
b . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Если система уравнений имеет решение (совместна), то вектор
b Lin{ a1, ... , a k , ... , am }
т.е. b разлагается по векторам { a1, ... , a k , ... , am }, при этом компоненты решений и есть коэффициенты разложений.
Если же система неоднородных уравнений не имеет решения (несовместна), то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b Lin{ a1, ... , a k , ... , am } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
1 |
2 + x |
|
−3 |
+ x |
3 |
+ x |
|
−1 = |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
−1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
4 |
|
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
− 2x2 |
+ x3 |
− x4 |
|
= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x1 |
− |
3x2 |
+ |
3x3 |
− |
|
x4 |
|
= −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x1 |
− |
x2 |
+ |
2x3 |
− |
3x |
|
= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−1x |
1 |
− |
2x |
|
− |
5x |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 −2 1 −1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
1 −2 1 −1 |
−2 |
|
1 ±0 |
±3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−3 3 |
−1 |
|
−4 |
|
~ |
|
|
±0 1 1 1 |
0 |
~ |
|
0 1 |
1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
−1 2 |
±0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
0 1 1 1 |
0 |
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 −2 |
−5 −3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
−4 −4 −4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
−2 −3x3 |
−1x4 |
|
−2 |
|
|
−3 |
|
|
−1 |
||||||||||
x1 |
|
x |
= −2 |
− |
3x3 |
− x4 |
|
x2 |
= |
|
−1x3 |
−1x4 |
|
= |
0 |
+ x |
|
−1 |
+ x |
|
−1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
− |
x |
− x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1x |
1x |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
1 |
|
4 |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xчн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
\\
xон
Замечание. Из частного решения, например, следует, что b = −2 a1 + 0 a2 + 0 a3 + 0 a4
23
№ 4.3.
Система из n векторов { |
f1, ... , f k , ... , f n } Rn |
в n -мерном пространстве образует |
|
базис, если она линейно |
независима. При |
этом |
вектор b единственным образом |
разлагается по базису |
|
|
|
|
b = x1 f1 + ... + x k |
fk + ... + xn fn |
Следовательно, выяснение вопроса можно свести к решению неоднородной системы |
|||||||||||||||||
линейных уравнений с расширенной матрицей |
A- = f |
1 |
, |
... , f |
k |
, ... , f |
n |
|
b , с попутным |
||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нахождением ранга матрицы системы уравнений |
|
f1, |
... , |
f k , ... , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
f n . |
|
|
|
|
||||||||||||
Если rang A = n , то |
система линейных неоднородных |
уравнений |
имеет, и при том, |
||||||||||||||
единственное решение |
при любом столбце |
свободных |
членов, |
так |
что |
векторы |
|||||||||||
{ f1, ... , f k , ... , f n } Rn образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
Применяя метод Гаусса, приведем матрицу A в расширенной матрице |
= |
A |
|
b к |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
A |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“единичному” виду (в данном случае “единичный” вид - это просто единичная матрица). При этом правая часть b преобразуется в решение x системы уравнений
|
A |
|
b |
~ |
|
I |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одновременно представляя собой координаты вектора b в базисе { f }={ f1, ... , fk , ... , fn }.
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
−2 |
+ x |
|
5 |
+ x |
1 |
+ x |
|
−5 |
= |
|
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
2 |
−5 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
− 2x2 |
+ |
|
x3 |
+ 2x4 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−2x1 |
+ |
5x2 |
|
− |
5x4 |
= −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x1 |
− |
5x2 |
|
|
x |
|
+ |
6x4 |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2x |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −2 0 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 −2 0 2 |
|
|
|
1 |
|
1 0 2 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−2 5 1 |
−5 |
|
|
−1 |
|
~ |
|
|
0 1 1 |
−1 |
|
1 |
~ |
|
|
0 1 1 −1 |
||||||||||||
|
2 |
−5 0 6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 −1 0 2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 ±0 1 1 |
|||||||||||
|
0 0 1 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 0 1 2 |
|
±3 |
|
|
|
±0 0 1 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 −2 |
−1 |
|
|
1 0 ±0 ±0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
0 1 0 |
−2 |
|
|
−1 |
~ |
|
|
0 1 0 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 1 |
|
|
±2 |
|
|
|
0 ±0 1 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 0 0 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. b =1 f1 +1 f2 +1 f3 +1 f4
3
1 ~
2
3
1
1
1
1
24
№ 4.4.
По определению пересечения
L1 ∩ L2 = Lin{ a1, |
a 2 , ... } ∩ Lin{ b1, b2 , ... } |
|
необходимо найти векторы, допускающие одновременно представление |
||
c = x1 a1 + x 2 a 2 |
+ ... = y1 b1 + y 2 b2 + ... |
|
Следовательно, задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений |
||
(x1 a1 + x2 a 2 |
+ ... ) |
− (y1 b1 + y 2 b2 + ... ) = 0 |
с матрицей коэффициентов |
|
|
A= a1, a 2 , ... , −b1, −b2 , ... . Пересечение будут |
составлять множество векторов указанного выше вида, в котором роль коэффициентов
(x1, |
|
x2 , ... ), |
|
(y1, |
y 2 , |
... ) играют решения полученной системы уравнений. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
−1 |
+ x |
|
−1 |
= |
y |
1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
7 |
+ y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
−1 |
|
|
2 |
|
−3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
+ |
2x2 |
− |
y1 |
− |
2 y2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−x1 |
− |
x2 |
− |
y1 |
+ |
3y2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x1 |
+ |
7x2 |
− |
7 y1 |
− |
2 y2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−x |
1 |
− |
3x |
− |
2 y |
+ |
6 y |
2 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−x1 |
− |
2x2 |
− |
2 y1 |
+ |
5y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 −2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
−1 −2 |
|
1 0 3 −4 |
|
|
−1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ±0 ±0 |
||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
−1 |
−1 3 |
|
|
|
|
|
0 1 |
−2 1 |
|
±0 1 −2 1 |
|
0 1 0 |
−1 |
|||||||||||||
|
2 7 |
−7 |
−2 |
|
|
~ |
0 3 |
−5 2 |
~ |
|
0 0 1 −1 |
~ |
|
|
0 0 1 |
−1 |
|
||||||||||||
|
−1 |
|
−3 |
−2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
0 −1 |
−3 4 |
|
|
0 0 −5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−1 |
−2 |
−2 5 |
|
|
|
|
|
0 0 |
−3 3 |
0 0 −3 3 |
|
0 0 0 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2y1y2
L1
|
|
1y2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
1y2 |
|
= y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1y2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
(1 a1 +1 a2 |
)= y2 |
|
−2 |
|
= y2 (1 b1 +1 b2 ) L2 |
L1 ∩L2 |
|
−2 |
|
} |
|||||
y2 |
|
9 |
|
= Lin{c }= Lin{ |
9 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
\ c\
Замечание. Учитывая решение № 2.3., получим
L1=Lin {a1, a 2}, L2 =Lin {b1, b2 } |
L1 +L2 =Lin {a1, a 2 , b1}, L1∩L2 =Lin{a1 +a2 =b1 +b2 } |
||
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
2 |
// |
// |
// |
// |
dim(L1 + L2 ) |
+ dim(L1 ∩L2 )= dim (L1 ) |
+ dim (L2 ) |
25
5.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
№5.1. Найти определитель матрицы, раскрывая по элементам строки (столбца).
|
±1 * * * * |
|
|
±0 0 0 1 0 |
|
|
1−1 2 |
3 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 2 * * * |
|
|
5 |
0 |
5 |
9 |
0 |
|
|
||||||||
a. |
|
b. |
|
c. |
−2 1 0 |
1 |
||||||||||||
0 0 3 * * |
|
7 |
2 |
3 |
8 |
5 |
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
4 |
* |
|
|
4 |
0 |
6 |
7 |
4 |
|
|
2 |
0 |
−1 3 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
1−1 |
|||||||||||
|
0 0 0 0 5 |
|
|
0 |
0 |
3 |
6 ±0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
λ1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
±5 7 0 0 6 |
|
|
−1 2 |
1−3 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a. |
0 |
λ2 |
0 |
0 |
0 |
|
b. |
2 |
9 |
3 8 |
5 |
|
c. |
4 1 0 |
−1 |
|||
0 0 |
λ3 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
2 0 |
1 2 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
λ4 |
0 |
|
|
8 |
5 |
0 |
4 |
7 |
|
|
3 2 |
1 −1 |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
λ5 |
|
|
0 |
1 0 |
0 |
±8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ar cosϕ sinθ
d.D(x,ϕy,θz) , y = br sinϕ sinθ D(r, , ) z = cr cosθ
|
D(x, y, z) |
x = ar cosϕ |
||
d. |
|
y = br sinϕ |
||
D(r,ϕ, z) , |
||||
|
||||
|
|
|
z = z |
№ 5.2. Найти определитель матрицы, применяя метод Гаусса.
|
|
|
±2 −4 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 −2 |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a. |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
−1 ±1 4 −3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 −11 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 1 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −6 −12 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
9 |
−11 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −3 |
0 |
−3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 −2 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 −2 |
−2 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 −4 |
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a. |
|
|
1 −4 |
4 |
|
−3 |
|
|
|
b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −4 |
3 |
−2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 −2 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −2 −6 −14 −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 −8 −13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −2 −2 |
−8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 5.3. Показать, |
что система векторов { f1, ... , fk , |
... , fn } |
образует базис и найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложение вектора b по этому базису (сравнить с № 4.3.). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
f |
1 |
= 2 |
, f |
2 |
= |
−1 |
, |
f |
3 |
= 2 |
, f |
4 |
= |
4 |
; b = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
f |
1 |
= |
−1 |
, f |
2 |
= |
−1 |
, |
f |
3 |
= |
0 |
, f |
4 |
= |
|
−2 |
; b = |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
±0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 5.4. Найти ранг матрицы и указать базисный минор (сравнить с № 2.4.). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = −2 |
|
−6 4 |
|
−4 |
|
−6 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
−3 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
−2 |
|
3 |
−1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = 2 |
|
−4 6 |
−2 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
−4 5 |
−1 |
|
−3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
−6 8 |
−2 −3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Теория
Определителем квадратной матрицы |
|
|
n |
го |
порядка называется |
A = q1, ... , qk , ... , qn |
|
значение функционала (числовой функции) Dn от n векторных аргументов-столбцов
|
|
|
q1 ... qk |
... |
qn |
||
|
|
|
a11 |
. |
a1k |
. |
a1n |
|
|
|
|||||
det A = Dn ( q1, ... , qk , ... , qn ) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ai1 |
. |
ai k |
. |
ai n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1 |
. |
an k |
. |
an n |
|
|
|
|
|
|
|
|
- n -линейного (т.е. линейного по каждому аргументу)
Dn ( ... |
, |
αk qk + βk pk , ... )=αk Dn ( ... |
, |
qk , ... ) + βk Dn ( ... |
, |
pk , ... ) |
|
- антисимметричного |
|
|
|
|
|
||
|
|
Dn ( ... |
, q, ... , p, ... ) = – Dn ( |
... , p, ... , q, ... ) |
|
|
- нормированного условием |
|
|
Dn ( e1, |
... , ek , ... , en )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Минором M i j элемента |
ai j называется |
|
определитель |
матрицы |
( |
|
) |
го |
порядка, |
||||||||||||||||||
|
|
n−1 |
|
||||||||||||||||||||||||
получающейся из данной вычеркиванием i ой строки и |
j го столбца. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a11 |
... |
* |
... a1n |
|
|
|
|
a11 ... ... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M |
|
= |
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i j |
* |
|
a |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1 ... ... |
an n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
an 1 ... * ... an n |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
)i+j |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Алгебраическим дополнением Ai j элемента ai j |
называется |
Ai j = |
|
M i j |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
A11 |
A12 |
A13 |
|
|
|
|
A21 |
A22 |
A23 |
= |
|
||||
A |
|
A31 |
A32 |
A33 |
|
|
|
|
|
|
|
... ...
...
...
...
|
|
+ |
|
|
− |
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
− |
+ |
... |
|
+ |
− |
... |
|
− |
+ |
... |
|
|
|||
... |
|
|
|
|
|
|
|
Имеют место формулы разложения определителя по элементам:
i ой строки |
|
j го столбца |
n |
(i =1, ... , n) |
n |
det A = ∑ai k Ai k |
( j =1, ... , n) ∑ak j Ak j = det A |
|
k =1 |
|
k =1 |
Замечание. Разложение целесообразно вести по строке (столбцу), в которых более всего нулевых элементов.
Отсюда, в частности, получаем, что определитель “треугольной” (в частности, “диагональной”) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
27
№ 5.1. a.
|
|
1 |
|
* |
|
* |
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
* |
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
±2 |
|
* |
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
±3 |
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
3 |
|
* |
* |
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 2 |
|
0 |
|
±4 |
|
|
|
* |
=1 2 3 |
|
|
|
=1 2 3 4 |
|
5 |
|
=1 2 3 4 5=120 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
± |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
±5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
4 |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 ±5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 ±5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
№ 5.1. b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±5 * |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 ±0 5 * 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 ± 3 * 5 |
= (−1) |
|
|
|
* |
|
|
2 |
|
|
* |
|
* |
|
|
= |
(−1) (+2) |
|
4 ±* |
|
|
4 |
|
= (−1) (+2) (−3) |
±5 |
|
|
0 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
±6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
* |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
0 |
|
6 ±* |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±0 |
|
|
0 |
|
|
3 ±0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
±0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
±0 |
0 |
|
3 |
|
* |
±0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1) (+2) (−3) (+4) |
|
±5 |
|
= (−1) (+2) (−3) (+4) (+5) =120 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 5.1. c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 −1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 −1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
−2 1 0 1 |
= |
|
−2 1 0 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
0 −1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
−3 1 1 |
−1 |
|
|
−3 1 1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
±* −1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
±1 * 2 3 |
|
|
|
|
|
|
±1 −1 * 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±1 −1 2 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=+ |
|
* ±1 ±0 1 |
|
|
– |
−2 ±* ±0 1 |
|
+ |
|
|
−2 ±1 * 1 |
|
|
– |
|
|
|
|
−2 ±1 ±0 * |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
* * * |
|
|
|
|
* |
|
|
|
0 |
|
* * |
|
|
|
|
* * |
|
−1 |
* |
|
|
|
|
|
|
* * * |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
* 1 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 * 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
−3 1 * −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 1 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±1 2 ±3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
− |
0 |
−2 |
±0 1 |
|
|
|
|
|
− |
1 |
−2 |
±1 1 |
|
|
|
|
− |
|
3 |
−2 |
±1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
±1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=2 (− |
|
±2 3 |
|
|
|
− |
|
−1 2 |
|
|
)−0 ( |
|
... )−( |
|
|
±1 1 |
|
|
|
−2 1 |
|
+3 |
|
−2 1 |
|
)−3 ( |
2 |
|
−2 1 |
|
+ |
|
1 −1 |
|
)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
+ |
|
−3 |
−1 |
|
−3 |
1 |
|
|
−3 |
1 |
|
−2 |
1 |
|
=2 (5+3)−(−2 +5+3 1)−3 (2 1−1)=7
№5.1. d.
D(x, y, z) |
=( rr′, rϕ′, rθ′)= |
|
x′r xϕ′ |
xθ′ |
|
a cosϕ sinθ −ar sinϕ sinθ ar cosϕ cosθ |
|
=−abc r2 sinθ |
||||
|
|
|
||||||||||
|
yr′ |
yϕ′ |
yθ′ |
= |
bsinϕ sinθ |
br cosϕ sinθ |
br sinϕ cosθ |
|
||||
D(r,ϕ,θ) |
||||||||||||
|
|
zr′ |
zϕ′ |
zθ′ |
|
c cosθ |
0 |
−cr sinθ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
№ 5.2.
det A при выполнении над строками (столбцами) матрицы элементарных операций
1) |
“перестановка” |
i |
j |
det → − det |
- меняет свой знак |
2) |
“умножение” |
α³ k |
det →α det - |
умножается на число |
|
3) |
“сложение” i |
+j |
|
det ≡ det - не изменяется |
Отсюда, в частности, следует, что определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных.
Это позволяет применить метод Гаусса и привести матрицу к “треугольному” виду.
Если в процессе преобразования появится нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю. Если нет, то матрица преобразуется в “треугольную” и определитель будет равен произведению элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.
28
№ 5.2. a.
2 |
−4 −2 |
|
= 2 |
|
1 |
−2 −1 |
|
||
|
|
|
|||||||
4 |
−11 |
−4 |
|
|
4 |
−11 |
−4 |
= |
|
±0 |
3 |
4 |
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
= 2 |
|
1 |
−2 −1 |
|
= 2 |
(−3) |
|
1 −2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
−3 0 |
|
|
0 1 0 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
±0 |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
±0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 (−3) |
|
|
±1 −2 −1 |
|
|
= 2 (−3) 4 |
|
±1 −2 −1 |
|
= 2 (−3) 4 1 = −24 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
0 1 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
||
№ 5.2. b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −2 0 |
|
= (−2) |
|
1 1 0 |
|
|
= (−2) 3 |
|
1 1 0 |
|
= −2 3 |
0 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
−2 1 6 |
|
|
0 3 6 |
|
|
|
0 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 −6 −12 |
|
|
|
|
|
0 −6 −12 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 5.2. c.
|
|
1 |
1 −2 1 |
|
|
|
|
1 1 −2 |
1 |
|
1 1 −2 |
1 |
|
|
|
|
1 1 −2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
1 4 |
−3 |
|
= |
|
|
0 |
2 |
2 |
−2 |
= |
0 |
2 |
2 |
−2 |
|
= |
|
|
0 |
2 |
2 |
−2 |
|
=1 2 3 4 = 24 |
||||
|
|
−1 |
3 9 |
−11 |
|
|
|
|
0 |
4 |
7 |
−10 |
|
0 |
0 |
3 |
−6 |
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
−6 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
−3 0 |
−3 |
|
|
|
|
0 |
−4 |
2 |
−4 |
|
0 |
0 |
6 |
−8 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
||
№ 5.3. |
|
|
векторов { f1, ... , |
fk , ... , |
fn } Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A ≠ 0 , где |
||||||||||||||||
Система |
|
n |
образует |
базис, |
если |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
... , |
fk , ... , |
|
|
Нахождение |
разложения |
вектора |
b |
по базису |
|||||||||||||||||||
|
|
A = f1, |
fn . |
||||||||||||||||||||||||||||
{ f1, ... , |
fk , |
... , |
fn } сводится к решению неоднородной системы линейных уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 f1 + ... + xk |
fk + ... + xn fn = b |
|
|
|
|
|
|
которая в этом случае имеет единственное решение. Это решение можно найти по формулам Крамера
∆ |
k |
= det |
|
f |
1 |
, ... , b , ... , f |
|
|
= det f |
1 |
, ... , |
x |
1 |
|
f |
1 |
+ ... |
+ x |
k |
|
f |
k |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
f |
|
|
|
|
... , |
|
f |
|
|
, ... , |
f |
|
|
|
|
b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
det |
1 |
, |
|
k |
n |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
1 |
2 |
+ x |
|
|
−1 |
+ x |
2 + x |
4 |
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
3 |
3 |
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
f3 |
|
|
|
f4 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 −1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∆ = det |
|
f , |
f |
2 |
, f |
3 |
, f |
4 |
= |
|
|
2 |
−1 |
|
2 |
|
4 |
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
1 |
−2 |
2 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 3 0 |
|
|
|
|
0 0 1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 1 0 −2 |
|
|
|
|
0 0 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
+ ... + xn fn , ... , fn
x |
k |
∆ |
x |
k |
= |
∆k |
, k =1,...,n |
|
|||||||
|
|
|
|
∆ |
1 −1 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
0 |
1 |
−2 |
2 |
=1 |
0 |
0 |
1 |
−1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 2 1 |
|
−1 2 1 |
|
|
|
|
−1 2 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= det b |
, |
f |
|
|
, f |
|
, |
f |
|
= |
|
|
0 |
−1 ±2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
= −3 |
|||||||||||||||||||||||||||
∆ |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
= − |
−1 |
±2 |
±4 |
= − |
0 |
±0 |
±3 |
|
= |
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 3 0 |
|
−1 3 0 |
|
0 1 −1 |
|
|
|
|
0 ±0 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
b |
, f |
|
|
f |
|
|
|
±2 |
0 |
|
±2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∆ |
2 |
= det |
|
, |
3 |
, |
4 |
= |
|
|
= + |
±2 |
±2 |
±4 |
= |
±0 |
−2 |
±2 |
|
= −2 |
|
±0 |
±1 |
−1 |
= |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
0 |
|
1 3 0 |
|
0 1 −1 |
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
1 −1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= det |
|
f |
|
, f |
|
, b |
, |
f |
|
= |
|
|
±2 |
−1 |
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
∆ |
3 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
= − |
±2 |
−1 |
±4 |
= − |
±0 |
1 |
±2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
0 |
|
1 |
−1 |
0 |
|
0 |
0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
−1 |
2 |
|
1 −1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= det |
|
f |
, |
f |
|
|
, f |
|
, |
b |
= |
|
±2 |
−1 ±2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
∆ |
4 |
|
2 |
3 |
|
|
= + |
±2 |
−1 |
±2 |
= |
±0 |
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
1 |
−1 3 |
0 |
|
1 |
−1 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
1 |
= |
∆1 |
= |
−3 |
|
= −3, |
|
|
|
x = |
∆2 |
= |
0 |
|
= 0, |
x = |
∆ |
3 |
= |
1 |
=1, |
x = |
|
∆4 |
|
= |
1 |
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∆ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∆ |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
∆ |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 5.4.
Ранг матрицы A равен максимальному порядку отличного от нуля минора (называемого базисным).
Преобразуя матрицу методом Гаусса (неполному) к “треугольную” виду, найдем базисные строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора.
|
|
|
q1 q2 q3 q4 q5 q6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p1 |
|
1 3 −2 2 3 1 |
|
1 3 −2 2 3 1 |
|
1 3 −2 |
2 |
3 1 p1 |
|
|||||||||||||||
A = |
p |
|
−2 |
−6 4 −4 −6 |
−2 |
~ |
0 0 |
0 0 |
0 0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
p |
= A |
|||
p2 |
|
1 3 −1 1 3 |
−1 |
|
|
0 0 |
1 −1 |
0 −2 |
|
~ |
0 |
|
0 |
1 −1 |
|
0 |
−2 |
p2 |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
p |
|
2 6 −3 3 6 0 |
|
|
|
0 0 |
1 −1 |
0 −2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
p |
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
q q q |
|
q q |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
5 |
6 |
|
|||
В преобразованной методом Гаусса матрице A~ A на пересечении преобразованных |
|||||||||||||||||||||||||
строк |
p1, |
p3 и столбцов q1, q3 |
стоит “треугольная” |
|
матрица, |
определитель которой |
|||||||||||||||||||
(некоторый |
минор 2го порядка) |
отличен от нуля ≠0 . |
Любой минор более |
высокого |
порядка (3го или 4го) содержит нулевые строки, а, значит, равен нулю =0 . Следовательно,
q1 q2 q3 q4 q5 q6
|
p1 |
|
1 |
3 |
−2 |
2 |
3 |
1 |
|
A = |
p |
|
−2 |
−6 |
4 |
−4 |
−6 |
−2 |
|
p2 |
|
1 |
3 |
−1 |
1 3 |
−1 |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
6 |
−3 |
3 |
6 |
0 |
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- базисные строки и столбцы { p1, |
p3 } и { q1, q3 } |
||||||||
- базисный минор |
|
1 |
−2 |
|
= |
|
1 −2 |
|
=1 ≠ 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
±1 |
−1 |
|
|
|
±0 1 |
|
|
- rang A = 2
30