Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

Следствие 1.8.2 Пусть {Ai} набор точек, которым cоответствуют радиус-векторы

ri (i = 1, . . . , n). Тогда

Нетрудно видеть, что в выражении выпуклой оболочки конечного числа точек не все точки являются существенными. Так, напримкр, для трех точек, лежащих на одной прямой, их выпуклой оболочкой будет отрезок, соединяющий две крайние точки. Это и означает, что средняя точка не существенна для описания их выпуклой оболочки. Какие же точки существенны? Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько дополнительных понятий.

Точка m называется внутренней для множества M, если круг с центром в точке m целиком лежащий в множестве M. Точка m называется граничной для множества M, если любой круг с центром в точке m пересекается как с множеством M так и с его дополнением. Множество граничных точек M называктся границеM и обозна- чается ∂M. Множество M называется открытым, если все его точки внутренние и замкнутым, если множество M содержит свою границу. Существуют не открытые и не замкнутые множества.

Определение 1.8.1 Точка m M называется экстремальной (угловой) точкой замкнутого выпуклого множества M, если множество M \ {m} также выпукло.

Например, экстремальные точки выпуклого многоугольника это его вершины. Справедлива следующая теорема Крейна-Мильмана.

Теорема 1.8.2 Åñëè M замкнутое, ограниченное и выпуклое множество в An, òî M = conv(ext(M)), ãäå ext(M) множество экстремальных точек.

Следствие 1.8.3 Выпуклый многоугольник (многогранник) совпадает с выпуклой оболочкой своих вершин.

Полученное следствие является ключевым для следующего утверждения.

Предложение 1.8.6 Пусть f линейная функция на An è M выпуклый многоугольник в An с набором вершин {Ai}Ni=1. Тогда

Доказательство.

Действительно, функция f íà An называется линейной, если f(λr1 + µr2) = λf(r1) + µf(r2),

для любых двух точек с радиусами-векторами r1, r2.

1.8.3Задача линейнй оптимизации

Задача линейной оптимизации состоит в отыскании максимкми или минимума линейной функции на выпуклом многоугольнике (многограннике). По существе, ее решение было представлено в предыдущем разделе. Здесь мы рассмотрим некоторую конкретную задачу, в которой срабатывет развитая нами техника.

Задача на смешивание. В дневном рационе питания должны присутствовать витамины типа A ≥ 6 единиц, типа B ≥ 8 единиц и типа C ≥ 13 единиц. В наличии

имеется два типа продуктов разного качества:

•Первый тип продукта содержит: A 2 единицы, B 2 единицы, C 4 единицы;

•Второй тип содержит: A 3 единицы, B 2 единицы, C 1 единица.

Цена первого типа 3 гривны за грамм, второго 2 гривны. Сколько и каких продуктов следует употребить, чтобы обеспечить рацион и иметь наименьшие затраты.

Решение.Формализуем задачу. Пусть x количество граммов продукта первого типа, y количество граммов продукта второго типа в рационе. Такой рацион содержит x(2A + 2B + 4C) + y(3A + 2B + C) = A(2x + 3y) + B(2x + 2y) + C(4x + y) единиц соответствующих витаминов. Для обеспечения витаминами в нужном количестве

y ≥ 0.

L(x, y) = 3x + 2y

нимум линейной функции L(x, y) при заданных условиях типа неравенства, то есть на выпуклом множестве. Задача решается перебором значений функции в угловых

Оптимальный план: x = 3, y = 1.

1.9Движения. Классификация движений

1.9.1Определение и основные свойства движения

Определение 1.9.1 Отображение F : En −→ En евклидова пространства в себя, называется движением, если для всех A1, A2 En выполнено следующее:

|F (A1)F (A2)| = |A1A2|.

По определению, движение сохраняет расстояния между соответствующими точ- ками. В дополнение, справедливо

Предложение 1.9.1 При движении сохраняются углы между соответствующими отрезками .

Доказательство. Пусть \BAC = φ. При движении A переходит в A′, B переходит в B′, C переходит в C′. Из определения движения следует, что

|AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C′|, |BC| = |B′C′|.

Следовательно ABC = A′B′C′ è \B′A′C′ = \BAC = φ.

Предложение 1.9.2 При движении прямая переходит в прямую.

Доказательство. Пусть l прямая. Рассмотрим отрезок [A, B] l. Пусть C [A, B], тогда по определению движения:

F (A) = F (A′),

F (B) = F (B′),

F (C) = F (C′).

Тогда C′ [A′, B′]. Действительно, допустим C′ / [A′, B′], тогда точки A′, B′, C′ îá- разуют треугольник A′B′C′. По неравенству треугольника имеем:

|A′B′| < |A′C′| + |C′B′|.

Из определения движения следует, что |A′B′| = |AB|, тогда

|A′C′| + |C′B′| = |AC| + |CB| = |AB|. Противоречие, следовательно C′ [A′B′].

Предложение 1.9.3 При движении параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Доказательство. Движение является взаимно-однозначным отображением, так как несовпадающие точки переходят в несовпадающие ввиду сохранения расстояния между ними.

Пусть F движение. Тогда F порождает отображение соответствующего вектор- ного пространства En в себя, действующее по правилу

ный отрезок его представляющий. Положим F (a) равным вектору, представленному

−−−−−−−→

F (A)F (B).

Предложение 1.9.4 Движении сохраняет скалярное произведение векторов, то есть

F(a), F (b) = a, b .

Доказательство следует из сохранения длин отрезков и углов между ними. Пусть F1 è F2 движения. Определим их композицию как

def

(F2 ◦ F1)(A) = F2(F1(A)).

Предложение 1.9.5 Относительно взятия композиции, множество движений образует группу единицей которой служит тождественое движение.

1.9.2Аналитическое задание движения

Ортогональные матрицы и ортонормированные базисы

Определение 1.9.2 Матрица C называется ортогональной, если

CCt = CtC = E.

Определитель ортогональной матрицы | det C| = 1. Åñëè det C = 1, то матрица называется собственно ортогональной , если же det C = −1 матрица называется несоб-

ственно ортогональной . Легко проверить, что относительно матричного умножения ортогональные n × n матрицы образуют группу O(n), единицей которой служит еди-

ничная матрица E. Собственно ортогональные матрицы образуют подгруппу SO(n)

O(n).

Между ортогональными матрицами и ортонормированными базисами в En èìå- ется тесная связь.

Предложение 1.9.6 Пусть En евклидово пространство и пусть e = (e1, . . . , en)

ортонормированный базис в нем. Система векторов f = (f1, . . . , fn) образует другой ортонормированный базис в En тогда и только тогда, когда матрица C преобразо-

вания

f = eC

является ортогональной. Собственно ортогональная матрица сохраняет ориентацию, несобственно ортогональная ее обращает.