Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

Доказательство. Покажем, что движение F0 оставляет инвариантной прямую, про- ходящую через начало координат (точки этой прямой необязательно остаются на месте).

Пусть Oxyz исходная система координат. Рассмотрим прямую l, проходящую через начало координат. Если точки прямой l при движении переходят в точки на этой же прямой, то

получаем однородную систему уравнений, которая имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det(C − λE) = 0, òî åñòü

öû C. Ненулевой вектор X, удовлетворяющий уравнению ( ) называется собственным вектором матрицы C. Корни характеристического многочлена называются собтвенными числами матрицы C.

В рассматриваемом случае уравнение det(C − λE) = 0 является алгебраическим

уравнением третьего порядка. Такое уравнение всегда имеет вещественный корень λ0, а система (C − λ0E)X = 0 имеет ненулевое решение X0. Значит, прямая проходя- щая через начало координат в направлении собственного вектора X0 под действием

λ0 = ±1.

Выберем систему координат так, чтобы ось Oz была направлена вдоль инвариантной прямой, а плоскость (xy) зададим перпендикулярно вектору e3. Òàê êàê

в выбранной нами плосклсти Oxy.

Выбором системы координат в этой плоскости, матрица движения приводится к известным уже формвм. Таким образом, мы получаем 4 возможных варианта:

Рассмотрим случай (a). Тогда det C = +1, движение собственное и при преобра-

каждая плоскость z = z0 переходит в себя, в то время как в самой плоскости z = z0 точки испытывают поворот на угол φ вокруг точки (0, 0, z0). Значит, рассматриваемое движение есть поворот вокруг неподвижной оси .

Рассмотрим случай (b). Здесь det C = −1 и движение будет несобственным. Пред-

Теперь очевидно, что F0 = S ◦ Rl, ãäå S симметрия относительно плоскости, перпендикулярной неподвижной прямой l, à Rl поворот на угол φ вокруг этой прямой. Такое движение называется зеркальным поворотом вокруг неподвижной оси .

Рассмотрим случай (c). Здесь det C = −1 и мы снова имеем дело с несобствен-

ным движением. Это движение снова переводит каждую плоскость z = z0 всебя, но на каждой такой плоскости является несобственным движением, то есть скользящей симметрией. Однако точка (0, 0, 0) очевидно является неподвижной. Следовательно

в каждой плоскости z = z0 движение является осевой симметрией. Примем одну из этих прямых за ось Ox новой системы координат. Тогда в такой системе координат

матрица, задающая рассматриваемое движение, примет вид

10 0

0 −1 0 .

00 1

Но это в точности зеркальный поворот на угол φ = 0 вокруг новой оси Oy. Рассмотрим случай (d). Здесь det C = +1, движение собственное. Рассмотрим

плоскость z = 0. Эту плоскость движение переводит в себя и действует на этой плос-

кости как несобственное движение, то есть как скользящая симметрия. Однако точка (0, 0, 0) очевидно является неподвижной. Следовательно в плоскости z = 0 движе-

ние является осевой симметрией. Примем эту ось в качестве новой оси Ox. В такой системе координат матрица, задающая движение, примет вид

00 −1

èявляется матрицей поворота на угол φ = π вокруг новой оси Ox.

Описание движений общего вида

Рассмотрим теперь общий случай. Как уже отмечалось в начале параграфа, общее движение есть композиция движений F0 и параллельного переноса. Выделим частные случаи таких композиций.

1. Параллельный перенос.

x˜ = x + b1, y˜ = y + b2, z˜ = z + b3.

Это собственое движение с матрицей

2. Винтовое движение композиция поворота вокруг неподвижной оси и параллельного переноса в направлении этой оси . В системе координат, с неподвижной прямой в качнестве оси Oz это движение запишется в виде

Винтовое движение является собственным. Заметим, что параллельный перенос является частным случаем (φ = 0) винтового движения.

3.Скользящая симметрия композиция симметрии относительно плоскости и параллельного переноса вдоль плоскости симметрии . Если плоскость Oxy ñè-

стемы координат расположить в плоскости симметрии, а ось Oz направить перпендикулярно к ней, то скользящая симметрия запишется в виде

Скользящая симметрия является несобственным движением.

4.Зеркальный поворот композиция вращения вокруг неподвижной оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения . В системе координат, в которой ось Oz направлена по оси вращения, а плоскость Oxy ÿâ-

ляется плоскостью симметрии, зеркальный поворот запишется в виде

Зеркальный поворот является несобственным движением.

Оказывается, что любое движение в пространстве сводится к одному из перечисленных типов. В доказательстве этого утверждения используется следующая простая лемма.

Лемма 1.9.2 Любой параллельный перенос T можно представить в виде

T = S1 ◦ S2,

ãäå S1è S2 симметрии относительно некоторых плоскостей, перпендикулярных направлению переноса.

Доказательство. Пусть a вектор с длиной a = |a|, задающий параллельный перенос T . Рассмотрим плоскость, перпендикулярную вектору a. Пусть Oxyz декартова система координат с осью Oz a.

˜ ˜

Возьмем произвольную точку M íà îñè Oz и пусть T (M) = M. ßñíî, ÷òî M так же лежит на оси Oz. Рассмотрим точку A íà îñè Oz, находящуюся на расстоянии a2

˜

от точки M, причем M лежит между A è M. Обозначим через SA è SM симметрии относительно плоскостей, перпендикулярных оси Oz и проходящих через точки A è

˜

M соответственно. Тогда , очевидно, M = (SA ◦ SM )(M), что и требовалось доказать.

Теорема 1.9.2 (Шаль) Любое собственное движение в пространстве является винтовым. Любое несобственное движение в пространстве является либо скользящей симметрией, либо зеркальным поворотом.

Рассмотрим случай (a). Если φ = 0 то рассматриваемое движение есть параллельный перенос и доказывать нечего. Пусть φ ≠ 0. Тогда матрице C соответствует поворот на угол φ вокруг оси Oz. Обозначим его Ω и для удобства ссылок переобозначим и саму матрицу C → Ω.

параллелен оси Oz. Тогда a = (a1, a2, 0), c = (0, 0, c3) è Tb = Tc ◦ Ta.

˜

Запишем наше движение F â âèäå X = ΩX + b. Тогда

F = Tb ◦ Ω = Tc ◦ Ta ◦ Ω = Tc ◦ Ω′.

Покажем, что Ω′ поворот около некоторой прямой l, которая перпендикулярна

Следовательно, каждая плоскость z = z0 переходит в себя, а в каждой такой плоскости есть неподвижная точка. Так как ее координаты не зависят от выбора z0, òî все такие точки лежат на некоторой прямой l, которая перпендикулярна плоскости xOy. Следовательно, Ω′ поворот около прямой l. Но тогда F = Tc ◦ Ω′ винтовое движение.

Рассмотрим случай (b) . Пусть S симметрия относительно плоскости xOy. Îíà

и мы можем аналитически задать наше движение в виде

˜

X = SΩX + b,

а само движение представить как композицию

F = Tb ◦ S ◦ Ω.

b разложим в виде: b = a+c, ãäå a Oz, c Oz. Тогда Tb = Ta◦Tc. Ïî

лемме Tc = S1 ◦S2, ãäå S1 è S2 симметрии отноительно плоскостей, перпендикулярных оси Oz. Следовательно,

F = Ta ◦ S1 ◦ S2 ◦ S ◦ Ω.

ßñíî, ÷òî S1 ◦ S2 ◦ S есть симметрия относительно некоторой плоскости, перпендикулярной оси Oz (каждая из симметрий является такой). Обозначим ее через S′. Òàê

êàê a Oz, то легко видеть, что Ta ◦ S′ = S′ ◦ Ta и мы приходим к выводу

F = S′ ◦ Ta ◦ Ω.

Åñëè φ = 0, òî Ω есть тождественное движение и тогда F = Ta ◦ S′, òî åñòü скользящую симметрию. Если же φ ≠ 0, то как и в случае (а) композиция Ta ◦ Ω = Ω′

есть поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости Oxy, а следовательно F = S′ ◦ Ω′ зеркальный поворот.