Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
484.23 Кб
Скачать

Лекции по аналитической геометрии. Семестр I

Ямпольский А.Л.

2

Оглавление

1 Геометрия прямых и плоскостей

5

1.1Векторы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1Направленные отрезки. Геометрические векторы . . . . . . . . . . 5

1.1.2Операции над геометрическими векторами . . . . . . . . . . . . . 6

1.2Линейное векторное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1

Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1Аффинная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2Формула деления отрезков в данном отношении . . . . . . . . . . 14

1.3.3Уравнение прямой в аффинном пространстве . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4Уравнение плоскости в A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1Скалярное произведение геометрических векторов . . . . . . . . . 26

1.4.2Скалярное произведение в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.3Метрическая форма евклидова пространства . . . . . . . . . . . . 28

1.4.4Прямые и плоскости в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . 30

1.4.5Некоторые задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 32

1.5 Ориентация в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.1Преобразование базисов и координат . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.2 Ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5.3Некоторые применения ориентации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6 Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.6.1Определение и свойства векторного произведения . . . . . . . . . 42

1.6.2Некоторые геометрические приложения векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.3Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.4Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.5Некоторые геометрические приложения смешанного произведения 47

1.7Элементы многомерной аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . 48

1.7.1Уравнение k− мерной плоскости в An . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7.2Подпространства в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . 49

1.7.3Взаимное расположение двух плоскостей в An . . . . . . . . . . . 53

1.7.4Практический способ выяснения взаимного

размещения плоскостей в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.7.5Угол между плоскостями в En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.8Выпуклые множества в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.8.1Определение и основные свойства выпуклых множеств . . . . . . 67

1.8.2Выпуклая оболочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.8.3Задача линейнй оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.9Движения. Классификация движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.9.1 Определение и основные свойства движения . . . . . . . . . . . . 73

1.9.2Аналитическое задание движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.9.3Классификация движений на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.9.4Классификация движений в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 81

Глава 1

Геометрия прямых и плоскостей

1.1Векторы и операции над ними

1.1.1Направленные отрезки. Геометрические векторы

Построение курса аналитической геометрии мы начнем с простых геометрических наблюдений и конструкций, мотивированных во многом нашим чувственным восприятием окружающего мира, естественных геометрических форм. Как и во времена Евклида, к неопределяемым, априори ясным геометрическим объектам мы относим

точки, прямые и плоскости, которые расположены в окружающем нас пространстве. Точки будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Из аксиоматики Евклидовой геометрии плоскости и пространства ( например, аксиом элементарной геометрии А.В.Погорелова) нам известно, что всякие две несовпадающие точки A è

B на плоскости или в пространстве определяют единственную прямую, содержащую эти точки, или, выражаясь геометрическим языком, проходящую через точки A è B. Часть прямой, заключенная между точками A è B называется отрезком прямой с концевыми точками A è B. В определении отрезка не важен порядок, в котором мы

перечисляем концевые точки отрезка. Интуитивно ясно, однако, что порядок пере- числения точек отрезка может иметь значение. Это интуитивное представление базируется, несомненно, на нашем опыте течения времени. Для нас по жизни важно,

какое из двух событий произошло раньше . В геометрии такое чувственное ощущение отражается в понятии направленного отрезка и является основой для одного из фундаментальных понятий в геометрии понятия ориентации.

Направленным отрезком на плоскости или в пространстве называется упорядо- ченная пара точек (A, B). Точка A называется начальной точкой, или началом, на-

правленного отрезка, а точка B - его концевой точкой, или концом направленного

−−→

отрезка. Направленный отрезок обозначают AB.

Два направленных отрезка называются коллинеарными, если расположены на одной или на параллельных прямых.

Пусть l прямая, O l. Точка O разбивает l на две полупрямые. Зафиксируем точку A на прямой, отличную от точки O.

Лучем с началом в точке O называется объединение всех отрезков, которые содер-

жат точку A и имеют общий конец в точке O. Очевидно, что направленный отрезок

−→ −→

OA однозначно определяет луч, который мы обозначим через ray(OA).

5

6

 

 

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Пусть −−→ −−→

 

 

 

l

AB, CD коллинеарные направленные отрезки, лежащие на одной прямой

 

 

 

−−→

−−→

прямой

 

. Эти отрезки называются сонаправленными (обозначение AB

CD), åñëè

ray(−−→

 

 

−−→

 

−−→

AB)

 

ray(CD), или наоборот. В противном случае, направленные отрезки AB è

−−→

 

 

−−→ ↑↓

−−→

 

CD называются противоположно направленными (AB

CD).

 

Из аксиом планиметрии известно, что прямая разбивает плоскость на две полу-

плоскости.

 

 

 

Пусть −−→ −−→

 

 

 

 

AB, CD коллинеарные направленные отрезки, не лежащие на одной пря-

мой. Они называются сонаправленными, если точки B è D лежат в одной полуплос-

кости относительно прямой AC и противоположно направленными, если точки B è

D лежат в различных полуплоскости относительно прямой AC

 

Длиной направленного отрезка

−−→

 

 

[A, B]

 

AB называется длина соответствующего отрезка

 

−−→

|−−→|

 

 

. Длина направленного отрезка AB обозначается через

AB

.

Два направленных отрезка называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Геометрическим вектором называется совокупность всех равных между собой направленных отрезков . Каждый из таких направленных отрезков называется представителем вектора. Векторы, в отличие от направленных отрезков, будем обозначать

строчными буквами латинского алфавита со стрелкой. Например, a, b, c, . . . .

Каждый направленный отрезок однозначно определяет вектор и каждый вектор имеет своего представителя с началом в любой точке плоскости или пространства. Выражение:"Задать представитель вектора в данной точке "эквивалентно выражению "Отложить вектор от данной точки ". Чтобы не утяжелять терминологию, в дальнейшем вектор и направленный отрезок различать не будем в том смысле, что

говоря о векторе каждый раз будем выбирать его представитель, отложенный от нужной точки.

1.1.2Операции над геометрическими векторами

Сложение векторов

Определение 1.1.1 Пусть a, b заданные векторы. Суммой a + b векторов a è b называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец с

концом вектора

b, при условии, что вектор b отложен от конца вектора a.

Очевидными свойствами сложения векторов, вытекающими из определения их суммы, являются

Коммутативность a + b = b + a

Ассоциативность (a + b) + c = a + (b + c).

Дополним множество рассматриваемых нами направленных отрезков "отрезком на- чало и конец которого совпадают. Разумеется, длина такого отрезка равна 0, а направление не определено. Определим нулевой вектор, как "вектор представленный в

каждой точке нулевым направленным отрезком. Обозначать нулевой вектор будем

0.

Вектор

называется противоположным вектору

, åñëè

 

 

. Такой вектор

b

 

a

a + b = 0

 

будем обозначать −a. ßñíî, ÷òî | − a| = |a|.

1.2. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

7

Произведение числа на вектор

Пусть a вектор, λ вещественное число. Произведением числа λ на вектор a íàçû-

вается вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b, определяемый следующими свойствами:

 

 

 

 

 

 

 

a ;

 

 

 

 

 

 

|b| = |λ||åñëè|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åñëè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ > 0;

 

 

 

 

 

b a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ < 0;

 

 

 

 

 

b a,

 

 

 

 

 

 

 

0,↑↓åñëè λ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для произведения вектора на

 

 

 

 

 

λ a

 

åñëè

, òî

 

число употребляется обозначение

 

. Легко видеть, что

для любого

λ

.

 

 

 

 

 

a = 0

λ a = 0

 

 

 

 

 

 

Заметим, что определение произведения числа на вектор согласовано с определением суммы векторов в том смысле, что

na = a + · · · + a, для любого натурального n N

| {z }

n

Отметим следующие свойства умножения числа на вектор. Если a − вектор, λ, µ R, òî

1.λ(µa) = (λµ)a;

2.(λ + µ)a = λa + µa;

3. λ(a + b) = λa + µa;

4. 1a = a.

1.2 Линейное векторное пространство.

Множество L элементов произвольной природы называется вещественным линейным векторным пространством , если:

1. Каждым двум элементам a, b L поставлен в соответствие элемент a + b, íàçû-

ваемый суммой элементов a è b.

2.для каждого a L и для каждого вещественного λ сопоставлен элемент λ a L, называемый произведением числа λ на элемент a.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

1.a + b = b + a (коммутативность);

2.(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

3.

существует

L

такой, что для каждого

a L

выполнено равенство

 

;

 

0

 

 

 

 

 

 

 

a + 0 = a

 

4.

для каждого

a L

существует

−a L

такой, что

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

a + (−a) = 0

 

 

 

8

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

5.λ(µa) = (λµ)a;

6.(λ + µ)a = λa + µa;

7.λ(a + b) = λa + λb;

8.1a = a.

для любых вещественных λ, µ и любых a, b L.

Элементы линейного векторного пространства принято называть векторами.

Примеры линейных векторных пространств.

1.Множество геометрических векторов с определенными выше операциями сложения и умножения на число.

2.Совокупность всех многочленов степени, не превышающей n N, с обычными операциями сложения и умножения на число.

anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0, ak R.

Заметим, что множество многочленов с вещественными коэффициентами степени равной n не образует линейного пространства (докажите).

3.X произвольное множество, L множество всех функций, определенных на X. Определим операции сложения и умножения на число на множестве L следующими естественными правилами:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

.

(kf)(x) = kf(x)

в каждой точке x X.

4.Вектор-строки.

Пусть L = {(a1, a2, . . . , an)| ai R} множество наборов из n вещественных чисел. Элементом этого множества являются строки, вида a = (a1, a2, . . . , an).

Определим на L операции сложения и умножения на число следующим образом:

(a) Åñëè a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn), òî

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn);

(b) Åñëè a = (a1, a2, . . . , an), λ R, òî λa = (λa1, λa2, . . . , λan)..

Пусть L линейное пространство, (a1, . . . , an) L. Линейной комбинацией векто- ðîâ a1, . . . , an называется выражение

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan.

1.2. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

9

Линейная комбинация векторов, очевидно, является вектором.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов этой комбинации не равен нулю.

Совокупность векторов a1, . . . , an ( или, в другой терминологии, система ) называ-

ется линейно независимой , если не существует нетривиальной линейной комбинации

этих векторов, равной 0. В противном случае, эта система называется линейно зави-

симой.

Рассмотрим несколько простых утверждений о линейной зависимости систем векторов.

Предложение 1.2.1 Если система векторов {a1, . . . , an} содержит нулевой вектор, то система линейно зависима.

Доказательство. Не нарушая общности можно считать, что первый вектор нулевой. Составим линейную комбинацию, вида

λ1a1 + 0a2 + · · · + 0an, λ1 ≠ 0.

Ясно, что эта линейная комбинация дает нулевой вектор, но не является тривиальной. Следовательно, {a1, . . . , an} линейно зависимая система.

Предложение 1.2.2 Система векторов {a1, . . . , an} линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через остальные.

Доказательство. Пусть система {a1, . . . , an} линейно зависима. Это означает, что

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan = 0,

причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Перенумеровав, если нужно, векторы, мы можем считать, что λ1 ≠ 0. Умножим обе части последнего равенства

íà 11. Получим

 

 

λ2

 

 

λn

 

 

 

 

 

 

 

+ · · · +

 

 

 

 

 

a1 +

λ1

a2

λ1

an = 0,

а следовательно

 

a1 = µ2a2 + · · · + µnan,

 

 

 

 

 

λ2

λn

 

 

 

 

 

ãäå µ2 =

 

, . . . , µn =

 

.

 

 

 

 

 

λ1

λ1

 

 

 

 

 

Обратно, пусть некоторый вектор системы {a1, . . . , an} линейно выражается через остальные. Перенумеровав, если нужно, векторы, можно считать, что это вектор a1:

a1 = µ2a2 + · · · + µnan.

Но тогда линейная комбинация

a1 − µ2a2 − · · · − µnan = 0

не тривиальная, что означает линейную зависимость всей системы.

10

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1.2.1Базис линейного пространства

Определение 1.2.1 Пусть L линейное пространство. Система векторов

{a1, . . . , an} L

называется базисом линейного пространства L, åñëè:

Система {a1, . . . , an} линейно независима;

 

 

для каждого b

L система векторов {a1, . . . , an, b} линейно зависима.

Количество элементов базиса называется размерностью линейного пространства и обозначается через dim L.

Из второго условия следует, что любой

Замечание. b L может быть представлен в виде линейной комбинации векторов {a1, . . . , an}, òî åñòü

b = λ1a1 + · · · + λnan.

Рассмотрим некоторые примеры.

Предложение 1.2.3 Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство L, размерность которого dim L = 1 а базис в L составляет любой нену-

левой вектор из L.

Доказательство. Пусть a произвольный ненулевой вектор. Система векторов

{a}, состоящая из одного вектора, линейно независима. Действительно, пусть λa = 0.

Тогда |λ||a| = 0. Íî a ≠ 0, значит |a| ̸= 0, и следовательно λ = 0. Таким образом, не существует нетривиальной линейной комбинации данной системы, равной нулевому

вектору, что означает линейную независимость системы. Пусть

b произвольный вектор, коллинеарный a. Рассмотрим два случая:

 

 

 

 

 

a) Векторы a è b сонаправлены.

 

a. Тогда c a è òàê êàê

a b ,

Пусть |b| = b, |a| = a. Рассмотрим c = a

 

b

 

 

 

òî c b. Поскольку |c| =

a |a| = b

, òî c = b как векторы, имеющие

 

b

 

 

 

одинаковую длину и направление. Таким образом,

b

 

 

 

b =

a a, то есть вектор b

линейно выражается через вектор a.

б) Векторы a è b противоположно направлены.

Аналогично п. а), легко показать, что b

b = a a.

Таким образом, базис пространства коллинеарных векторов составляет произволь-

ный вектор {a} ≠ 0 и размерность dim L = 1.

Векторы a1, . . . , an называются компланарными, если представляющие их направленные отрезки расположены в одной или параллельных плоскостях.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]