Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
484.23 Кб
Скачать

1.4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

31

èëè

Nxx + Nyy − (Nxx0 + Nyy0) = 0.

Обозначим A = Nx, B = Ny, −D = Nxx0 + Nyy0. Тогда уравнение прямой примет вид

Ax + By + D = 0

Следовательно, если система координат декартова прямоугольная, то коэффициенты

A è B общего уравнения прямой являются координатам вектора нормали прямой .

Аналогично свойству аффинной нормали, вектор

N направлен в верхнюю полу-

плоскость относительно прямой l.

Пусть π плоскость в E3. Запишем ее параметрическое уравнение

 

 

r = r0 + ua + vb.

Если вектор

 

N перпендикулярен плоскости , то (N перпендикулярен любой прямой,

лежащей в плоскости. Следовательно,

 

 

N (r − r0)) äëÿ âñåõ u, v. Уравнение

N, r − r0 = 0

назывется векторным общим уравнением плоскости в евклидовом пространстве. Если в декартовой прямоугольной системе координат

N = {Nx, Ny, Nz}, r−r0 = {x−x0, y− y0, z − z0}, то уравнение плоскости в координатах запишется в виде

Nx(x − x0) + Ny(y − y0) + Nz(z − z0) = 0

èëè

Ax + By + Cz + D = 0.

Следовательно, если система координат декартова прямоугольная, то коэффициенты

A, B, C общего уравнения прямой являются координатам вектора нормали плоскости.

Аналогично свойству аффинной нормали, вектор

N направлен в верхнее полупро-

странство относительно плоскости π.

Пусть теперь π гиперплоскости в En. Ее параметрическое уравнение имеет вид

r = r0 + a1t1 + · · · + an−1tn−1.

Вектором нормали гиперплоскости называется вектор

 

 

 

ai, i =

имеем уравнение

 

 

 

 

N, такой , что N

1 . . . n − 1, òî åñòü

 

= 0 (i = 1 . . . n

1). Тогда для точек гиперплоскости в E

n

 

N, ai

 

которое называется векторным

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r − r0, N = 0,

 

n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общим уравнением гиперплоскости в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x

1

, . . . , x

n

декартова прямоугольная система координат в E

n. Åñëè

 

 

 

 

 

 

N =

{A1, . . . , An}, то в координатах уравнение гиперплоскости перепишется в виде

A1x1 + · · · + Anxn + D = 0.

Следовательно, если система координат декартова прямоугольная, то коэффици- åíòû A1, . . . , An общего уравнения прямой являются координатам вектора нормали гиперплоскости.

32

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

Аналогично свойству аффинной нормали, вектор

 

N направлен в верхнее полупро-

странство относительно гиперплоскости π.

В евклидовом пространствем можно придать ясный геометрический смысл и сво-

 

 

 

 

n =

 

 

 

 

бодному члену в уравнении гиперплоскости. Легко видеть, что D = − r0, N

. Åñëè

ввести в рассмотрение единичный вектор нормали гиперплоскости

 

 

 

 

|

, òî âå-

 

N/

N

плоскости.

 

 

 

 

 

|

 

 

h0 означает, что начало координат

личина h0 =

r0, n

 

численно будет равна расстоянию от начала координат до гипер-

Положительность (отрицательность)

находится в нижнем (верхнем) полупространстве относительно данной гиперплоско- сти. Величина h0 называется отклонением начала координат от гиперплоскости и,

таким образом, D = h0|N|.

1.4.5Некоторые задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Расстояние от точки до гиперплоскости в En

Рассмотрим случай, когда n = 2. Тогда гиперплоскостью в E2 является прямая. Рас- смотрим прямую l:

r = r0 + at.

Пусть M произвольная точка на плоскости E2.

rM = {xM , yM }.

Пусть n единичный вектор нормали прямой. Тогда

−→Ïðn (rM − r0) = hn,

ãäå h коэффициент пропорциональности. Величина h называется отклонением точ- ка M от прямой l.

Расстоянием от точка M до прямой l называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую. Очевидно, расстояние от точки до прямой равно абсолютной величине отклонения d = |h|. Легко видеть, что

−→n (rM − r0) = rM − r0, n n.

Ïð

 

 

 

Следовательно,

 

r − r0, n

= 0. Значит, отклонение h

Заметим, что уравнение прямой l

h = rM − r0, n .

 

 

имеет вид:

 

результат подстановки радиус-вектора точка M в левую часть уравнения прямой,

при условии единичности вектора нормали.

Уравнение прямой, имеющей единичный вектор нормали, называется нормированным уравнением прямой (или уравнением прямой в нормальной форме ).

Вычислим отклонение h в координатах. Если прямая l задается общим уравнением Ax + By + C = 0, то нормированное уравнение имеет вид:

Ax + By + C

 

A2 + B2

= 0.

. Пусть rM = {x1M , . . . , xnM } радиус-вектор ïðî-
N
|N|
A2+B2+C2
Ax+By+Cz+D

1.4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

33

Тогда отклонение

AxM + ByM + C h = √ .

A2 + B2

Åñëè h > 0, то точка M находится в верхней полуплоскости относительно прямой l. Åñëè h < 0, то в нижней.

 

Для расстояния от точка M до прямой l получаем формулу

 

 

 

 

 

 

d =

 

h

 

 

=

|AxM

+ ByM + C|

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

|

 

 

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай n = 3. Гиперплоскость в E3 это плоскость в обычном смысе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

Уравнение плоскости имеет вид:

 

 

r

− r0, N

 

= 0. Положим n =

|N|

. ßñíî, ÷òî n åäè-

ничный вектор нормали

плоскости. Пусть

M

произвольная точка в пространстве

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

3, радиус-вектор которой

r =

 

 

x , y

 

, z

 

. Тогда

Ïð

 

r ) = hn.

Величина

 

 

 

M

 

{

 

M

M

 

 

M }

 

 

 

n

M 0

 

h называется отклонением точки M от заданной плоскости. Расстоянием от точ- ка M до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M íà

плоскость. Очевидно, расстояние от точки до прямой равно абсолютной величине отклонения d = |h|. Поскольку

h= rM − r0, n ,

то в векторной форме формула расстояния от точки до плоскости будет иметь вид

d= |h| = | rM − r0, n .|

Уравнение плоскости, имеющей единичный вектор нормали, называется нормированным уравнением плоскости . Если плоскость π задана общим уравнением Ax+By+

Cz + D = 0, то нормированное уравнение плоскости имеет вид = 0. Тогда отклонение точка M от плоскости π является результатом подстановки координат точка N в левую часть нормированного уравнения плоскости. Таким образом,

 

AxM + ByM + CzM + D

h =

A2 + B2 + C2

Для расстояния от точка M до плоскости π получаем

|AxM + ByM + CzM + D| d = √ .

A2 + B2 + C2

В общем случае уравнение гиперплоскости πn−1 â En имеет вид

n−1

π : r − r0, N = 0.

Единичный вектор нормали n =

извольной точка M â En. Отклонением точка M от гиперплоскости πn−1 является результат подстановки координат точка M в нормированное уравнение гиперплоско-

ñòè: h = rM − r0, n .

34 ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Расстояние от точка M до гиперплоскости πn−1 определим как d = |h|. Таким образом,

d= | rM − r0, n |.

Зададим плоскость в декартовых координатах

πn−1 : A1x1 + · · · + Anxn + D = 0.

Тогда

A1xM1 + · · · + AnxMn

 

h =

,

A12 + · · · + An2

 

 

|A1x1 + · · · + Anxn |

d = M M

A21 + · · · + A2n

Нахождение точки, симметричной данной относительно гиперплоскости в

En

Рассмотрим вначале случай n = 2. Зададим прямую

l : rM − r0, N = 0,

найдем единичный вектор нормали n = N и зададим точку rM = {xM , yM }. Тогда

|N|

−→Ïðn(rM − r0) = hn

и, следовательно, для симметричной точки найдем

 

 

 

 

 

 

 

rM= rM 2hn.

 

 

 

Чтобы записать результат в координатах, зададим

 

 

 

 

l : Ax + By + C = 0, rM = {xM , yM }.

Раскрывая векторное равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AxM + byM

+ C

 

{xM, yM} =

{xM , yM } − 2

 

 

 

{A, B},

 

A2 + B2

 

 

получим

xM= xM 2A

AxM + byM + C

 

 

 

 

 

,

 

 

 

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AxM + byM + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yM= yM

2B

 

 

 

.

 

 

 

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрение

случаев

 

 

принципиально не отличается от рассмотрений на

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости, так как уравнение гиперплоскости снова задается как

π : r

 

 

 

è

результат в векторной форме будет иметь тот же вид:

− r0, N

= 0

 

rM= rM 2hn.

Упражнение 1.4.2 Запишите выведенную формулу в декартовых координатах.

1.4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

35

Нахождение угла между двумя прямыми в En

Начнем рассмотрение с n = 2. Углом между прямыми l1 è l2 на плоскости называется меньший из образованных ими углов. Для параллельных или совпадающих прямых угол принимается равным 0.

Если прямые заданы параметрически

l1 : r = r1 + a1t, l2 : r = r2 + a2τ , ,

то, очевидно,

cos(l1 bl2) = | cos(a1 ba2)| = | a1, a2 |.

|a1||a2|

В случае n = 3 две прямые l1 è l2 либо пересекаются, либо параллельны (совпадают), либо являются скрещивающимися. Пересекающиеся или параллельные прямые всегда располагаются в одной плоскости и угол между ними пределяется как для прямых на плоскости. Если же прямые скрещиваются, то углом между l1 è l2 называется угол между l1 и прямой l2такой, что l1 ∩ l2≠ è l2l2. Рассмотрим этот случай.

Пусть

l1 : r = r1 + a1t, l2 : r = r2 + a2τ , .

Рассмотрим плоскость

π : r = r1 + a1u + a2v.

Тогда π l1 è π l2l2. Действительно, полагая u = t, v = 0, получим уравнение прямой l1, а полагая u = 0, v = τ , получим прямую l2: r = r1 + a2τ ,, котрая лежит в

плрскости π и параллельна прямой l2. Следовательно,

cos(l1 bl2) = cos(l1 bl2) = | cos(a1 ba2)| = ||a1||, a2 ||.a1 a2

В общем случае для двух прямых

l1 : r = r1 + a1t, l2 : r = r2 + a2τ ,

рассмотрим плоскость π En, заданную уравнением

r = r1 + a1u + a2v.

Как и в случае n = 3,

π l1, π l2l2

и, следовательно,

cos(l1 bl2) = | cos(a1 ba2)| = | a1, a2 |.

|a1||a2|

Упражнение 1.4.3 Записать в координатах выражение для cos φ.

36

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Нахождение угла между прямой и гиперплоскостью в En

Ïðè n = 3 решение задачи очевидно. Углом между прямой и плоскостью называется

угол между этой прямой и ее ортогодальной проекцией на плоскость. Зададим прямую параметрически

 

l : r = r0 + ta,

а плоскость своим общим уравнением

 

π : r − r1, N = 0.

Тогда sin(l bπ) = | cos(N ba)| и, следовательно,

sin(l bπ) = | N, a |.

|N||a|

Ïðè n > 3 определим синус угла между прямой и гиперплоскостью только что полученной формулой.

Нахождение угла между двумя гиперплоскостями в En

В случае n = 3, углом между плоскостями называется меньший из двух двугран-

ных углов, образованных этими плоскостями. Мерой двугранного угла служит угол между прямыми, перпендикулярными ребру двугранного угла. Нетрудно видеть, что этот угол равен углу между прямыми, перпендикулярными заданным плоскостям. Зададим две плоскости общими уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

π1 : r r1, N1

 

 

 

 

 

 

 

π2 :

r

r2, N2

= 0.

 

 

 

 

 

Òàê êàê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1 π1 è

N2 π2, òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(π

 

π

 

) =

| N1, N2 |

 

 

 

 

 

В координатах:

 

 

 

1 b

 

 

2

 

 

 

|N1||N2|

 

 

 

 

 

cos(π1

π2) =

 

 

|A1A2

+ B1B2 + C1C2|

.

Ïóñò â En заданы две b

 

 

 

 

+ B2

 

 

 

 

 

+ B2

+ C2

 

 

 

 

 

A2

 

+ C2

 

A2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

2

2

 

 

гиперплоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π1n−1

: r

 

 

r1, N1 = 0,

 

 

 

 

 

 

π2 : r − r2, N2 = 0.

 

 

 

 

Тогда в качестве косинуса угла между ними принимается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(πn−1

b

πn−1) =

| N1, N2 |

.

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

|N1||N2|

 

 

1.5. ОРИЕНТАЦИЯ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

37

1.5Ориентация в линейном пространстве

1.5.1Преобразование базисов и координат

Рассмотрим обычную плоскость. Пусть e1, e2 базис в E2. Пусть

ных вектора в E

2

. Разложим векторы

 

по базису e1, e2.

 

 

f1

, f2

 

 

 

 

1

 

2

 

 

f1

= c1e1

+ c1e2,

 

 

{ f2 = c21e1 + c22e2.

Сформируем из коэффициентов разложения матрицу

 

 

 

 

c1

c1

 

 

 

C =

1

2

.

 

 

 

c22

 

 

 

( c12

)

f1, f2 два произволь-

(1.1)

(1.2)

Предложение 1.5.1

Векторы

 

 

 

f1

, f2 образуют новый базис плоскости тогда и толь-

ко тогда, когда det C ̸= 0.

 

 

 

Доказательство.

Столбцы матрицы (1.2) составлены из координат векторов

 

 

 

 

f1

, f2

и поэтому линейная зависимость или независимость векторов

 

 

 

 

 

f1

, f2 эквивалентна ли-

нейной зависимости или независимости столбцов матрицы (1.2). Последнее условие эквивалентно вырожденности или невырожденности матрицы (1.2) соответственно.

Формулы (1.1) называются формулами преобразования базисов или формулами

перехода (от базиса {e1, e2} к базису {f1, f2}), а невырожденная матрица (1.2) называется матрицей преобразования базисов.

Полученные формулы могут быть записаны в бескоординатной, инвариантной относительно размерности, форме. Для этого сформируем две матрицы-строки, элементами которых являются векторы базисов, а именно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e = (e1, e2), f = (f1

, f2).

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = eC

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c11 c21

 

1

 

1

1

2

(f1

, f2) = (e1

, e2) ( c12 c22

) = (c1e1

+ c2e2

, c2e1

+ c2e2),

òî åñòü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

2

 

 

f1

= c1e1

+ c1e2

, f2

= c2e1 + c2e2.

 

Найдем зависимость между координатами вектора в двух базисах e è f . Запишем

разложения произвольного вектора

 

 

 

 

 

X относительно двух базисов. Соответствующие

координаты будем помечать буквами e è f. Получим

 

 

1

2

 

1

2

X = xee1

+ xee2

X = xf f1 + xf f2.

Потребуем выполнение естественного равенства

 

 

 

1

2

1

2

 

 

xee1

+ xee2

= xf f1

+ xf f2.

38

 

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Пользуясь формулами (1.1), продолжим

 

 

 

 

1

2

1

2

1 1

2

2 1

2

xee1

+ xee2

= xf f1

+ xf f2

= xf (c1e1

+ c1e2) + xf

(c2e1

+ c2e2) =

 

 

(c11xf1 + c21xf2 )e1 + (c21xf1 + c22xf2 )e2.

 

 

Отсюда заключаем

 

x1

= c1x1 + c1x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

1 f

2 f

 

 

 

 

 

 

{ xe2

= c12xf1 + c22xf2 .

 

 

(1.3)

 

 

 

 

 

 

Полученные формулы называются формулами преобразования координат векторов

при преобразовании базисов (1.1). Эти формулы так же могут быть выписаны в инвариантной от размерности форме. Для этого сформируем из координат вектора

X â

базисах e è f матрицы столбцы

( xe2

)

 

( xf2

)

 

 

 

x1

 

 

x1

 

Xe =

e

 

Xf =

f

 

 

 

 

 

Тогда формулы (1.3) перепишутся в виде матричного равенства

Xe = CXf

Матричный вид формул преобразования координат может быть легко извлечен из матричного вида преобразования базисов если заметить, что разложение

 

1

2

 

X = xee1

+ xee2

 

эквивалентно матричному равенству

 

 

 

 

X = eXe. Действительно,

 

 

( xe2

)

 

 

xe1

 

xe1e1 + xe2e2 = (e1, e2)

 

Тогда имеем,

eXe = f Xf = (eC)Xf = e(CXf )

и, стало быть,

Xe = CXf

Очевидно, в матричной форме формулы преобразования базисов и коопрдинат не зависит от размерности и применимы в просранствах любой размерности n.

1.5.2Ориентация

C

Назовем базисы e è f ориентированными одинаково, если матрица перехода e −→ f имеет положительный определитель det C > 0. Отношение одинаковой ориентиро-

ванности является бинарным отношением на множнстве всех базисов. Напомним, что бинарное отношение на заданном множнстве называется отношением эквивалент-

ности если удовлетворяет следующим аксиомам:

1. a a для каждого a X (рефлексивность);

1.5. ОРИЕНТАЦИЯ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

39

2.

Åñëè a b, òî b a (симметричность);

 

3.

Åñëè a b è b c, òî a c (транзитивность).

 

Задание на множестве отношения эквивалентности определяет разбиение этого множества на непустые непересекающиеся подмножества (классы) эквивалентных между собою элементов.

Предложение 1.5.2 Отношение одинаковой ориентированности является отношением эквивалентности на множестве всех базисов линейного пространства.

Доказательство.

C

 

1. e e. Действительно, e −→ f , ãäå

 

 

10 . . . 0

E =

 

. 0. .

. 1. . .. .. ..

.0. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 . . .

1

 

2. Åñëè e f òî f e.

C

Действительно, пусть e −→ f . Òàê êàê det C > 0, то существует обратная мат- ðèöà C1. Следовательно, имеем

f = eC

 

f C1 = (eC)C1 = e(CC1) = e

 

e = f C1

 

 

 

Значит f C1 e, причем det C1 = 1 > 0, что означает f e.

−→

det C

3. Åñëè e f è f g, òî e g.

C1

Действительно, пусть e −→ f (det C1 > 0) è f g (det C2 > 0). Тогда

f = eC1,

g = f C2 = (eC1)C2 = e(C1C2).

C1C2

Таким образом, e −→ g è òàê êàê det (C1C2) = det C1 det C2 > 0, òî e g.

Таким образом, все базисы линейного пространства разбиваются на два класса эквивалентных базисов. Внутри каждого класса переход от базиса к базису осуществляются матрицей с положительным определителем. Базисы из разных классов связаны между собой матрицей с отрицательным определителем. Задать ориентацию - значит выбрать базисы из определенного класса. Линейное пространство называется ориентированным, если в нем выбрана ориентация. Эта выбранная ориентация называется положительной, а противоположная - отрицательной.

Например, при n = 1, пусть e è f два ненулевых вектора на прямой. Тогда, оче-

видно,

f = λe, ãäå λ ≠ 0. В этом случае матрица преобразования базисов состоит из одного элемента C = (λ). Класс ориентации вектора e составляют векторы, сонаправленные с e, а другой класс ориентации составляют векторы, противонаправленные с e.

40

ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Отношение одинаковой ориентируемости базисов (следовательно, и понятие ориентации) можно описать следующим образом. Пусть e è f два базиса. Базис e называ-

ется деформируемым в базис f , если существует семейство векторов a1(t), a2(t), . . . , an(t) таких, что ak(t) непрерывные функции параметра t [0, 1] è

• ai(0) = ei, ai(1) = fi.

• a1(t), . . . , an(t) линейно независимы для каждого t [0, 1].

Справедливо

Предложение 1.5.3 Два базиса e è f ориентированы одинаково тогда и только тогда, когда e è f деформируемы друг в друга.

1.5.3Некоторые применения ориентации

Ориентированная длина вектора на прямой

Пусть e единичный вектор прямой, задающий ориентацию, a произвольный вектор на прямой. Тогда a = λe. Величина λ называется ориентированной длиной вектораa. Очевидно,

λ = ±|a|.

Ориентированная площадь параллелограмма. Бивекторы

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах a è b. Åñëè φ угол между этими векторами, то площадь построенного параллелограмма вычисляется по извест-

ной формуле S = |a||b| sin φ.

 

 

 

 

 

b

 

 

 

-

 

a

 

 

 

 

 

S = |a||b| sin φ

Покажем, что формуле для вычисления площади параллелограмма мжно придать выражение, инвариантное относительно размерности пространства, а именно,

2 2 2 2

S = |a| |b| − a, b .

Действительно,

S

2

=

2

 

2

sin

2

2

2

(1

cos

2

2

 

2

2

 

2

cos

2

φ =

 

|a|

|b|

 

 

φ = |a|

|b|

 

φ) = |a|

|b|

 

− |a|

|b|

 

 

2 2 2

|a| |b| − a, b .

Замечание. Полученной формуле можно придать вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 =

 

a,

a, b

.

b, a

 

b, b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица под определителем назывется матрицей Грама пары вектров a è b.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]