Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

Предложение 1.2.4 Множество компланарных векторов образует линейное пространство L, размерность которого dim L = 2, а базис в L составляет любая пара

неколлинеарных векторов.

Доказательство. Действительно, пусть векторы a è b компланарны. Отложим их от

−→ −−→

общего начала O. Пусть OA è OB направленные отрезки, представляющие векторы

−→ −−→

a è b. Направленные отрезки OA è OB определяют плоскость. По правилу сложе-

−→ −−→

ния направленных отрезков, линейная комбинация λOA + µOB является диагональю

параллелограмма, лежащего, очевидно, в этой же плоскости. Следовательно, вектор

λa + µb компланарен векторам a è b и, таким образом, множество компланарных

векторов образует линейное пространство.

Пусть a1 è , a2 неколлинеарные векторы, тогда система {a1, a2} линейно независима. Действительно, пусть

Таким образом, система {a1, a2} образует базис рассматриваемого линейного пространства и dim L = 2.

Аналогичным образом нетрудно проверить справедливость следующего утверждения.

Предложение 1.2.5 Множество векторов в пространстве образует линейное пространство L, размерность которого dim L = 3, а базис в L составляют любые три

некомпланарных вектора.

Важными следствиями доказанных утверждений являются следующие критерии линейной зависимости, доказательства которых оставляем читателю.

Предложение 1.2.6 Два геометрических вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они зависимы.

Предложение 1.2.7 Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Более формальные рассмотрения необходимы при рассмотрении нижеследующего утверждения.

Упражнение 1.2.1 Пусть L линейное пространство строк длины n. Доказать, что размерность dim L = n, а базис в L составляют векторы

e1 = {1, 0, . . . , 0}, e2 = {0, 1, . . . , 0}, . . . , en = {0, 0, . . . , 1}.

1.2.2Координаты вектора

имно однозначным.

Упорядоченный набор чисел {b1, . . . , bn} в вышеприведенном разложении будем

называть координатным представлением вектора

b ( в заданном базисе ) и записывать

Зафиксируем базис a1, . . . , an. Пусть b è c два произвольных вектора в L. Тогда

относительно выбранного базиса векторы a è b могут быть представлены своими координатами:

координатные представления векторов

b è c и пусть эти векторы коллинеарны. Тогда

они линейно зависимы , т.е.

b = λc.

И поскольку координаты вектора относительно данного базиса определены един-

ственным образом, то

b1 = λc1, . . . , bn = λcn.

Три вектора

b, c, p компланарны тогда и только тогда, когда координаты одного из них линейно выражаются через координаты остальных.

линейно зависимы, а значит для одного из них, скажем

b, можно записать

b = λc + µp.

Переходя к координатам, получим

{b1, . . . , bn} = {λc1 + µp1, . . . , λcn + µpn}.

И поскольку координаты вектора относительно данного базиса определены единствен-

1.3Аффинное пространство

Пусть A множество произвольной природы. L линейное пространство, dim L = n.

Определение 1.3.1 Ïàðà A = (A, L) называется аффинным пространством, если существует (задано) отображение φ : A×A → L, ставящее в соответствие точкам

−−−−→

M1, M2 A единственный вектор в L, обозначаемый как M1M2, причем

1. Для любой точки M1 A и любого вектора a L существует единственная

−−−−→

точка M2 A такая, что M1M2 = a,

2. для любых M1, M2, M3 A имеет место равенство:

−−−−→ −−−−→ −−−−→

M1M2 + M2M3 = M1M3.

Примеры.

1. Плоскость как аффинное пространство. Пусть A плоскость, L множество век-

торов на плоскости. Зададим отображение φ : A×A → L, сопоставляя паре точек

−−−−→

(M1, M2) направленный отрезок M1M2 . Тогда пара

A = (A, L)

образует аффинное пространство, называемое аффинной плоскостью.

является аффинным пространством.

1.3.1Аффинная система координат

{x1(2) − x1(1), . . . , xn(2) − xn(1)}.

= (x1(2) − x1(1))e1 + (x2(2) − x2(1))e2,

что и требовалось доказать.

1.3.2Формула деления отрезков в данном отношении

Пусть A3 (геометрическое) аффинное пространство, M1, M2 A. Будем говорить, что точка M делит отрезок [M1, M2] в отношении λλ12 , åñëè

−−−→ λ1 −−−→

M1M = λ2 MM2.

Найдем координаты точки M, если известны координаты точек M1 è M2. Пусть O e1e2e3 аффинная система координат. Пусть M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2). Тогда

r = λ1r2+λ2r1 . λ1+λ2

Итак, радиус-вектор искомой точки записывается в виде:

r = λ1r2 + λ2r1 . λ1 + λ2

Заметим, что полученное выражение является векторным и не зависит от размерности аффинного пространства.

Чтобы выписать результат в координатной форме, поступим следующим образом. Положим r = {x, y, z} радиус-вектор точки M. Тогда

Упражнение 1.3.1 ( Обобщенная задача и деление отрезка) Будем говорить, что

точка M делит отрезок [M1, M2] в отношении k в обобщенном смысле, если выпол-

−−−→ −−−→

няется равенство M1M = kM2M, ãäå k R. Скажем, что точка M делит отрезок [M1, M2] внутренним образом, если k [0, +∞), и внешним, если k < 0.

Показать, что если

1.−∞ < k < −1, то точка M находится за точкой M2.

2.−1 < k < 0, то точка M находится за точкой M1.

3.0 ≤ k < +∞, то точка M находится внутри [M1, M2]

1.3.3Уравнение прямой в аффинном пространстве

Параметрическое векторное уравнение прямой

Рассмотрим геометрическую аффинную плоскость. Введем аффинную систему координат. Пусть l прямая и M0 точка на прямой l. Пусть задан вектор a, параллельный прямой l. Пусть M произвольная точка на l. Пусть r0 è r радиус-векторы точек M0 è M соответственно. Тогда

r − r0 a.

Значит, для каждой точки M l существует параметр t такой, что r−r0 = t a. Откуда

r = r0 + ta.

Полученное уравнение называется векторным параметрическим уравнением прямой

на аффинной плоскости.

Тот факт, что рассуждения велись относительно геометрических векторов на плоскости очевидно не существенен. Абсолютно аналогично мы могли рассуждать о прямой в пространстве. Естественно обобщить рассмотрения и называть это уравнение

векторным параметрическим уравнением прямой в общем аффинном пространстве. Векторное уравнение прямой не зависит от размерности.

Параметрическое координатное уравнение прямой

Пусть Oe1e2 аффинная система координат, M0(x0, y0) начальная точка прямой, M(x, y) A2 произвольная точка прямой, a направляющий вектор прямой

с координатами: a = {ax, ay}. Тогда {x, y} = {x0, y0} + t{ax, ay}. Откуда получаем параметрическое координатное уравнение прямой на плоскости:

{

x = x0 + ax t y = y0 + ay t.

Параметрическое координатное уравнение прямой в пространстве выписывается

Ясно, что в аффинном n− мерном пространстве параметрическое координатное

уравнение прямой, проходящей через точку (x10, . . . , xn0 ) в направлении вектора a = {a1, . . . , an}, будет иметь вид:

x1 = x0 + a1t,

0

x2 = y02 + a2t,

. . .

xn = z0n + ant,

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Как известно, через две заданные точки проходит единственная прямая. Напишем ее уравнения. Пусть M0(x0, y0, z0) è M1(x1, y1, z1) заданные точки, r0 è r1 соответству-

ющие радиус-векторы. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно

−−−−→

взять вектор a = M0M1 = r1 − r0 с координатами a = {x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0}. Тогда векторное параметрическое уравнение примет вид

r = r0 + (r1 − r0)t = (1 − t)r0 + tr1.

В координатном выражении (для прямой в A3) получим:

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой в An можно выписать в форме, не содержащей параметр в явном виде. Рассмотрим в начале n = 2. Запишем параметрическое уравнение

{

x − x0 = a1t y − y0 = a2t

и исключим параметр t. В результате получим каноническое уравнение прямой на

плоскости:

x − x0 = y − y0 (= t) a1 a2

При этом будем рассматривать дроби как отношения и пользоваться соглашением: если a1 = 0, тогда x − x0 = 0, à åñëè a2 = 0, è a1 ≠ 0, òî y − y0 = 0.

Ïðè n = 3 каноническое уравнение прямой выписывается аналогично:

Общее уравнение прямой на аффинной плоскости A2

Запишем каноническое уравнение прямой на аффинной плоскости

x − x0 = y − y0 a1 a2

и раскроем пропорцию в виде:

a2(x − x0) − a1(y − y0) = 0.

Положим A = a2, B = −a1. Тогда уравнение прямой на плоскости запишется в виде

A(x − x0) + B(y − y0) = 0

èëè

Ax + By + C = 0,

ãäå C = −(Ax0 + By0). Последнее уравнение называется общим уравнением прямой на аффинной плоскости.

Коэффициентам A è B в каноническом уравнении можно придать определенный

геометрический смысл . Для этого введем понятие верхней и нижней полуплоскости относительно данной прямой. А именно, рассмотрим функцию

F (x, y) = Ax + By + C.

Тогда точки прямой удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0. Верхней полуплоскостью относительно заданной прямой называется подмножество

π+ = {(x, y) A2 | F (x, y) > 0},

а нижней полуплоскостью подмножество

π− = {(x, y) A2 | F (x, y) < 0}.

Введем в рассмотрение вектор аффинной нормали N = {A, B}.

Доказательство. Действительно, пусть точка M0(x0, y0) лежит на данной прямой.

Взаимное расположение двух прямых на A2

Прямая на плоскости всегда может быть задана своим общим уравнением (равно как и каноническим или параметрическим). В связи с этим, задачу о взаимном расположении двух прямых на плоскости можно решать с использованием наиболее удобных уравнений. Для данной задачи используем именно общие уравнения.

Теорема 1.3.1 Пусть l1, l2 две прямые на плоскости заданные уравнениями:

l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0.

Прямые l1 è l2

Доказательство. Прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда координаты направляющих векторов пропорциональны. Если

N1 = {A1, B1} è

N2 = {A2, B2} векторы аффинных нормалей данных прямых, то их направляющие векторы легко находятся: a1 = {B1, −A1}, a2 = {B2, −A2}. Коллинеарность направляющих векторов, таким образом, эквивалентна коллинеарности аффинных нормалей:

A1 = B1 ,

A2 B2

откуда A1 = µA2, B1 = µB2.

Общая точка двух данных прямых может быть найдена как решение системы

{

A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0.

Если прямые параллельны, то получим

{

µA2x0 + µB2y0 + C1 = 0, A2x0 + B2y0 + C2 = 0.

Умножим вторую строку на µ и вычтем одну строку из другой. Тогда имеем , что

{

A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0

имеет единственное решение, найти которое можно так. Умножим первое уравнение íà A2, а второе на A1, и вычтем одно из другого. Получим

(A2B1 − A1B2)y + (A2C1 − A1C2) = 0,

откуда находим,

y0 = −(A2C1 − A1C2). A2B1 − A1B2

Аналогично,

x0 = −(B2C1 − B1C2). B2A1 − A2B1

Упражнение 1.3.2 Пусть прямые l1 è l2 заданы векторными параметрическими уравнениями:

l1 : r = r1 + at, l2 : ρ = r2 + bt.

Доказать, что

через r0 радиус-вектор точки M0. Точка M принадлежит плоскости, проходящей через

−−−→

точку M0 тогда и только тогда, когда векторы M0M, a è b компланарны. А так как a

r = r0 + ua + vb

называется векторным параметрическим уравнением плоскости в A3. Точка M0 íà-

зывается начальной точкой плоскости, а векторы a, b называются направляющими

векторами плоскости.

Если направляющие векторы и начальная точка заданы координатами

то координаты произвольной точки плоскости, отвечающей радиусу-вектору r = {x, y, z}, можно легко найти, расписывая по-координатно векторное уравнение. А именно,

{x, y, z} = {x0, y0, z0} + u {ax, ay, az} + v {bx, by, bz}.

Отсюда получаем параметрические координатные уравнения плоскости:

x = x0 + uax + vbx,

y = y0 + uay + vby, z = z0 + uaz + vbz.

Матрицей размера 2 × 2 называется таблица, состоящая их двух строк и двух столб-