Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

484.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>


1.5. ОРИЕНТАЦИЯ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ																					41
	Зафиксируем на плоскости ортонормированный базис e1, e2. Тогда a = a1e1 +
2		1	e1	2	e2 è
a	e2, b = b		e1	+ b	e2 è
				\|a\|		2	1	)	2	2	2	,		2	1	)	2	2	)	2
				\|a\|			= (a	)		+ (a	)	,	\|b\|		= (b	)		+ (b	)

2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

a, b = (a b + a b ) = (a b ) + 2a a b b + (a b ) .

Следовательно,

S2 = (a1b2 − a2b1)2.

С другой стороны, векторы a è b образуют (невырожденный) параллелограмм, поэтому являются линейно независимыми и образуют другой базис плоскости. Матрица

a1	b1	)
C = ( a2	b2	)

является матрицей перехода от базиса e1, e2 к базису a, b. Очевидно теперь, что

S = |detC|.

Определим ориентированную площадь параллелограмма формулой Sor = det C. Из определения следует, что

Sor = {	S,	если базис a, b ориентирован отрицательно (det C < 0)
	S,
	S,	если базис a, b ориентирован положительно (det C > 0),
	−

С ориентированной площадью параллелограмма связано поняти бивектора, обобщающее понятие вектора. Напомним, что мы назывем вектором совокупность равных между собой направленных отрезков. Два направленных отрезка равны, если:

•имеют равные длины;

•расположены на параллельных прямых

•одинаково ориентированы (сонаправлены);

Вектор - это, образно говоря, свободно "плавающий"в пространстве класс эквивалентности равных направленных отрезков. Бивектор - это класс эквивалентности кусочков плоскости, имеющих одинаковую площадь и одинаковую ориентацию. Такие кусочки будем представлять в виде параллелограммов, постороенных на упорядоче- ных парах векторов. Будем считать две упорядоченных пары векторов равными, если построенные на них параллелограммы

•имеют одинаковую площадь;

•лежат в параллельных плоскостях;

•одинаково ориентированы.

Бивектором называется - класс эквивалентных пар векторов.

42 ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Ориентированный угол между прямыми на плоскости

Пусть l1 è l2 две прямые на ориентированной плоскости. Тогда можно определить не просто угол между прямыми l1 è l2, но и угол от прямой l1 к прямой l2.

Определение 1.5.1 Углом от прямой l1 к прямой l2 (ориентированным углом меж- ду прямыми) называется угол между положительно ориентированной парой направляющих векторов прямых l1 è l2.

Пусть φ угол между l1 è l2, à φor ориентированный угол между ними. Тогда

	a1, a2
cos φor =	a1	a2
\|		\|\| \|

при условии, что пара направляющих векторов a1, a2 этих прямых ориентирована положительно. Легко заметить, что если φ угол между векторами a1 è a2, òî

φor =	{ π − φ, åñëè ïàðà a1, a2 ориентирована отрицательно.
	φ åñëè ïàðà a1, a2 ориентирована положительно,

1.6 Векторное произведение

1.6.1Определение и свойства векторного произведения

			3	. Вектор c называется вектор-
Определение 1.6.1 Пусть a, b два вектора в E				. Вектор c называется вектор-

ным произведением a è b, åñëè
1) c	a, c
1) c	a, c	b;

2)Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, образованного

векторами a è b, òî åñòü |c| = |a||b| sin (a b);

3) тройка векторов a, b, c положительно ориентирована.

Замечание. В определении предполагается, что векторы a è b не коллинеарны. Ниже

будет показано, что для коллинеарных векторов естественно полагать c = 0.

Предложение 1.6.1 Пусть векторы a = {ax, ay, az} è b = {bx, by, bz} заданы своими координатами в некотором (произвольном) ортонормированном базисе. Тогда

вектор
	ay az		ax az			ax	ay
	by bz		bx bz			bx	by
c = {		, −			,			} .
является векторным произведением		векторов		a	è b.

Доказательство. Пусть c = {cx, cy, cz}. Тогда из первого свойства следует:

{

cxax + cyay + czaz = 0 . cxbx + cyby + czbz = 0

1.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Обозначим

∆x =

∆y =

∆z =

ay by .

Поскольку a b, то хотя бы один из выписанных определителей не равен нулю. Пусть, например, ∆z ≠ 0.

Рассмотрим систему уравнений

{

cxax + cyay = −czaz cxbx + cyby = −czbz

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера:

azcz ay

azcz

−bzcz by

∆x

−bzcz

∆x

∆z

−

cx =

= cz

cy =

= cz

−

Положим cz = λ. Тогда мы можем записать

∆z

cx = λ∆x, cy = −λ∆y, cz = λ∆z

Иначе говоря, условию c a, b удовлетворяет вектор

c = λ{∆x, −∆y, ∆z}.

Заметим, что длина и направление найденного вектора не определены однозначно. Используем второе свойство из определения векторного произведения и покажем,

÷òî |λ| = 1. Для этого заметим, что если a = {ax, ay, az} è b = {bx, by, bz}, то для площади образованного ими параллелограмма справедливо выражение

√

S = ∆2x + ∆2y + ∆2z.

Действительно,

|a|

− cos

|b|

sin (a

b) =

|a|

|b|

(a b)) =

2 2

cos

b) =

|a|2

|b|2

− | a,| b| |2 =

| |

−

+ ayby + azbz)

(ax

+ ay

+ az)(bx + by

+ bz) − (axbx

(aybz − azby)2 + (axbz − azbx)2 + (axby − aybx)2 = ∆2x + ∆2y + ∆2z.

Таким образом условие |c| = S влечет |λ| = 1.

44	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Покажем, что из третье свойства определения векторного произведения следует, что λ = 1. Для этого рассмотрим ориентацию тройки векторов a, vecb, c ïðè λ = 1 è

покажем, что она положительна. Действительно,

bx∆x

∆

∆x

−∆y

∆z

2 2

−

= ∆x + ∆y

+ ∆z > 0.

Утверждение доказано.


Замечание. Легко видеть, что векторы a è b коллинеарны тогда и только тогда,
когда	∆x = ∆y = ∆z = 0	. Поэтому, если	, то полагаем	.
	∆x = ∆y = ∆z = 0		a b	c = 0

Векторное произведение вектора a на вектор b будем обозначать через

[a, b ].

Предложение 1.6.2 Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1.[a, b] = −[b, a] антикоммутативность;

2.[a + b, d] = [a, d] + [b, d] дистрибутивность по сложению;

3.[λa, b] = λ[a, b] линейность.

Доказательство. Перестановка сомножителей ведет к перестановке строчек опре- делителей ∆x, ∆y è ∆z, что приводит к смене их знака. Аналогично выводятся и остальные свойства.

1.6.2Некоторые геометрические приложения векторного произведения

Признак коллинеарности векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть

a
a	b	[a, b] = 0.
Это свойство отмечалось выше.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть l : r = r0 + at прямая в пространстве. Найдем расстояние от точка M1 ñ радиус-вектором r1 до прямой l. Рассмотрим параллелограмм, построенный на векто-

ðàõ r1 − r0 è a. Искомое расстояние равно высоте d этого параллелограмма. Площадь параллелограмма S = |a| d. С другой стороны, S = [r1 − r0, a] . Следовательно,

	[r1	\| \|
	[r1	r0	, a]
d =		−a		.

1.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых

Пусть l1 : r = r1 + a1t è l2 : r = r2 + a2τ , две скрещивающиеся прямые в пространстве. Рассмотрим две плоскости π1 : r = r1 + a1u + a2v,

			, a2].
π2 : r = r2 + a1u + a2v. Очевидно, что π1 l1, π2 l2 è π1 π2. Положим N = [a1			, a2].
Тогда
N	π1 è N π2.	l1. Действительно, поло-
Рассмотрим плоскость π3 : r = r1 + a1u + Nv. Тогда π3		l1. Действительно, поло-

æèâ u = t, v = 0 в уравнении плоскости π3, получим уравнение прямой l1. Ïðè ýòîì

π3 π1, π3 π1, òàê êàê π3 l3 : r = r1 + Nv, à l3 π1, π2 .

Аналогично, рассмотрев плоскость π4 : r = r2 + a2u + Nv, получим π4 l2, π4

π1, π4 π2.

Прямая l = π3 ∩ π4 имеет следующие свойства:

1.l ∩ l1 ≠ , òàê êàê l π3, l1 = π3 ∩ π1, π3 π1;

2.l ∩ l2 ≠ , òàê êàê l π4, l2 = π4 ∩ π2, π4 π2;

3.l l1, l l2.

Следовательно, прмая l и есть искомый общий перпендикуляр. Выпишем его уравнение. Запишем уравнение плоскостей в виде:

			π4 : r − r2, [a2					, N]		= 0.
			π3 : r r1				, a1			= 0,
			π3 : r r1				, a1	, N	]	= 0,
Тогда уравнение прямой l:				−			[		]
{			[		]	= 0
	r r1, a1, N					= 0		, ãäå N = [a1, a2].
	r	−	r2, a2, N		]	= 0		, ãäå N = [a1, a2].
		−	[		]

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть l1 è l2 скрещивающиеся прямые. l1 : r = r1 + a1t, l2 : r = r2 + a2τ , . Точка

M1	с радиус-вектором r1 принадлежит π1. Запишем уравнение плоскости π2 â âèäå:
π2 :	r − r2, [a1, a2] = 0. Тогда

dl1,l2	=	\| r1 − r2, [a1, a2] \|	.

		\|[a1, a2]\|

Следствие 1.6.1 Пусть l1 : r = r1 +a1t, l2 : r = r2 +a2τ , , a1 a2 две непараллельные

прямые. Тогда	r1 − r2, [a1, a2] = 0.
l1 ∩ l2 ̸=

Доказательство. Достаточно заметить, что приведенное условие означает равенство нулю расстояния между скрещивающимися прямыми.

46	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1.6.3Двойное векторное произведение

			3, заданные относительно ортонормиро-
Пусть a, b, c три произвольных вектора в E
ведением.	[	[ ]]
ванного базиса. Тогда произведение a,			называется двойным векторным произ-
		b, c
Предложение 1.6.3 Для любых трех векторов в E3
	[a, [b, c]] = b a, c − c a, b .
Доказательство.	Выберем систему координат следующим образом: ось Oz íà-

правим вдоль c, îñü Oy возьмем в плоскости векторов b è c, îñü Ox направим перпендикулярно этой плоскости. Тогда относительно выборанной системы координат

a = {a

, a

, b

} и мы находим

}, b = {0, b

}, c = {0, 0, c

b, c = {

, −

} = {b2c3, 0, 0},

0 c3

0 0

[

]

{

, −

} =

b, c =

0 0

b2c3

[

[ ]]

0, a

}

С другой стороны,

{

−

= {0, a

, a

b a, c

c a, b

0, 0, a2b2c3

+ a3b3c3

а значит

{

}

b a, c − c a, b = {0, a3b2c3, −a2b2c3}.

Сравнивая вычисления, получаем требуемый результат.

Упражнение 1.6.1 Докажите, что

1.	[[a, b], c] = b a, c − a b, c .
	[[ ] ] [ [ ]]	[
					c,
			b	a, b	c,
2.	a, b , c = a, b, c		a	c.

1.6.4Смешанное произведение векторов

	3. Тогда произведение
Пусть a, b, c три вектора в E		a, [b, c] называется смешанным
произведением трех векторов .		a, [b, c] называется смешанным

Предложение 1.6.4 Пусть векторы a = {ax, ay, az}, b = {bx, by, bz} è

заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

	c		c		c
[ ]	ax		ay		az
[ ]		x		y		z
a, b, c =	bx		by		bz
a, b, c =	bx		by		bz		.

c = {cx, cy, cz}

Тогда

1.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Доказательство. Действительно,

				[	]		by
è				b, c
	a,	[	by	]bz			bx
		b, c			=

	ax		cy		cz	− ay	cx
	ax		cy		cz	− ay	cx

bz		bx
cz	, −	cx
cz	, −	cx

b			b
cz	+ az		cx
cz	+ az		cx
z			x
z			x

cz		,	cx	cy		}
bz			bx	by


	y			c		c
	b			ax		ay
	b				x		y
	cy		=	bx		by

bz . cz

Расстановка скобок внутри скалярного произведения не существенна. Имеется в

виду следующее свойство:					[	]	[	]
В связи с этим, для смешанного					[	]	[	]

				a, b, c = a, b , c .
				произведения употребляется упрощенное обозначение:
			Докажите,		[	]

				a, b, c			(a, b, c).
Упражнение 1.6.2				÷òî
2. Смешанное[ ]		[произведение] ;		линейно по каждому из сомножителей. Например,
1.
1.	a, b, c = a, b , c

			(a1 + a2, b, c) = (a1, b, c) + (a2						, b, c);

3.При перестановке любых двух векторов в смешанном произведении знак произведения меняется на противоположный. Например,

(a, b, c) = −(b, a, c).

1.6.5Некоторые геометрические приложения смешанного произведения

Признак компланарности векторов

Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда

(a, b, c) = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть в прострвнстве заданы три точки с радиусами-векторами r1 = {x1, y1, z1}, r2 = {x2, y2, z2}, r3 = {x3, y3, z3}. Точка с переменным радиусом-вектором r = {x, y, z} принадлежит плоскости, проходящей через заданные точки, тогда и только тогда, когда компланарны векторы r − r1, r2 − r1 è r3 − r1, òî åñòü

(r − r1, r2 − r1, r3 − r1) = 0.

В координатном выражении это условие означает, что

x x1 x2

x1 x3

y − y1

− y1

= 0.

−

z − z

− z

Раскрыв определитель, получим уравнение искомой плоскости.

48	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Ориентированный объем параллелепипеда.
Тривекторы

Пусть векторы a, b, c не компланарны, т.е. (a, b, c) ≠ 0. Тогда |(a, b, c)| равен объему

параллелепипеда, построенному на соответствующих направленных отрезках. Дей-

ствительно, вектор
N = [a, b] является вектором нормали к плоскости основания
параллелепипеда. Величина			P r	c	равна его высоте. Вычислим ее:
		h = \|−→N \|

h =	P r c	=	c, N	=	\| c, [a, b] \|	=		(a, b, c)		.
h =	P r c	=	\|N\|	=		=	\|		\|	.
	\|−→N \|		\|N\|		\|[a, b]\|		\|	Sîñí	\|

Òàê êàê Sîñíh = V объему параллелепипеда, то очевидно

V = |(a, b, c)|.

Ориентированным объемом Vor тройки векторов a, b, c называется величина


		Vor = (a, b, c).
Легко видеть, что		если тройка a, b, c ориентирована отрицательно.
Vop = {	V,	если тройка a, b, c ориентирована отрицательно.
	V,
	V,	если тройка a, b, c ориентирована положительно);
	−

Используя понятие ориентированного объема, на множестве всех троек векторов можно ввести отношение эквивалентности, а именно, две тройки назовем экввивалентными, если они имеют равные ориентированные объемы. Классы эквивалентности такого рода называются тривекторами. С геометрической точки зрения, тривекторыэто кусочки пространства с одинаковыми объемами и одинаково ориентированные. Ясно, что цепочка: векторы → бивекторы → тривекторы может быть естественно

продолжена по размерности. Соответствующее обобщение носит название поливекторы, однако здесь мы не будем касаться этого обобщения.

1.7Элементы многомерной аналитической геометрии

1.7.1Уравнение k− мерной плоскости в An

Пусть в An зафиксирована точка M0 радиус-вектор которой r0. И пусть заданы k линейно независимых векторов {a1, . . . , ak}. Аффинной k− мерной плоскостью πk â аффинном пространстве An называется множество точек в An, радиус-вектор кото-

рых (в заданной аффинной системе координат) задается равенством

r = r0 + t1a1 + t2a2 + · · · + tkak.

Точка M0 называется начальной точкой плоскости πk, а линейное пространство Lk

с базисом {a1, . . . , ak} называется направляющим пространством плоскости πk. Åñëè k = 1 то 1-мерная аффиннфя плоскость называется аффинной прямой в An.

Åñëè k = n−1, то такая плоскость назывеется гиперплоскостью в An. Так, например,

π2 : r = r0 + t1a1 + t2a2 является гиперплоскостью в A3, à π1 : r = r0 + t1a1 является гиперплоскостью в A2. ßñíî, ÷òî π1 является в то же время и аффинной прямой.

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Упражнение 1.7.1 Покажите, что уравнение гиперплоскости в аффинном про- странстве An может быть записано в виде

πn−1 : A1x1 + A2x2 + · · · + Anxn + D.

Вектор

N = {A1, . . . , An} называется вектором аффинной нормали гиперплоскости

πn−1.

Упражнение 1.7.2 Покажите, что для прямой в An с начальной точкой (x1, . . . , xn)

нение в виде:

{

} можно n

a1, . . . , an

и направляющим вектором a =

выписать ее каноническое урав-

x − x0

· · ·

x − x0

Упражнение 1.7.3 Пусть

π1n−1 : A11x1 + A21x2 + · · · + An1 xn + D1,

π2n−1 : A12x1 + A22x2 + · · · + An2 xn + D2

две гиперплоскости в An.

Пусть

= {A1

, . . . , An} è

{A1, . . . , An} их аффинные нормали. Образуем

векторы

1 2

}. Покажите, что

Q1 = {A1, . . . , An, D

} è Q2 = {A1

, . . . , An, D

n−1 n−1 n−2, åñëè

• π1 ∩ π2 = π N1 N2;

•π1 π2, åñëè N1 N2 è Q1 Q2;

•π1 = π2 åñëè Q1 Q2.

1.7.2Подпространства в линейном пространстве

n вещественное линейное пространство. Подмножество				˜		n называется
Пусть L			e	L L		e
Важнейшим для нас примером линейного			e	L		e
(линейным) подпространством в Ln, åñëè λx + µy			L для любых x, y			L и любых
вещественных λ, µ.
		подпространства в			n является линей-
ная оболочка системы векторов.
Определение 1.7.1 Пусть {a1, . . . , ak} система векторов в L				n. Линейной оболоч-
							âèäà
êîé Lin(a1, . . . , ak) данной системы называется подмножество векторов в Ln
k
∑i
uiai	ui R.
uiai	ui R.
=1

Иными словами, линейная оболочка это множество всех линейных комбинаций заданной системы вектров.

Замечание. Следует хорошо различать линейную комбинацию и линейную оболочку данной системы векторов. Линейная комбинация л.к.(a1, . . . , ak) это вектор m,

âèäà

∑k

m = uiai = u1a1 + · · · + ukak,

i=1

50	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ãäå u1, . . . , uk фиксированы. Очевидно, л.к.(a1, . . . , ak) Lin(a1, . . . , ak). Например, рассмотрим два вектора a1, a2. Тогда

Lin(a1, a2) = {ua1 + va2| u, v R}.

Рассмотрим вектор m = 3a1 + 5a2. Вектор m = ë.ê.(a1, a2) с коэффициентами 3 и 5. Ясно, что m Lin(a1, a2) ïðè u = 3, v = 5.

Предложение 1.7.1 Lin(a1, . . . , ak) линейное подпространство в Ln. Его размер- ность dim Lin(a1, . . . , ak) ≤ k.

Ïðè ýòîì dim Lin(a1, . . . , ak) = k тогда и только тогда, когда векторы a1, . . . , ak линейно независимы, а значит a1, . . . , ak один из базисов Lk = Lin(a1, . . . , ak).

Доказательство. Действительно, пусть x, y Lin(a1, . . . , ak). Тогда

k	k	k
∑i	∑	∑
x =	xiai, y =	yiai, λx + µy = (λxi + µyi)ai Lin(a1, . . . , ak),
=1	i=1	i=1

а значит Lin(a1, . . . , ak) линейное подпространство в Ln. Разложим вектры a1, . . . , ak) по некоторому базису Ln. Тогда

a1 = {a11, . . . , an1 },

. . .

ak = {a1k, . . . , ank }.

Линейным операциям над векторами a1, . . . , ak соответствуют линейные операции над

строками k × n матрицы	1	n
A =	a...1 . . .	a...1


	a1 . . .	an
	k	k

Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк (столбцов). Ранг матрицы равен максимальному размеру ее ненулевого минора. Тогда оче- видно, что rg A ≤ min(k, n) = k. Åñëè æå rg A = k, то все строки матрицы A, а вместе

с ними и векторы a1, . . . , ak, линейно независимы. Но тогда a1, . . . , ak один из базисов

Lk = Lin(a1, . . . , ak).

Сумма подпространств. Прямая сумма

Определение 1.7.2 Пусть Lk è Ll два подпространства в Ln. Суммой Lk + Ll подпространств Lk è Ll называется множество векторов в Ln âèäà

x + y		x Lk, y Ll.

Предложение 1.7.2 Lk + Ll линейное подпространство в Ln.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.09.201943.27 Кб5Lektsia_5.docx
#
11.11.2019133.12 Кб0Lektsia_5T.doc
#
09.09.201918.23 Кб2Lektsia_6.docx
#
23.02.20152.13 Mб45Lektsii.doc
#
25.11.2019470.53 Кб0Lektsiya_Karpov_Alyuminiy.doc
#
23.02.2015484.23 Кб7Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1.pdf
#
23.02.2015121.34 Кб18Lekts_ya_4o.doc
#
23.02.2015106.5 Кб18Lekts_ya_5o.doc
#
23.02.2015127.49 Кб13Lekts_ya_6o.doc
#
23.02.201536.65 Кб2leonardo da vinci.docx
#
18.12.2018678.4 Кб30lesson_3_Punishment.doc