Тема 4_векторный анализ (теория поля)

Вариант №1

1.

Найти производную поля (õ)

x2

y2

z2

x2yz в точке A 1,2,1 в

z

y

x

направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

2.

Найти угол между градиентами скалярных полей

v x,y,z

x

3

x

2

1

1

6 y3 3z3

6 , u x,y,z

в точке М

2,

,

.

2

2

yz

2 3

3.

Показать, что поле вектора

2

z

x

2

z 1

2

1

à

2x y z z

i

j

x

y 2xz

k

x

2

x

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции õ,y,z y2 xz x z.

5.

Вычислить работу силы F y z x2 i x z y2

j x y z

2 k при переме-

x2

y2

16 1, из точки A 2,0,1

в точку B 0,4,1 .

щении по линии 4

z 1

6.

2

через плоский треугольник с вер-

Вычислить поток поля a y

i

y j xk

шинами в точках A 2,0,0 , B 0, 1,

0 ,

C 2,0,4 . Нормальный вектор плоскости

образует острый угол с осью OX .

7.

Найти поток поля a x y

i y 2z

j x y z k

через полусферу

z R

R2 x2 y2 в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для вектора a

y zi xz x2

x j

x yk , при-

Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 1 x2y

x2 5z2 в точке

Ì 2, 12,1

4

по направлению нормали к поверхности z2

x2 4 y2 4, образую-

щей тупой угол с направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

1

1

1

à 2 x y 1

i 2 x y

j 2 z

k

x2y z

x y z2

2

x y2z

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля a x 1

i z 3 j y 3 k .

x

2

5.

Вычислить работу вектора силы F

i x y j

z

k по меньшей дуге

y

x

окружности x2 z2 1, y 1 от

точки A 1,1,0

до точке B 0,1,1 .

6.

Вычислить поток поля a

xi x j zk через плоский треугольник с вер-

шинами в точках A 4,0,0 ,

B 0,2,0 , C 4,0,4 . Нормальный вектор плоско-

сти образует с осью OY острый.

7.

Найти поток поля

2

2z

2

k

через границу пространственной об-

a y i y

j

ласти 13 x2 y2 z 6

x2 y2 в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 2x yi x2

2y z j 3y

2 k ,

принимая за контур интегрирования астроидуx cos3t,

y sin3t,

z 0,а за по-

верхность интегрирования – часть плоскости XOY , ограниченную астроидой.

9.

Доказать, что поле вектора u v

соленоидально, если u u õ,y,z ,

v v õ, y,z

дифференцируемые скалярные функции.

10.

Найти a , где

r радиус-вектор точки,

a cosr yi 2 j xzk ,

r

r

.

угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

2

z

z

1

а yz z

y

i xz x

1

j

x y 2xz

k

x2y

x y2

x y

потенциально. Найти потенциал поля.

2

4.

Найти векторные линии поля вектора

a y i x j x y

k .

5.

Вычислить работу вектора силы F y z

i z x j x y k

при пере-

2

y

2

16,

мещении по линии x

x 4z 4.

6.

Вычислить поток

поля

2

k

через часть

поверхности

a x 2z i x j y

x2 y2 4, лежащую

во

II октанте

и

отсеченную

плоскостями

z 0, z 1, в

направлении внешней нормали.

7.

z

2

k через часть поверхности

Найти поток поля a xz i x y j

z

x2 y2 , отсеченную плоскостью z 2, в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y i x j x y k , прини-

образованную параболоидом x 4 z2 y2,

а за контур интегрирования – ли-

нию пересечения этой поверхности с плоскостью x 0.

9. Доказать, что div ua udiva agradu, где u u(х, y,z)

- дифференциальная

функция.

10. Найти a и a, для поля вектора a

r

,

sinr xi 2 y

j 3zk , где r

вектора силы F постоянен? Изобразить эти поверхности для случаев

F

1,

F

2,

F

3.

yz2 в точке Ì

1,1,

12

2. Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x

y

2

z

x

а z

y

i z x j y 2xz 1

k

sin2 xz

sin2 xz

x

2

y

3

5. Вычислить циркуляцию вектора a

i 2 j xzk вдоль контура

x2 y2 2, z 1.

4

6. Вычислить поток поля a

x z

i x y k

через часть поверхности

x 3

y2 z2 , лежащую в I октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля a 2xi y j 3zk через границу выпуклой области, за-

ключенной между поверхностями x2 y2 z2

9 и x2 z2 2 y 6 0, в направле-

нии внешней нормали.

a

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора

y z x 2 y2 i xz j x yk ,

принимая за контур интегрирования окружность

x2 y2 a2, z 0 ,

а за по-

верхность интегрирования –

поверхность

цилиндра

x2 y2 a2 0 z 14

и

плоскость z 0.

9. Доказать, что uv u v v u 2 u, v

, если u u(х, y,z), v v(х, y,z) -

дважды дифференцируемые скалярные функции.

10. Найти a и a для поля вектора a cosr 2x i 3y j zk , где

r

r

, r радиус-вектор точки.

4x2

y 1 2

1.

Потенциальная энергия частицы имеет вид u

. Найти силу F ,

z2

действующую на частицу.

Построить эквипотенциальные поверхности u 0,

u 1,

u 4.

2.

Найти производную

функции

f (x, y,z) arctg

yz

в

точке Ì 1,1, 1 в

x

направлению градиента функции (x, y,z) x2 4 y2 9z2 1.

3.

Показать, что поле вектора

y2

2 y

z

1

à

i

zcos yz

x

j

ycos yz 2z

k

x2

y2

y

2

2

2

x

y

z

4,

2, 0,

2

кточке B 0,

2,

2 .

меньшейдугекривой

x2 y2

от точки A

z2

6. Вычислить поток поля a z i y j через часть поверхности y 8 z2 x2 ,

лежащую во II октанте, в направлении внешней нормали.