идеале источник для калибровки спектрометра и проба должны иметь одинаковый химический состав и плотность. Если это не соблюдается, то следует вводить поправки на степень самопоглощения. Для измерения можно использовать сосуд Маринелли (полиэтиленовый цилиндр с толщиной стенок ≈2 мм и углублением на дне сосуда) объёмом V = 1 л.

Альфа-излучающие радионуклиды

Из-за крайне короткого пробега -частиц количество вещества между пробой и детектором должно быть минимальным. Для того чтобы выполнить это условие, используются различные приемы: откачивание воздуха между пробой и детектором, выбор наиболее выгодной геометрии счета, максимально возможное удаление неактивных компонентов пробы; установка источника внутри детектора. Чаще всего для измерения-излучающих нуклидов используется метод -спектрометрии. Разрешение по энергии наилучшее, когда источник имеет бесконечно малую толщину и массу и помещен на идеально плоское основание. Чтобы не происходило самопоглощения и рассевания -частиц в образце, толщина источника не должна превышать 1 % от средней величины пробега -частицы. Для радиохимических анализов с низким пределом обнаружения чаще всего источники готовят либо методом соосаждения с редкоземельными металлами в различных средах, либо электроосаждением актиноидов на полированный диск из нержавеющей стали. Электролиз позволяет изготовить препарат с весьма точным и однородным по толщине и распределению слоем радиоактивного вещества. Однако условия электролитического осаждения определены лишь для отдельных радиоактивных изотопов. В настоящее время в -спектрометрии применяется широкий круг разных типов детекторов: полупроводниковые Si(Au), счетчики с жидким сцинтиллятором, ионизационные камеры. Появляются новые виды детекторов с более высокой разрешающей способностью и более простой конструкцией.

Бета-излучающие радионуклиды

Для измерения -излучения образцов используют различные типы-радиметров со счетчиками Гейгера-Мюлера. Торцовые счетчики ГейгераМюлера могут считать помимо жесткого -излучения мягкое -излучение, так как они имеют очень тонкое входное слюдяное окно.

ЛЕКЦИЯ 21 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

Виды погрешности. Радиоактивность как статистический процесс. Распределение Пуассона. Генеральная и выборочная совокупности и их характеристики.

Как известно, ни одну физическую величину нельзя измерить абсолютно точно. Прежде всего, точность измерений ограничивается погрешностью используемой методики и применяемой аппаратуры. Кроме того, при действии большого числа факторов на измеряемую величину, особенно трудно поддающихся учету, обычно бывает сложно обнаружить физические закономерности. Эти закономерности могут быть выявлены только при сравнении результатов серий экспериментов, выполненных в изменяющихся условиях. Такое сравнение становится возможным только в том случае, если результаты экспериментов представляются в форме, удобной для хранения, передачи и дальнейшей обработки, и выполнены в рамках процедур, основанных на законах математической статистики.

Виды погрешности. Радиоактивность какстатистический процесс [44]

Всякий количественно контролируемый эксперимент завершается получением по крайней мере одного числа, которое называется результатом. Но измерение любой физической величины с абсолютной точностью невозможно, следовательно, поэтому в результате измерения мы получаем значение, отягощенное погрешностью. Традиционно различают систематические, случайные погрешности и грубые промахи. Появление систематических погрешностей вызывается факторами, действующими одинаковым образом при выполнении измерений одним и тем же методом, одним и тем же измерительным устройством. В результате мы получаем значения, имеющие «параллельный сдвиг» относительно истинного значения или изменяющиеся в соответствии с каким-то законом. Так, источниками систематических погрешностей могут быть:

инструментальные погрешности (неисправность или неточная «настройка» приборов);

субъективные (личные) ошибки;

неточность градуировочных (реперных) точек прибора и ограниченная точность констант;

погрешности, возникающие вследствие приблизительности

модельных теоретических соотношений, связывающих

эмпирически регистрируемые величины с теми, которые интересуют исследователя.

Некоторые факторы (как объективного, так и субъективного происхождения), хоть и не очень часто, проявляются неожиданно сильно (например, внезапное падение напряжения в электрической сети или грубая ошибка экспериментатора при заполнении протокола наблюдений, отступление от принятой методики проведения работ). Тогда получается результат, резко отличающийся от других, в той же серии экспериментов. Такие отклонения носят название грубых погрешностей (ошибки этого рода, имеющие явно субъективные причины, называют промахами). Часто нетрудно выявить грубые промахи, так как отягощенные ими результаты могут значительно отличаться от других результатов наблюдений. Но корректнее это делать с соблюдением определенных статистических процедур, чтобы не принять результат, являющийся грубым промахом, и не отвергнуть отличающийся результат, который грубым промахом не является.

Однако и в тех случаях, когда систематическая погрешность настолько мала, что можно ею пренебречь, а грубые промахи не наблюдаются, результаты измерений не свободны от погрешностей. Рассеяние результатов может быть обусловлено неконтролируемым изменением большого числа неподдающихся учету факторов, оказывающих влияние на процесс измерения. Погрешности такого типа называются случайными. Чему равна случайная погрешность в отдельном измерении, нельзя предсказать заранее, поэтому нельзя предсказать и точное значение результата, который будет получен в данном опыте. Однако если известен закон распределения экспериментальных результатов, отягощенных случайными погрешностями, то можно посчитать вероятность того, что случайная погрешность окажется в пределах заданного интервала значений.

Все выше сказанное относится к процедуре измерения физических величин в любой экспериментальной области. В случае радиометрических определений наряду с другими погрешностями в результат вносится дополнительная неопределенность, обусловленная вероятностным характером самого радиоактивного распада. С этой неопределенностью связан минимальный уровень рассеяния экспериментальных результатов, которого можно достигнуть при регистрации радиоактивности данного образца в течение заданного времени.

Таким образом, количественная оценка параметров радиоактивного распада и связанных с ним явлений осложняется тем, что ядерные превращения относятся к классу явлений, носящих статистический характер.

Все виды излучений независимо от их природы характеризуются тем, что частицы и фотоны, составляющие потоки, распределены в пространстве и времени. Будем называть «событием» попадание частицы во входное окно детектора. Тогда потоку частиц (или фотонов) можно поставить в соответствие «поток событий» и поставить вопрос о законах распределения этих событий во времени и по площади чувствительной поверхности

детектора. Если детектор и источник ионизирующего излучения (радиоактивный препарат) находятся в фиксированных точках пространства, то попадание частиц и фотонов на чувствительную поверхность детектора можно рассматривать как поток однородных событий, различающихся только моментами времени. Такой поток изображают как последовательность точек на числовой оси, где каждая точка соответствует моменту наступления события. Кроме того, этот поток однородных событий характеризуется следующими особенностями, которые присущи не слишком интенсивным источникам излучения:

поток стационарен, т.е. вероятность попадания того или иного числа событий в интервал времени длиной t зависит только от длины этого интервала и не зависит от места его расположения на оси, а среднее число событий, попадающих в данный интервал, не зависит от времени и постоянно;

поток без последствия, т.е. для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий в одном из них не зависит от числа событий в другом;

поток ординарен, т.е. вероятность вторичных (и тем более многократных) попаданий событий в элементарный интервал t

пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью однократного попадания.

Поток событий, обладающий этими свойствами, называется стационарным потоком Пуассона. Эта статистическая модель хорошо соответствует реальной радиометрической ситуации. Действительно, условие стационарности обеспечивается тем, что среднее число частиц, попадающих в детектор в единицу времени, не меняется с течением времени (принимается, что за время измерения активность препарата уменьшается незначительно, что справедливо для случая tизм<<T1/2, где tизм – время измерения). Условие отсутствия последействия выполняется постольку, поскольку частицы попадают в детектор независимо друг от друга. Наконец, условие ординарности тоже удовлетворяется с большой вероятностью, так как частицы прилетают поодиночке, а не по двое, по трое и т.д.

Подчинение потока событий, связанных с регистрацией излучения радионуклидов, пуассоновской статистике позволяет наилучшим образом количественно оценить результаты измерения активности.

Распределение Пуассона, являющееся фундаментальным соотношением статистики редких событий, имеет следующий вид:

Для радиоактивного распада распределение Пуассона может быть интерпретировано следующим образом: оно характеризует вероятность того, что в течение промежутка времени t произойдет x актов распада, если среднее число актов распада за время t равно (np) = μ . Причем вероятность

p – вероятность единичного события – очень мала при очень большом объеме комбинации испытаний n (рис. 40).

Рис. 40. Распределения Пуассона для различных μ [45]

Это распределение дискретное и однопараметрическое: параметр μ здесь представляет собой и генеральное среднее (математическое ожидание)

и генеральную дисперсию.

При больших значениях n, которое обеспечивает μ ≥10, дискретное распределение Пуассона становится симметричным и может быть аппроксимировано нормальным распределением (рис. 41):

где (x) – плотность вероятности. Или для нормированной случайной величины

Рис. 41. Кривые нормального распределения при различных значениях [44]

Таким образом, можно определить вероятность того, что нормированная случайная величина z не выйдет за пределы заданного интервала ( и ; и ):

P( и z и и xσμ< и = P( и x и ) .

называется доверительной вероятностью, а вероятность того, что значение случайной величины z выйдет за пределы этого интервала, равна: р =1 , где р – уровень значимости.

Генеральная и выборочная совокупности и их характеристики [44,46]

Совокупность всех мыслимых результатов измерений, выполненных при постоянных условиях эксперимента, - гипотетическая бесконечная совокупность, - называется генеральной совокупностью. Аналитически она однозначно задается математическим ожиданием и генеральной дисперсией

( и 2).

Любую совокупность измерений, выполненных при заданных условиях, принято рассматривать как случайную выборку из генеральной совокупности или выборочную совокупность. Вместо генеральных параметров выборка предоставляет их оценки, называющиеся выборочными характеристиками: оценкой генерального среднего является выборочное

x_ n x /n

среднее: i , а оценкой генеральной дисперсии является выборочная

i 1

n _

дисперсия: Sx2 (x x)2/(n 1). Методы, дающие возможность рассчитать

i 1

границы интервала, внутри которого с заданной доверительной вероятностью находятся значения генеральных параметров, - это методы интервального оценивания. Величина интервала определяет точность результата измерений, а вероятность того, что оцениваемый параметр будет лежать в пределах этого интервала, характеризует надежность оценки. Интервальная оценка параметров распределения является одной из основных задач статистической обработки результатов измерения.

Радиометрические измерения в общем случае имеют два независимых источника разброса данных (погрешностей). Активность препарата и скорость счета, будучи статистическими величинами, всегда будут отягощены флуктуациями, которые присущи самому явлению распада, а не являются следствием препарирования и процедуры измерения. Кроме этого, случайные погрешности при отборе нескольких аналитических «параллельных» проб и приготовлении образцов также неизбежны, но они не связаны с природой радиоактивного распада, а являются типичными погрешностями физико-химического эксперимента. В итоге статистические флуктуации складываются со случайными погрешностями эксперимента. Таким образом, наложение случайных погрешностей на флуктуации пуассоновского характера может быть представлено в виде суммирования соответствующих дисперсий:

2общ = 2пуасс + 2сл ,

где 2общ – общая генеральная дисперсия, характеризующая измерение активности; 2пуасс – дисперсия пуассоновского характера, отражающая статистический характер распада; 2сл – дисперсия, характеризующая вклад случайных погрешностей при отборе проб, вследствие проявления физических и геометрических несовершенств и неоднородностей препаратов и т.п.

Как было установлено выше, единственный параметр в распределении Пуассона выполняет обе роли, будучи равным генеральному среднему и генеральной дисперсии ( = 2пуасс). Что касается традиций радиометрии, то вполне приемлемым приближением считается вычисление (точнее –

__

численная оценка) параметра NГ, представляющего собой генеральный

параметр распределения Пуассона, по данным весьма ограниченного списка (около десяти «параллельных» измерений, что по мнению большинства статистиков считается «малой» выборкой). Более того, считается, что если даже в единичном опыте зарегистрировано достаточно большое число (порядка 103) импульсов Ni, то для определения квадратической флуктуации

__

пуасс{N} вместо NГ можно использовать Ni .

__

пуасс{N} N Г Ni .

Таким образом, для большинства практических задач радиометрии будем исходить из следующих практически приемлемых приближений:

__

μ 2 N ,

__

где N – среднее число импульсов конечной выборки за фиксированное время t. На этом основании выразим в явном виде квадратическую флуктуацию скорости счета через непосредственно измеряемые величины:

пуасс{I} пуасс{N}/t N /t I__/t Ii/t.

Увеличение разброса данных за счет случайных погрешностей может

исказить равенство = 2пуасс, 2общ > 2пуасс и поэтому < 2общ.

Если, как уже рассматривалось выше, пуассоновские статистические флуктуации будут отягощены препаративными случайными погрешностями, то выборочные квадратические отклонения станут больше соответствующих пуассоновских статистических флуктуаций:

Это обстоятельство не позволяет моделировать результаты радиометрии пуассоновским потоком, что отнимает определенные вычислительные преимущества и снижает информационную ценность результатов измерений.

Нередко возникает необходимость проверить, соответствуют ли данные измерений распределению Пуассона, и определить значимость вклада случайных погрешностей на уровне разброса, обусловленного статистическим характером радиоактивного распада. Таким образом, выдвигая гипотезу о пуассоновском характере разброса данных при радиометрии нескольких радиоактивных препаратов («параллельных» проб), основываются на том, что генеральный параметр распределения Пуассона

__

можно с приемлемой точностью принять равным N , а соответствующие квадратические флуктуации рассчитать по приведенным выше формулам.

Эта проблема, а также ряд других, выражаемых с помощью предположительных суждений, решаются в рамках процедуры, которая называется «выдвижение и проверка статистических гипотез».

ЛЕКЦИЯ 22 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

Проверка статистических гипотез. Гипотеза о подчинении экспериментальных результатов распределению Пуассона. Влияние грубых погрешностей. Проверка гипотезы о том, что две выборки взяты из одной генеральной совокупности. Оценка точности результатов косвенных измерений.

При обработке экспериментальной информации нередко возникает необходимость в проверке некоторых предположительных утверждений. Эти утверждения могут касаться разных характеристик массива полученных численных данных. Например, в отношении результатов нескольких

повторных измерений активности препарата (или разных препаратов) разумно высказать предположение, что вся совокупность этих данных находится в согласии с распределением Пуассона. Кроме того, можно делать высказывания (правомочность которых и будет требовать обоснованной проверки по определенным правилам) о численных значениях генеральных параметров распределения, если вид его предварительно установлен, точные значения которых недостижимы. Поэтому применяют процедуры, которые приводят к приемлемым приближениям. Дело в том, что строгая теория строится на результатах предельного поведения распределений при n , а практическое приложение теории состоит в использовании этих результатов в качестве аппроксимаций для конечных значений n. Эксперимент, дающий бесконечное количество информации (т.е. предоставляющий результат с бесконечной точностью), физически невозможен: за очень большое количество информации приходится «платить» по весьма высокой цене. Поэтому современная физика, осознав, что ошибки нельзя сделать сколь угодно малыми по желанию, пришла к выводу, что их надо учитывать как составную часть теории.

Среди приблизительных оценок возможны, в частности, интервальные оценки и другие подходы к количественным показателям неопределенности. Кроме того, практически важными могут оказаться высказывания, например, такого типа:

а) значение генерального среднего данной выборки не превышает (или наоборот – превышает) некоторую сообщаемую величину;

б) значения генеральных средних (или генеральных дисперсий) двух независимых выборок совпадают (несмотря на то, что значения среднеарифметических величин, представляющих собой лишь оценки этих параметров, численно несколько различаются).

Встречаются и более сложные примеры предположительных высказываний, но все они имеют следующие общие черты [44].

1) Предположительные суждения называются статистическими гипотезами. «Нулевой» (основной) называют выдвинутую проверяемую гипотезу. Обычно ее обозначают H0. Альтернативной гипотезой называют противоречащее, противоположное утверждение; его обозначают H1.

2) «Простой» гипотезой называют такую, которая содержит только одно предположение (статистическое высказывание). Например, H0: μ = =25, где μ параметр распределения Пуассона. В то же время гипотезу H : μ > 10 уже нельзя назвать простой, так как она состоит из бесконечного множества действительно простых гипотез типа Hi : μ = Li; где Li – любое число, отвечающее условию Li> 10.

3) Не исключено, что в результате проверки будет отвергнута правильная гипотеза, когда она в действительности верна. В этом случае говорят о совершении ошибки первого рода. Вероятность ее свершения называют уровнем значимости. Ошибка второго рода допускается в том случае, когда в результате проверки принимают проверяемую гипотезу,

которая в действительности неверна, а справедливой является альтернативная гипотеза. Вероятность события, которое можно обозначить, как «ошибка второго рода не допущена», называется «мощность критерия» и равна (1 ), где вероятность совершить ошибку второго рода.

4)Сопоставление выдвинутой статистической гипотезы с экспериментальными данными (что является проверкой статистической гипотезы) выполняется с помощью некоторого статистического критерия (в широком смысле слова – алгоритма), вычисляемого определенным образом.

5)Статистические суждения, т.е. принятие или отклонение гипотезы, высказываются только на основании количественных сопоставлений с применением статистических критериев, что исключает всякий субъективизм. При этом критической областью называют совокупность значений критерия, при которых отвергается нулевая гипотеза. Область допустимых значений (область принятия гипотезы) – это совокупность значений критерия, когда нулевая гипотеза принимается. Критическая область может быть правосторонней, левосторонней и двусторонней.

6)Процедуры принятия или отклонения нулевой гипотезы характеризуются некоторыми логическими особенностями, требующими пояснений. Поскольку экспериментатор, ставя опыт, имеет целью проверку правильности некоторого теоретического предположения, то в системе статистических понятий проверка этой гипотезы сводится к тому, чтобы получить количественные основания для ответа на вопрос: должна ли быть отвергнута нулевая гипотеза? Она не требует доказательства

своей истинности, являясь некоторым теоретическим постулатом. Она может быть отвергнута или принята («не доказана»!). Когда гипотеза отвергается (на определенном уровне значимости), то это всего лишь означает, что нельзя настаивать на случайном происхождении результатов опыта, т.е. существует объективная причина невыполнения H0. Известному статистику Рональду Фишеру принадлежат слова: «В отношении к любому эксперименту нулевая гипотеза никогда не доказывается и не устанавливается, но возможно опровергается в процессе опыта. Можно сказать, что каждый опыт существует только для того, чтобы предоставить факты для возможности опровержения нулевой гипотезы».

7) Назначение уровня значимости (5%, 1% и т.д.) никоим образом не вытекает из каких бы то ни было статистических законов, и этот уровень невозможно «математически вычислить». Принятие того или иного уровня есть итог чисто практического решения, который может быть обоснован какими-то прецедентами, инженерной практикой, экономической оценкой. Назначение определенного уровня значимости может опираться на концепцию приемлемого риска и даже на интуицию.

Но сама по себе математическая статистика бессильна «порекомендовать» наиболее приемлемый уровень значимости. Тем не менее, считается, что для большинства научно-технических задач можно принять уровень значимости 5% (и реже 1%). Более того, если он в описании эксперимента не указан, то предполагается, что он равен 5% (это обычно относится к научной литературе, опубликованной не ранее 70-х годов).

Гипотеза о подчинении экспериментальных результатов распределению Пуассона

Одна из гипотез, которая выдвигается и проверяется при анализе результатов измерения радиоактивности, – это гипотеза о подчинении экспериментальных результатов распределению Пуассона. Это дает возможность в дальнейшем при оценке погрешности и построении доверительных интервалов воспользоваться зависимостями, которые применимы для известной генеральной дисперсии, а, кроме того, дает возможность определить значимость вклада различных источников случайной погрешности на фоне флуктуаций, связанных со статистической природой радиоактивного распада.

Например, проводим несколько серий измерений:

1.Измеряем радиоактивный образец на одной установке, в неизменной геометрии. В этом случае можно предположить, что разброс значений будет обусловлен статистической природой радиоактивного распада и случайными погрешностями, связанными, например, с нестабильностью работы измерительного тракта.

2.Измеряем тот же образец в тех же условиях, но поворачивая его вокруг своей оси. В этом случае разброс результатов, наряду с причинами, указанными выше, может быть обусловлен еще и неоднородным распределением радиоактивного вещества по подложке. И теоретически, он должен быть больше, чем в первом случае.

3.Измеряем серию образцов, взятых из одной пробы. Следовательно,

вданном случае добавляется еще и погрешность приготовления образцов. Таким образом, можно продолжить и дальше, расширяя круг факторов,

которые могут оказывать влияние на погрешность измерений. Следует также отметить, что это доступный прием выявления систематической погрешности путем перевода ее в разряд случайных. Когда мы проводим измерение одного образца, то погрешность, связанная с отбором пробы, является систематической, а при проведении измерений нескольких параллельных проб, «отобранных из одной банки», мы их переводим в разряд случайных и можем оценить вклад препаративной погрешности.

Порядок действий при проверке гипотезы о подчинении эмпирического распределения (т.е. выборки, списка результатов измерения активности) распределению Пуассона таков:

1)располагая данными измерения скорости счета n образцов (I1, I2, ...

... In), рассматривают среднее значение I_ как среднеарифметическое из n значений;

1)генеральную дисперсию величины I рассчитывают на основании равенства генеральных параметров распределения Пуассона

пуасс2 {I} I_ / t,

где t – время измерения скорости счета каждого препарата (обычно при серийных измерениях это время принимается одинаковым);

2)конструируют случайную величину 2 :

2 = f S2/ 2,

которая еще называется критерием Пирсона. Обращает на себя внимание еще и то, что в общем случае критерий Пирсона может быть рассчитан как отношение выборочной дисперсии к генеральной, умноженное на число степеней свободы. Следовательно, он может использоваться для проверки гипотезы о подчинении экспериментальных результатов любому теоретическому распределению, если известна его генеральная дисперсия. В данном конкретном случае эмпирическое значение критерия Пирсона рассчитывается следующим образом:

2 эмп = f S2{I}/(I_ / t),

где f = n –1 – число степеней свободы. Выборочную дисперсию вычисляют, как обычно:

Если 2эмп превышает критическое значение для заданного уровня значимости при числе степеней свободы f :

2 эмп > 2 0,05 (f),

то гипотеза об отсутствии статистически значимого расхождения между эмпирическим (наблюдаемым) и теоретическим (пуассоновским) распределением отвергается (т.е. расхождение признается существенным на заданном уровне значимости). Не исключено, что при принятии другого уровня значимости итоги проверки гипотезы могут быть противоположными,

поэтому указание уровня значимости (или доверительной вероятности) и числа степеней свободы в подобных случаях является обязательным.

Влияние грубых погрешностей

Если гипотеза о подчинении разброса данных распределению Пуассона при измерении активности радиоактивных препаратов отвергается на основании 2 - критерия, то вопрос о причине этого несогласия остается открытым. Это может произойти как по причине наложения аппаратурных и препаративных погрешностей на статистические флуктуации, так и вследствие грубых промахов в эксперименте. Для того чтобы обоснованно «отбраковать» такие грубые просчеты, также необходимо обращение к логике выдвижения и проверки гипотез. И в этом случае недопустимы никакие субъективные решения (отбрасывание данных на основании «очевидных» расхождений и т.п.). Для принятия обоснованного суждения в этом отношении задачу формулируют следующим образом: среди результатов измерений имеются значения, несколько отличающиеся от общего уровня, поэтому возникает предположение о том, что они являются следствием грубых погрешностей. Чтобы это выяснить, выдвигают гипотезу «об отсутствии грубых погрешностей», которую проверяют с использованием критерия, построенного на основе наибольшего нормированного отклонения, т.е. наибольшей из величин по модулю:

Здесь xmax и xmin – максимальный и минимальный из результатов

«параллельных» измерений; x_ – среднее арифметическое определяемой величиныформуле ; Sx – выборочное квадратическое отклонение, рассчитанное по

n – объем выборки (число «параллельных» измерений). Рассчитанное по данным эксперимента значение max или min (в зависимости от того, в какую сторону «выпадает» подозреваемое значение скорости счета – в большую или в меньшую) сравнивают с критическим значением p (для уровня значимости p при числе степеней свободы f = n – 2). Величины max и min, вследствие симметрии нормального закона, распределены одинаково; для большинства технических и радиоаналитических задач обычно принимают p = 0,05 (5%); число степеней свободы в данном случае на две единицы

меньше объема выборки, так как на экспериментальный список налагаются две связи: при расчете среднего арифметического и выборочной дисперсии.

Проверка гипотезы о наличии грубой погрешности может закончиться тем, что эта гипотеза принимается, т.е. некоторый «подозрительно выпадающий» результат, как отягощенный грубой погрешностью, можно будет отбросить (исключить из списка). После этого можно будет снова вернуться к проверке гипотезы о пуассоновском характере распределения результатов радиометрии, располагая списком данных, меньшим на одно значение.

Может случиться, что гипотеза о пуассоновском характере на основании объективных критериев окажется несостоятельной, и в то же время не будет обнаружено грубых погрешностей, «портящих» пуассоновскую закономерность распределения. Это свидетельствует о том, что на фоне флуктуаций, связанных со статистической природой радиоактивного распада, значимыми являются случайные погрешности, связанные с процедурой приготовления и измерения образцов.

Проверка гипотезы о том, что две выборки взяты из одной генеральной совокупности

В радиометрии, особенно в радиоаналитических и радиоэкологических задачах, нередко возникает ситуация, когда одна и та же величина, сводимая к измерению активности препарата, содержащего радионуклид, определяется с использованием двух разных радиометрических методик или двух разных способов изготовления препаратов. Иными словами, не обсуждая причины появления двух независимых списков радиометрических данных, относящихся к одной и той же величине (объекту, явлению, процессу), целесообразно установить, можно ли рассматривать эти выборки, как взятые из одной генеральной совокупности. Как известно, однозначно определяют генеральную совокупность математическое ожидание и генеральная дисперсия, поэтому для решения вопроса о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности необходимо выдвинуть и проверить, по крайней мере, две гипотезы:

1.Гипотеза об однородности дисперсий: σ2I σ2II σ2.

2.Гипотеза об однородности математических ожиданий: : .

Проверка гипотезы об однородности дисперсий

Гипотеза об однородности генеральных дисперсий осуществляется на основе их оценок, которыми являются выборочные дисперсии SI2 и SII2 . Проверка гипотезы осуществляется с помощью критерия Фишера. Для этого

строится эмпирическое дисперсионное отношение Fэмп Smax2 /Smin2 , которое представляет из себя неправильную дробь, т.е. при формировании критерия

Фишера в числитель ставится дисперсия, имеющая большее численное значение, а в знаменатель - меньшая. После расчета эмпирического критерия сравнивают его значение с теоретическим Fp для заданного уровня значимости и известного числа степеней свободы fI и fII (в данном случае f =

n-1).В общем случае, когда не известно, какая из генеральных дисперсий σ2I

или σ2II больше, а какая меньше, используют двусторонний критерий. Если

априори известно, что генеральная дисперсия в одном из списков не может быть меньше другой, то используют односторонний критерий. Если в результате сопоставлений эмпирического и теоретического критериев выполняется следующее неравенство:

Fэмп Smax2 /Smin2 F0,05(,fmax ),fmin

то нуль-гипотеза H0 : σ2I σ2II σ2 отвергается при 5%-ном уровне

значимости. В противном случае (если эмпирический критерий окажется меньше теоретического) делают вывод, что нет оснований отвергать нуль-

гипотезу, а выборочные дисперсии SI2 и SII2 , несмотря на их арифметическое неравенство, можно считать независимыми оценками общей для обоих списков генеральной дисперсии . Итак, если нуль-гипотеза о равенстве генеральных дисперсий проходит (не отвергается), то это может служить основанием для расчета сводной дисперсии по обеим выборкам

__S2 S2f S2f . ()f f

Проверка гипотезы об однородности математических ожиданий

Задача сводится к выдвижению и проверке нуль-гипотезы H0 :. Если дисперсии в двух сравниваемых списках, исследованные с помощью критерия Фишера, оказались однородными, то для проверки гипотезы о совпадении средних обычно используют критерий Стьюдента. В этом случае также возможны ситуации, когда разумно использовать односторонний критерий, а когда двухсторонний. Но если нет никаких априорных сведений о преобладании одного из генеральных параметров, то всегда следует применять двухсторонний критерий.

Эмпирическое значение критерия Стьюдента рассчитывают по

формуле

В числителе стоит абсолютное значение разности сравниваемых средних. Поскольку выборочные характеристики и любые их сочетания являются случайными величинами, то они характеризуются соответствующими квадратическими отклонениями. В данном случае в знаменателе этой формулы стоит среднее квадратическое отклонение разности сравниваемых средних, т.е. той случайной величины, которая стоит в числителе. Это отклонение рассчитывается по формуле

Эмпирический t-критерий сравнивают с теоретическим, который при заданном уровне значимости зависит только от числа степеней свободы. В обсуждаемом примере при выявлении однородности дисперсий общее число степеней свободы в двух списках равно: f = nI + nII – 2. Если окажется, что tэмп<tp{f}, то различие между выборочными средними признается статистически незначимым и нуль-гипотеза Ho: проходит (не отвергается). В этом случае можно сделать вывод о том, что две выборки взяты из одной генеральной совокупности, и оценками генеральных параметров может быть сводная дисперсия и средневзвешенное, рассчитанное по формуле

Вопрос о корректности сравнения средних в том случае, когда дисперсии в сравниваемых выборках оказываются неоднородными, в большинстве руководств по статистической обработке данных радиометрии не обсуждается, и вопрос остается открытым. Но есть несколько эмпирических подходов, пригодных для практических целей. В частности, возможен следующий прием, если nI 3 и nII 3:

Если это соотношение выполняется, то нет оснований для отклонения

нуль-гипотезы на 5%-ном уровнезначимости.

Для решения задачи сравнения нескольких выборок предложены различные подходы, которые в данном случае не обсуждаются.

Оценка результатов измерения радиоактивности. Доверительный интервал для определяемого параметра

О статистике часто говорят, что ее главная цель – получение заключений, имеющих смысл, из подверженных разбросу данных. Даже если

закон распределения флуктуаций или погрешностей заранее известен (например, формула Пуассона или Гаусса), то для завершения радиоаналитического или радиометрического эксперимента этого мало: в большинстве случаев цель состоит в определении параметров этих распределений.

Наиболее распространенным способом оценки параметров распределения является интервальная оценка. Она заключается в том, что на основании серии повторных измерений находится числовой интервал, который с определенной и обязательно сообщаемой вероятностью «накрывает» искомое, так называемое «истинное» значение этой величины.

Вероятность того, что интервал содержит в себе истинное значение параметра, называется доверительной вероятностью , а величина 1- =р – уровнем значимости. Уровень значимости показывает, насколько часто при повторении выборки наше суждение (например, что значение генерального параметра лежит в пределах доверительного интервала) будет оказываться ошибочным.

При построении доверительного интервала для оценки «истинной» скорости счета сообщается вероятность, с какой числовой интервал со случайными границами накрывает генеральное среднее (в нашей задаче –

«истинную» скорость счета). Эту доверительную вероятность ( ) иногда называют статистической надежностью. Очевидно, что чем больше , тем больше доверительный интервал при заданном объеме выборки и найденном квадратическом отклонении. Но, с другой стороны, чем больше доверительный интервал, тем менее ценно статистическое высказывание (оно менее категорично, т.е. менее информативно). Из этого следует, что в статистике существует противоречие между категоричностью высказывания и его надежностью: надежное высказывание некатегорично, категоричное – ненадежно. Это можно рассматривать как аналогию принципа Гейзенберга: чем точнее провозглашаемая статистическая оценка для фиксированного объема выборки, тем ниже ее достоверность.

Например, если список результатов измерений активности был исследован на соответствие распределению Пуассона и гипотеза прошла, то доверительный интервал для генерального среднего скорости счета строится следующим образом:

или, что то же самое:

где P – вероятность события (указанного в скобках); I_ – среднее арифметическое значение скорости счета, рассчитанное по данным n измерений продолжительностью t минут каждое; и – границы интервала для нормированной случайной величины при заданной доверительной

ЛЕКЦИЯ 23 ОСОБЕННОСТИ ОБРАЩЕНИЯ С ПОБОЧНЫМИ ПРОДУКТАМИ И

ОТХОДАМИ ЯДЕРНОГО ТОПЛИВНОГО ЦИКЛА

Обращение с жидкими радиоактивными отходами (ЖРО). Методы очистки и концентрирования ЖРО (термические, осадительные, сорбционные, мембранные).

Отходы образуются на всех этапах ядерного топливного цикла (ЯТЦ). Они могут быть жидкими, твердыми, газообразными и содержать большое количество радионуклидов. Рассмотрим основные особенности обращения с жидкими радиоактивными отходами (ЖРО).

В ЯТЦ входят и дают жидкие радиоактивные отходы следующие предприятия:

1.Предприятия по добыче урана. Урановая руда добывается подземным или открытым способом, поэтому рудники и обогатительные фабрики служат источником долговременного загрязнения окружающей среды радиоактивными веществами. В процессе переработки руды образуется огромное количество отходов, зависящих от специфических характеристик обрабатываемой руды. В основном это естественные радионуклиды (уран и продукты его распада).

2.Предприятия по производству топлива. На них происходят

обогащение урана и изготовление топливных элементов.

3. Атомные электростанции (АЭС). В процессе эксплуатации АЭС неизбежно образование жидких отходов, содержащих радионуклиды в количествах, не допускающих сброс в окружающую среду. В основе работы АЭС лежит управляемая цепная реакция деления тяжелых элементов – изотопов урана и плутония, в результате которой выделяется энергия. Выделяющаяся в активной зоне тепловая энергия переносится теплоносителем в парогенератор. Теплоносителями на АЭС с реакторами на тепловых нейтронах служат вода, водяной пар или газ; на АЭС с реакторами

активность теплоносителя может достигать 3,7·106 Бк, а при появлении дефектов в оболочке ТВЭЛа – 108–1010 Бк. Для предотвращения накопления в реакторе продуктов коррозии часть теплоносителя выводят из аппаратов, направляют на очистку от радионуклидов и примесей и возвращают в систему.

Отходы на АЭС образуются также при очистке конденсата турбин от солей, попадающих в него, в основном, с подсосами охлаждающей воды в конденсаторы.

Промывка контура для удаления продуктов коррозии с его поверхности. Радионуклиды из контура могут попасть в отходы также в результате протечек контурной воды и выхода из контура теплоносителя и радиоактивных газов. Радиохимический состав контурной воды существенно зависит от выхода продуктов деления из

ТВЭЛов, т.е. определяется герметичностью ТВЭЛа и в каждом конкретном случае индивидуален. Протечки из контура (вместе с радиоактивными газами) обуславливают загрязнение радионуклидами помещений, оборудования и т.п. Растворы после дезактивации – тоже радиоактивные отходы.

4. Предприятия по переработке облученного ядерного топлива (ОЯТ).

При регенерации облучённых ТВЭЛов в отходы попадают искусственные радионуклиды (продукты деления и трансурановые элементы), имеющие высокую активность. Проблема обезвреживания отходов, их безопасного хранения и удаления – важнейшая проблема ЯТЦ. Большинство отходов образуется при переработке облученного ядерного топлива, так как подавляющая часть радиоактивных веществ, образующихся в результате работы реактора, остается в топливе. ОЯТ сильно радиоактивно и продолжает выделять тепло вследствие радиоактивного распада, поэтому после выгрузки из реактора его помещают в заполненные водой бассейны выдержки, находящиеся на территории АЭС. Так, при выдержке в течение одного года активность может снизиться приблизительно в 50 раз вследствие распада короткоживущих радионуклидов. Если ТВЭЛы не герметичны, то происходит загрязнение радиоактивными веществами бассейнов выдержки. После охлаждения топливо подвергают химической переработке с целью выделения неиспользованного урана и плутония. Попутно могут быть выделены и другие компоненты отработанного топлива – продукты деления и трансурановые элементы.

Наиболее эффективным процессом регенерации топлива признан водно-экстракционный процесс. Отходы переработки ОЯТ содержат примерно 90 радионуклидов, являющихся продуктами деления ядерного топлива, и свыше 120 радионуклидов, образующихся в результате радиоактивного распада продуктов деления. Активность отходов может достигать 1013 Бк/л [47]. Основные радионуклиды, содержащиеся в составе радиоактивных отходов, приведены в табл. 32.

Таблица 32 Основные радионуклиды, содержащиеся в составе радиоактивных отходов

Особенно сложна проблема трансурановых элементов от 240Pu до 244Cm (кюрий). Они обладают высокой биологической токсичностью, обусловленной -излучением. Плутоний наиболее токсичен из всех известных элементов.

Образующиеся радиоактивные отходы отличаются по своему составу, количеству, уровню радиоактивности (табл. 33).

Таблица 33 Активность жидких радиоактивных отходов, Бк/л [38]

Низкоактивные отходы – это отработанные технологические растворы, конденсаты систем охлаждения и газоочистки, сточные воды прачечных и лабораторий, промывные растворы. Высокорадиоактивные отходы – это концентрированные водные растворы солей, имеющие щелочную или кислую реакцию и содержащие природные радионуклиды, продукты деления ядерного топлива, нуклиды, индуцированные нейтронами.

К основным задачам, связанным с обращением с радиоактивными отходами, следует отнести:

cоздание новых процессов переработки ОЯТ;

фракционирование существующих РАО;

создание новых матриц и новых способов иммобилизации в них радионуклидов;

разработка новых подходов к обеспечению длительного экологически безопасного хранения (захоронения) радионуклидов;

разработка принципов выбора и создание новых типов барьеров (природных и техногенных), обеспечивающих безопасность хранения ОЯТ и РАО.