electrodynamics

выражением, полученным выше, исходя из анализа силовых линий.

Пример 3.7. Незаряженная проводящая сфера радиусом R помещена в однородное электрическое поле напряженностью E0 . Найдите

поверхностную плотность зарядов, появляющихся на сфере, а также суммарный дипольный момент сферы.

Решение. Заряды по сфере распределятся так, чтобы напряженность поля

внутри проводника (сферы) была бы равна нулю. Эта напряженность складывается из напряженности внешнего однородного поля и поля,

создаваемого зарядами, появляющимися на поверхности проводника. В

примере 10 предыдущего параграфа было показано, что если заряд на

равно нулю, если на поверхности сферы появится наведенный заряд с

52 §3.Проводники и диэлектрики в электрическом поле

по углу θ от 0 до π / 2 и углу ϕ от 0 до 2π , получаем дипольный момент всей сферы:

поляризацией, определяется связанными зарядами, существующими на их торцах, причем поверхностная плотность связанных зарядов σ на торцах обоих цилиндров одинакова. На торцах, ближайших к точкам А и С,

Так как по условию задачи первый цилиндр достаточно длинный, то основной вклад в поле в точке А вносят положительные заряды. Величина

напряженности, создаваемой ими в точке А, может быть с хорошей точностью аппроксимирована полем в непосредственной близости от равномерно заряженной плоскости (см. решение примера 2 настоящего

σ

параграфа): E A = 2ε 0 .

Для точки С кроме поля положительных зарядов, которое совпадает с полем в точке А, заметный вклад в суммарную напряженность

внесут отрицательные заряды, находящиеся на дальнем от точки С торце

цилиндра. Поле E ' , создаваемое ими, направлено в противоположную E A

сторону и его величину нетрудно подсчитать, используя решение примера 4

параграфа 1, что мы предоставляем читателю сделать самостоятельно:

Суммарное поле положительных и отрицательных связанных зарядов в

h

точке С будет равно EC = E A − E ' = E A ;

D 2 / 4 + h 2

для h / D << 1 приближенно получим

2h

EC = E A D = 120 В / м .

Задание для самостоятельной работы

3.1. На вертикальной пластине достаточно больших размеров равномерно распределен электрический заряд с поверхностной плотностью σ . На прикрепленной к пластине нити подвешен маленький шарик массы m ,

несущий заряд того же знака, что и пластина. Найдите его заряд q , если нить образует с вертикалью угол α .

всегда меньше q .

3.4. Имеется заряженный до некоторого положительного потенциала проводник. Что произойдет с потенциалом этого проводника,

если приблизить к нему на конечное расстояние проводящую плоскость,

соединенную с землей?

3.5. Заряженный проводник находится внутри замкнутой металлической оболочки. 1) Изменится ли электрическое поле внутри оболочки, если извне поднести к ней заряженный проводник? 2) Будет ли изменяться поле внутри и вне оболочки, если внутренний проводник перемещать внутри оболочки?

3.7. Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусами R1 < R2 < R3 , находящихся в вакууме, крайние заземлены, а

средней сообщен электрический заряд Q . Найдите напряженность электрического поля во всем пространстве.

3.8. Из трех параллельных металлических пластинок А, В и С (рис.3.12) крайние А и В неподвижны и соединены с гальванической батареей,

поддерживающей разность потенциалов

U между ними постоянной. Средняя пластинка С сначала находится в контакте с верхней пластиной А. Затем с помощью изолирующей ручки она

перемещается по направлению к нижней пластинке. Пренебрегая краевыми эффектами, найдите напряженности полей E1 и E2 в зазорах между пластинками в зависимости от переменного расстояния x между пластинками А и С, если сумма зазоров между пластинками равна d .

3.9. Три одинаковых изолированных незаряженных маленьких металлических шарика расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух

3.16. Найдите величину и направление силы взаимодействия между двумя незаряженными проводящими сферами радиусом a , помещенными в

однородное электрическое поле E0 , направленное параллельно линии,

соединяющей центры сфер. Расстояние между центрами сфер r >> a .

напряженности E , линии которого перпендикулярны пластине. а)Найдите зависимость потенциала ϕ от x (ось 0x перпендикулярна пластине, вектор

E направлен вдоль оси 0x , точка x = 0 находится посередине пластины);

б) определите поверхностную плотность связанных зарядов на той стороне

пластины, в которую входят линии поля E из вакуума; в) определите вектор поляризации диэлектрика.

3.19. Найдите напряженность электрического поля внутри и вне однородно поляризованного незаряженного плоского диэлектрического слоя. Вектор

r r

поляризации P составляет угол α с вектором нормали n одной из внешних поверхностей слоя.

напряженность E и индукцию D поля на средней линии ОО’ в двух случаях: а) считая l << L , б) считая l >> L .

3.21. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε создано однородное поле напряженностью E . Внутри среды имеется сферическая полость. Найдите напряженность E' поля, создаваемого в центре сферы поляризационными зарядами, индуцированными на её поверхности, считая, что вектор поляризации P всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение.

3.22. Во внешнее однородное электрическое поле E (рис.3.15) внесен металлический шарик. Как в результате этого изменится напряженность электрического поля вблизи поверхности шарика в точках А и В, С и D ?

Рис.3.15

60 §4. Уравнения электростатики

значение потенциала на поверхности S , ограничивающей рассматриваемую область.

Условия на границах раздела двух сред. Как следует из уравнений

(4.1), (4.2), на границе двух сред векторы D и E удовлетворяют условиям:

Здесь индекс n означает проекцию вектора на нормаль к границе раздела,

τ− проекцию на любое касательное направление, а индексы 1 и 2 относятся

кпервой и второй средам соответственно. Нормаль n к границе раздела проводится из второй среды в первую, σ обозначает поверхностную плотность свободных зарядов, находящихся на границе.

Если заменить второй диэлектрик проводником, в котором поле

E 2 = 0 , граничные условия (4.6) преобразуются к виду

Рис.4.1

Метод изображений. Суть метода состоит в замене источников поля более удобными для расчета и обеспечивающими в заданной области V

такое же поле, что и в исходной задаче. Внутри области V распределение