Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на основу d2 нової системи до тих пір, поки не вийде частка, менша за основу d2. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d2, а наступні за нею цифри – це залишки від ділення, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.
Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.
Приклад 1.1 Перевести число 2510 у двійкову та вісімкову систему числення:
|
а) |
25 |
2 |
|
|
|
б) |
25 |
8 |
|
|
24 |
12 |
2 |
|
|
|
24 |
3 |
|
напрям
читання |
1 |
12 |
6 |
2 |
|
|
1 |
|
|
напрям
читання |
|
0 |
6 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Шукані числа пишуться у вигляді (25)10=(11001)2=(31)8.
Зробимо перевірку переведення зворотнім переведенням шуканих чисел у десяткову систему числення:
а) (11001)2=124+123+022+011+120=16+8+0+0=1=(25)10.
б) (31)8=3·81+1·80=24+1=(25)10.
Переведення правильних дробів. Для того, щоб перевести правильній дріб з системи числення d1 у систему з основою d2, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини отриманих добутків на основу d2 нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d2 формується у вигляді цілих частин отриманих добутків починаючи з першого.
При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.
Якщо точність переведення дорівнює d2-q, то після q множень на d2 записують усі знайдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде подавати дробову частину числа у новій системі числення.
Приклад 2. Десятковий дріб 0,3126 перевести у двійкову систему числення з точністю до 2-4.
|
0,3126 |
|
0,6252 |
|
0,2504 |
|
0,5008 |
|
x 2 |
|
x 2 |
|
x 2 |
|
x 2 |
|
напрям
читання |
|
1,2504 |
|
0,5008 |
|
1,0016 |
Тобто шукане число запишеться у вигляді: (0,3126)10=(0,0101)2, а найбільша помилка буде 2-4.
Перевірку проведемо переведенням знайденого двійкового числа у десяткове:
(0,0101)2=02-1+12-2+02-3+12-4=1/4+1/16=6/16=(0,3125)10.
Приклад 3. Десятковий дріб 0,6 перевести у вісімкову систему числення з точністю 8-5.
|
0,6 |
|
0,8 |
|
0,4 |
|
0,2 |
|
0,6 |
|
x 8 |
|
x 8 |
|
x 8 |
|
x 8 |
|
x 8 |
|
4,8 |
|
6,4 |
|
3,2 |
|
1,6 |
|
4,8 |
напрям
При переведенні обмежуємося п’ятьма розрядами (q=5). Тоді шукане число запишеться у такому вигляді: (0,6)10=(0,46314)8, а найбільша помилка буде (≤8-5).
Переведення змішаних чисел. При переведенні змішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне змішане число нової системи числення.
Приклад 4. Перекласти десяткове мішане число 159,75 у двійкову систему числення з точністю 2-3.
(159)10=(10011111)2;
(0,75)10=(0,11)2,
(159,75)10=(10011111,11)2.
Переведення чисел з вісімкової системи числення у двійкову і навпаки.
Для переведення числа з вісімкової системі числення у двійкову необхідно кожну цифру числа записати трьохрозрядним двійковим числом (триадою). Так як цифра вісім є степеню двійки (8=23), то вісімково-двійковий код співпадає з двійковим.
Приклад 5. Записати число (325,27)8 у двійковій системі числення.
(325,27)8=(011 010 101, 010 111)8-2=(11010101,01011)2.
Примітка. Незначні нулі зліва для цілих чисел і справа для дробів не записують.
Для переведення числа з двійкової системи числення у вісімкову необхідно розбити це число вправо та вліво від коми на групи по три розряди – тріади і замінити кожну групу відповідною цифрою вісімкової системі числення. Крайні неповні тріади доповнюють нулями.
Приклад 6. Записати число (10111011, 01101)2 у вісімковій системі числення.
(10111011,01101)2=(010 111 011, 001 010)8-2=(273,32)8.
Переведення чисел з шістнадцяткової системи числення у двійкову та навпаки.
Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа замінити тетрадою – чотирьохрозрядним двійковим числом. Так як шістнадцять є степеню двійки (16=24), то шістнадцятирічно-двійковий код співпадає з двійковим кодом.
Приклад 7. Записати число (C876,F3)16 у двійковій системі числення.
(C876.F3)16=(1100 1000 0111 0110, 1111 0011)16-2=
=(1100100001110110, 11110011)2.
Для переведення числа з двійкової системи числення у шістнадцяткову, необхідно розбити це число вправо і вліво від коми на тетради та представити кожну тетраду відповідною цифрою шістнадцяткової системи числення.
Приклад 8. Записати число (1011101101, 101101101)2 у шістнадцятковій системі числення.
(1011101101,101101101)2 =(0010 1110 1101, 1011 0110 1000)16-2=
=(2ED, B68)16.
Переведення чисел з десяткової системи числення в двійкову з проміжним переведенням у вісімкову або шістнадцяткову систему.
Для переведення чисел з десяткової системи числення у двійкову зручно використовувати проміжкове переведення у вісімкову або шістнадцяткову систему за загальними правилами, а потім найдене вісімкове або шістнадцяткове число записати у двійковій системі числення.
Приклад 9. Перевести (1972)10 у двійкову систему числення з використанням вісімкової (а) і шістнадцяткової (б) систем числення.
а) (1972)10=(3664)8;
(3664)8=(011 110 110 100)8-2;
(1972)10=(11110110100)2.
б) (1972)10=(7B4)16;
(7B4)16=(0111 1011 0100)16-2;
(1972)10=(11110110100)2.