Загальні відомості про системи числення

Система числення - сукупність прийомів і правил для зображення чисел за допомогою символів (цифр), що мають певне кількісне значення. Залежно від способів зображення чисел цифрами системи числення діляться на непозиційні і позиційні. В ЕОМ застосовуються позиційні системи числення. Непозиційні системи числення у ОТ не використовуються через свою громіздкість і складність правил виконання дій.

Позиційною системою числення називається така, в якій кількісне значення кожної цифри залежить від її позиції (місця) в числі. Прикладом може служити звичайна (арабська) десяткова система числення. Наприклад, число 373, представлене в десятковій системі числення, має в молодшому і самому старшому розрядах цифру 3. Цифра 3 в старшому розряді має вагу в 100 разів більше, ніж в молодшому розряді. В позиційній системі числення будь-яке числоможе бути подано у вигляді наступної суми:

, де k - загальна кількість розрядів в зображені числа; a_i- цифра і - го розряду; d - основа системи числення;

і - порядковий номер розряду.

Цифри, необхідні для побудови системи числення, повинні задовольняти нерівність . Основою системи числення d називається кількість знаків або символів, що використовуються для зображення числа в даній позиційній системі числення. За основуd можна прийняти будь-яке число.

Для десяткової системи числення d=10.

Десяткове число 897,346 можна представити у вигляді такої суми:

8 9 7 3 4 6

коефіцієнти

Таким чином, десяткове число є сумою різних ступенів десяти з відповідними коефіцієнтами. Ці коефіцієнти зображають число 897,346 у вигляді скороченого запису. Використовування в ЕОМ позиційних системах числення дозволяє значно спростити зображення чисел і операції з ними.

Від вибору системи числення при проектуванні ЕОМ залежать такі її характеристики, як швидкість обчислень, об'єм пам'яті, складність алгоритмів виконання арифметичних операцій. З погляду технічної реалізації якнайкращою є двійкова система числення, оскільки для побудови ЕОМ знайшли широке застосування двохпозиційні елементи. Двійкова система числення в ЕОМ є основною системою числення, в якій здійснюються арифметичні і логічні перетворення інформації в пристроях ЕОМ. Будь-яке число з двійкової системи числення може бути переведено в десяткову за допомогою формули розкладання:

Основним недоліком використовування двійкової системи числення є необхідність переведення початкових числових даних з десяткової системи числення в двійкову, а результатів виконання дій - з двійкової системи числення в десяткову. Операції, пов'язані з переведенням чисел в двійкову систему числення і назад, виконуються ЕОМ по спеціальних підпрограмах з використанням допоміжної двійково-десяткової системи числення.

Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d₁ в іншу з основою d₂ необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на основу d₂ нової системи до тих пір, поки не вийде частка, менша за основу d₂. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d₂, а наступні за нею цифри – це залишки від ділення, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Приклад 2.1 Перевести число 25₁₀ у двійкову систему числення:

а)	25	2
	24	12	2
	1	12	6	2
напрям читання		0	6	3	2
			0	2	1
				1

Шукані числа пишуться у вигляді (25)₁₀=(11001)₂

Зробимо перевірку переведення зворотнім переведенням шуканих чисел у десяткову систему числення:

а) (11001)₂=12⁴+12³+02²+01¹+12⁰=16+8+0+0=1=(25)₁₀.

Переведення правильних дробів. Для того, щоб перевести правильний дріб з системи числення d₁ у систему з основою d₂, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини отриманих добутків на основу d₂ нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d₂ формується у вигляді цілих частин отриманих добутків, починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d₂^-q, то після q множень на d₂ записують усі знайдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде подавати дробову частину числа у новій системі числення.

Приклад 2. Десятковий дріб 0,3126 перевести у двійкову систему числення з точністю до 2^-4.

0,3126		0,6252		0,2504		0,5008
x 2		x 2		x 2		x 2
напрям читання 0,6252		1,2504		0,5008		1,0016

Тобто шукане число запишеться у вигляді: (0,3126)₁₀=(0,0101)₂, а найбільша помилка буде 2^-4.

Переведення змішаних чисел. При переведенні змішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини за правилами переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне змішане число нової системи числення.

Приклад 4. Перевести десяткове мішане число 159,75 у двійкову систему числення з точністю 2^-3.

(159)₁₀=(10011111)₂;

(0,75)₁₀=(0,11)₂,

(159,75)₁₀=(10011111,11)₂.

Порядок виконання роботи

1. Повторіть алгоритми переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

2. Ознайомтеся з можливостями калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW для переведення чисел у системи числення, що застосовують в ЕОМ. Для цього необхідно виконати послідовність таких дій:

Пуск/Програми/Стандартні/Калькулятор та обрати у меню «Вид» опцію «Інженерний». Розгляньте позначення, що використовують для двійкової, десяткової, шістнадцяткової та десяткової систем числення.

3. Поясніть походження відповідних позначень.

4. Залежно від варіанту виконайте завдання:

І варіант ІІ варіант

4.1. Перевести двійковий дріб в десятковий

0.1010110011101 0.1100100011101

101110.10101111 100110.10111001

4.2. Перевести десяткові числа у двійкові

359,125 261,0625

4.3. Переведіть числа у десяткову систему числення.

101101,111₂; 1111,0011₂;

5. Виконайте перевірку дій засобами калькулятора стандартного програмного пакету Microsoft Windows. Продемонструйте викладачу результати виконаної роботи.

6. Підготуйте звіт відповідно до встановленого зразка.