Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

1 7

a11

a12

a23

a24

1 8

a11

a13

a22

a24

1 9

a11

a14

a22

a23

a31

a32

a43

a44

a31

a33

a42

a44

a31

a34

a42

a43

a13

a21

a24

a12

a14

a21

a23

a13

a14

a21

a22

1 9

a12

1 10

1 11

a32

a33

a41

a44

a32

a34

a41

a43

a33

a34

a41

a42

3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Мы не будем останавливаться на доказательстве теоремы Лапласа в общем случае, отсылая читателя к учебнику [2], а докажем лишь частный случай этой

теоремы, когда k 1.

Предложение 3.15. Пусть A M n R . Тогда A равен сумме произведений

всевозможных элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения,

aij Aij

(или

a ji Aji ), i

1, n

j 1

где через Aij обозначается алгебраическое дополнение элемента aij .

◄ Принимая во внимание предложение 3.6, доказательство проведем

лишь в случае разложения определителя по произвольной строке. Вначале

рассмотрим частный случай, когда i n, а матрица А имеет вид

...

1,n 1

1,n

a21

a22

... a2,n 1

a2, n

A ...

...

an 1,2

... an 1,n 1

an 1,1

an 1,n

...

n,n

и покажем, что

a11 ...

a1,n 1

ann Ann ann

... ...

...

an 1,1 ...

an 1,n 1

Действительно,

sgn a1 1 ...an 1 n 1 an n sgn a1 1 ...an 1 n 1 ann

ann sgn a1 1 ...an 1 n 1 ,

(3.28)

n -ой степени вида

где Sn – множество всех перестановок

1	n 1	n
	n 1	n	,
1	n 1	n

обладающих свойством n n . Рассмотрим множество всех отображений вида

...

n 1

(3.29)

...

n 1

есть перестановка степени

где Sn . Так как { 1 , 2 , ..., n 1 } 1, n 1,

n 1. Но различные перестановки

из

порождают различные перестановки

n 1 !. Поэтому множество перестановок

вида (3.29),

где

из Sn 1 и

с Sn 1 .

Кроме

того,

по

построению

inv inv

и,

Sn , совпадает

следовательно, sgn sgn . Возвращаясь к равенству (3.28), получим, что

ann

sgn a1 1 ...an 1 n 1

ann Ann .

Sn 1

Пусть теперь все элементы строки Ai

кроме, возможно, aij равны нулю,

A 0 ...

...

0 i .

(3.30)

Последовательными взаимными переменами места соседних строк и соседних

столбцов переведем строку A на место

A , а после этого – столбец A j на место

в силу предложения 3.7

. Определитель полученной после этого матрицы A

будет равен

n i n j

M ij

aij

где M ij – минор, дополнительный к

элементу

aij , а

первые n-1 элементов

последней строки матрицы

По доказанному выше,

A равны 0.

aijMij

i j

Откуда

a 1 i j M

a A .

Переходя к общему случаю, представим строку Ai

в виде суммы n векторов-

строк A k i

, k 1, n, порядка n ,

Ai A k ai1, 0,..., 0 0, ai 2 , 0,..., 0 ... 0,..., 0, ain .

k 1

В силу предложения 3.11

A k

k 1

где матрица

A k получена из матрицы A заменой еѐ строки Ai на строку

A k 0,...,0, aik ,0,...,0 .

По доказанному выше

A k

aik Aik . Поэтому

aik Aik . ►

k 1

Лекция XII.

План

3.10.Определитель произведения матриц.

3.11.Формула обратной матрицы.

3.12.Теорема Крамера.

3.10Определитель произведения матриц

Сейчас мы рассмотрим ещѐ одно общее свойство определителя, важность которого для построения дальнейшей теории заставляет нас уделить ему особое внимание.

Предложение 3.16. Пусть A, B Mn (R) , тогда

								AB			A	B	.									(3.31)
								AB			A	B	.									(3.31)
◄ Из предложения 3.14 следует, что для матрицы A																		найдется такая
		A FA является верхнетреугольной и																	A
матрица F , что матрица		A FA является верхнетреугольной и																	A		A	, а для
матрицы B найдется такая матрица									G ,		что			матрица			B BG				является
верхнетреугольной и	B		B	. Заметим, что при этом матрицы F и G являются
произведениями элементарных матриц, порождаемых трансвекциями.
Поэтому
									/	/				/			/	/		/
							11		22							11	22
F AB G FA BG		A B				0			22	/				/		0	22	/		/
F AB G FA BG		A B			...				...	...				/	... ...			...		/
					...				...	...				/	... ...			...		/

						0			0							0	0	...
						0			0		... nn					0	0	...		nn

	/	/	/
11 11	22 22
0	22 22	/	/
...	...	...	/	.
...	...	...	/

0	0	...
0	0	...	nn nn

На основании свойства 5 элементарных преобразований (см. Лекцию III, 1.10) матрицы F и G при умножении матрицы AB не меняют еѐ определителя. Отсюда, учитывая предложение 3.13, получаем, что

AB F AB G A B 11 11 22 22... nn nn 11 22... nn 11 22... nn

A B A B . ►

3.11Формула обратной матрицы

Вкачестве первого приложения рассмотренного выше свойства определителя мы получим новый критерий обратимости квадратной матрицы и, самое главное, формулу обратной матрицы для квадратной матрицы общего вида. Но вначале докажем одно вспомогательное утверждение.

Предложение 3.17. (Лемма о «трансплантации»).

Пусть A Mn (R) , а

матрица

B получена из матрицы A путем «трансплантации» произвольного

вектора-строки b

, ...,

вместо строки A ,

i 1, n . (Из матрицы

A вырезается строка Ai

, а на еѐ место вставляется строка b .) Тогда

k Aik , i

1, n

(3.32)

k 1

где Aik ,

k 1, n

–

алгебраические

дополнения

элементов строки

Ai i1, i2 , ..., in .

◄ Применим к матрице B предложение 3.15, проводя разложение

по

строке Bi ,

...

... ... ...

i 1,1

i 1,2

... i 1,n

...

k Bik

k Aik ,

i 1,1

i 1,2

... i 1,n

k 1

...

... ... ...

...

так как Bik Aik , k 1, n . Здесь мы пользуемся тем свойством, что алгебраические

дополнения элементов какой-либо строки матрицы не зависят от самих элементов этой строки. ►

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать и доказать аналог

леммы о «трансплантации» для случая столбцов.

Предложение 3.18. Пусть A ij M n (R), тогда

если i j,

ik Ajk

если i

(3.33)

k 1

если i j,

ki Akj

если i

(3.34)

k 1

◄ Докажем, например,

формулу

(3.33).

Случай i j рассмотрен в

предложении 3.15. Пусть i j . Тогда по лемме о «трансплантации» (см. (3.32))

	A1
	A1
	...
n	Ai
n
ki Ajk	...	0,
k 1	Ai
	Ai
	...
	An

так как определитель имеет две одинаковые строки Ai на i-ом и на j-ом местах. Формула (3.34) доказывается аналогичным образом. ►

Определение. Матрицу A Mn (R) будем называть вырожденной, если A 0 . В противном случае матрица A называется невырожденной.

Предложение 3.19 (Критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица A Mn (R) была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она

была невырожденной.

Если матрица A невырожденная, тогда

		A 1		1 ~
					A ,	(3.35)
				A


где матрица
		A	A	... A
		11	21		n1
~		A12	A22	... An2		(3.36)
A	... ...			... ...		(3.36)
	... ...			... ...

		A1n	A2n
		A1n	A2n	... Ann

представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы A .

◄ Необходимость. Пусть

A GMn (R) . Тогда существует такая матрица

B Mn (R) , что

AB E .

силу предложения 3.16

Следовательно

0 .

1 ~

Достаточность. Пусть

0 . Тогда существует матрица B

A . Для

того, чтобы доказать, что B A 1 , нужно проверить два равенства

AB E и BA E .

Проверим, например, первое равенство. Используя свойство 5) операции умножения матриц (см. Лекция I, 1.7) и формулу (3.33), получаем, что

										11		12	...
										11		12
	1			1		~		1		21		22	...
	1		~	1		~		1		21		22
AB A			A				AA
		A			A			A

									... ... ...
											n2 ...
									n1		n2 ...

1n2n

...

A11A12

...

A1n

A	...	A
21		n1
A22	...	An2
...	...	...
...	...	...

A2n	...
A2n	...	Ann

		A	0	...	0
		A	0	...	0


1 0			A	...	0		E .
			...	...
A


	...					...
			0	...		A

	0

Равенство BA E предлагаем читателю проверить самостоятельно. ►

Пример 9. Пусть
	M		(R) и	A	0.
A	M		(R) и	A	0.
		2

Тогда по формулам (3.35), (3.36)

A 1	1
		.	(3.37)
		.	(3.37)

Эту формулу удобно применять на практике. Однако, для матриц более высокого порядка ( n 2 ) формулы (3.35), (3.36) с вычислительной точки зрения мало пригодны ввиду их громоздкости. И поэтому в этом случае следует использовать описанный в предыдущей главе алгоритм отыскания обратной матрицы методом Гаусса.

3.12 Теорема Крамера

В лекции VIII, 3.1 были приведены формулы Крамера для СЛАУ порядка два (см. (3.5)). Теперь же в качестве приложения формул (3.35), (3.36) получим формулы Крамера в общем случае. На самом деле, мы получим более общий

результат, касающийся неоднородной СЛАУ с квадратной матрицей.

Предложение 3.20. Пусть A

(R) , b

Rn . Для того, чтобы

система уравнений

11 1

12 2

... 1n n

21 1

22 2

... 2n n

(3.38)

... ...

... ..

n1 1

n2 2

... nn n

была определенной, необходимо и достаточно, чтобы

0 .

Если последнее условие выполнено решение

x 1, 2 , ..., n T

системы

(3.38) имеет вид

A j

j 1, n ,

(3.39)

где матрица

A j

получается из матрицы

A заменой столбца A j на столбец

свободных

членов

системы (иными

словами

A j получается

из A

«трансплантацией» столбца b вместо столбца A j

◄Необходимость. Пусть система (3.38) определенная. Покажем, что

0 . Допустим противное, что

0. В силу

предложения 1.5 A BDrC , где

B, C GMn (R) .

Из предложения 3.16 следует,

что

0 , то есть

0 , так как

0 ,

0 в силу предложения 3.19. Следовательно, r n .

Так как СЛАУ (3.38) равносильна матричному уравнению

Ax b ,

(3.40)

то последнее имеет единственное решение. Но уравнение (3.40) равносильно системе уравнений

		1
Dr y d,	d B	b,	(3.41)
y Cx.

Поэтому уравнение Dr y d имеет единственное решение, что невозможно, так как применение к соответствующей СЛАУ метода Гаусса,

	1			d
	1			d
				1
		1		d2



D	d	1		d
D	d	1		d
r					r
r					r
			0	dr 1

			0	dn
			0	dn

показывает (см. Лекцию VII), что система (3.41), а с ней и уравнение (3.40) либо не имеют решений, либо имеют более одного решения.

Достаточность. Пусть		A	0 .	Тогда матрица A	обратима и в	силу

предложения 1.8 уравнения	(3.40)			при любой правой	части b Rn	имеет

единственное решение x A 1b . По формулам (3.35), (3.36) с использованием леммы о «трансплантации» (предложение 3.17) получаем, что


			1
	x		2
	x



			n
			n

A11

A21

... An1

k Ak1

A 1

k 1

A 2

1 A12

A22

... An2

k Ak 2

...

... ...

k 1

...

A2n

A n

A1n

... Ann

k Akn

k 1

Откуда и следуют формулы Крамера (3.39). ► Сделаем заключительные замечания по рассматриваемой теме.

Замечание 1. Приложение определителей во всех областях математики столь велико, что невозможно дать сколько-нибудь полного обзора на эту тему. Поэтому ограничимся характерными примерами из алгебры, геометрии и анализа.

Пример 10. Определитель Вандермонда ([3], гл.3, §2)

		1	1	2	n 1
			1	1	1
		1		2	n 1
W 1, 2 ,	, n 1	1	2	2	n 1	i	j , i, j 1, n (3.42)
			2	2	2

						i j
		1	n	2	n 1
			n	n	n

встречается во многих разделах алгебры, анализа и др., а формула (3.42) дает простой способ его вычисления. Например,

1	1	1	1
1	2	4	8	2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3 12.
1	3	9	27
1	4	16	64

Пример 11. Определитель Грама ([4], гл.4, §2)

				a1, a1	a1, a2	a1, an
				a1, a1	a1, a2	a1, an
	Г a , a , , a	n		a2 , a1	a2 , a2	a2 , an	,
	1 2	n
				an , a1	an , a2	an , an
где a , a ,	, a Rn , совпадает с квадратом объема n мерного параллелепипеда,
1 2	n
натянутого на векторы a1,a2 ,			, an.

Элементами определителя могут быть не только числа, но и многочлены, функции, матрицы и т.д.

Пример 12. Определитель

A E

является многочленом

от

степени

n и

называется характеристическим

многочленом матрицы

Mn R .

Характеристический многочлен играет

важную роль в спектральной теории матриц и будет детально изучаться в третьей части данного курса ([4], гл.2, §3, [7], гл.4, 4.1).

Пример 13. Функциональный определитель Якоби системы n дифференцируемых функций от n переменных

	y f					x , x ,		, x	,
		1	1			1	2	n
	y2 f2					x1, x2 ,		, xn	,
									(3.43)
						x , x ,			,
	y	n	f		n			, x
						1	2	n
имеет вид
	y1			y1				y1

	x1			x2				xn
	y2			y2				y2
	x1			x2				xn	,
	yn			yn				yn
	x1			x2				xn

называется якобианом системы (3.43) и имеет большое значение в анализе функций многих переменных ([3], Приложение 1).

Замечание 2. Значение теории определителей для математики столь существенно, что созданы различные варианты построения этой теории, отличные от того варианта, которым мы воспользовались выше. Здесь мы остановимся еще на одном определении «по индукции», заметив, что более подробный обзор на эту тему содержится в учебнике [3], гл. 3, §4.

Будем считать, что определитель матрицы A 11 M1 R равен числу11 . Определители матриц второго и третьего порядков вводим соответственно

по формулам (3.4) и (3.20).

Пусть определители порядков 1,2, , n 1 уже

определены. Назовем определителем матрицы A Mn R величину

1 n 1

1 n 2

1 2n

порядка n 1

где Mni , i 1,n

миноры

матрицы

получающиеся

вычеркиванием в A

строки

и столбца

Ai .

Легко убедиться, что выражения

при n 2,3 совпадают с формулами (3.4), (3.20).

Новое определение определителя равносильно его определению, данному в пункте 3.6, и порождает эквивалентную теорию определителей, описанную выше.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.04.2019158.72 Кб19044408269.doc
#
13.02.20152.55 Mб109_КСЕ_Механическая КМ.pdf
#
12.03.2016230.91 Кб106A guide to better Eng accent Вертоградова.doc
#
23.11.2018256 Кб1A17.doc
#
11.11.2019100.86 Кб3Alchian, Demsetz.doc
#
13.02.20151.56 Mб4Algebra.pdf
#
27.04.2019550.91 Кб3Algoritmy.doc
#
25.09.201952.56 Кб2AllCandC++Lectures.docx
#
21.09.201926.32 Кб2amerika полная версия.docx
#
13.02.201597.51 Кб6analiz_tab.docx
#
13.02.2015457.71 Кб40andreeva_i_v_social_psi_konspekt_lekciy.pdf