Algebra

соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26)

эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы A и B обратимы, теория этих

~

уравнений проста. Прежде чем изложить еѐ отметим, что числовая матрица X

является решением уравнения (1.24), если при подстановке еѐ в это уравнение вместо матрицы X мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

Предложение 1.8. Пусть матрицы A и B обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях F , G , H соответственно, а

их единственные решения определяются по формулам

доказательство проведѐм лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

Пусть A GMm (R) , B GMn (R) , тогда по необходимости матрицы X и F

имеют размер (m n) . Так как A 1 M m (R) , B 1 M n (R) , то для любой матрицы F из M m n (R) существует матрица X вида (1.24' ). Подставляя еѐ в уравнение

(1.24), получаем

A (A 1FB 1 )B (AA 1 )F(B 1B) E(m)FE(n) F ,

Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы

31

предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

ˆ

т.е. X – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведѐнные выше рассуждения, приходим к противоречию. ►

32

называется расширенной матрицей СЛАУ (2.1).

Арифметический вектор

называется решением СЛАУ (2.1), если при подстановке чисел 1, 2 , , n в уравнения (2.1) соответственно вместо 1, 2 , , n мы получаем систему

верных числовых равенств.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотябы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если СЛАУ имеет

34

только одно решение, она называется определѐнной, а если число решений больше 1 – неопределѐнной.

Врезультате мы получаем следующую классификацию СЛАУ. Пусть M

–множество решений СЛАУ, а M – мощность (число элементов) множества

M . Тогда

называется однородной, в противном случае СЛАУ называется неоднородной. Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение

Множество всех решений СЛАУ будем называть еѐ общим решением, а одно фиксированное решение – частным решением. СЛАУ вида (2.1) иногда

столбец вида (2.4). Для того чтобы убедиться, что уравнения (2.6) и СЛАУ (2.1) равносильны (т.е. одновременно неразрешимы или разрешимы, причѐм в последнем случае их решения совпадают), достаточно в левой части равенства (2.6) провести умножение матрицы A на вектор-столбец x . Применив после этого принцип равенства матриц, получаем, что матричное равенство (2.6) эквивалентно системе равенств (2.1).

2.2 Метод Гаусса решения СЛАУ

Метод последовательного исключения неизвестных часто применяется при решении всевозможных систем уравнений, в частности, тех, которые встречаются в школьном курсе математики. Если выразить, например, 1 из

35

первого уравнения системы (2.1) и подставить это выражение в остальные уравнения, потом выразить 2 из второго “нового” уравнения, подставив это

выражение в остальные “новые” уравнения и т.д., то через конечное число шагов мы получим уравнение, содержащее только n . Найдя решение этого

уравнения, путѐм обратной подстановки его в предыдущие “новые” уравнения можно найти значения всех неизвестных n 1, n 2 , , 2 , 1 . Такова идеальная

схема которая молчаливо опирается на целый ряд допущений (например, на то, что m n , иначе для отыскания n не хватит уравнений).

Метод Гаусса в современном изложении представляет собой, во-первых, такую модификацию метода исключения неизвестных, которая позволяет исследовать любые системы вида (2.1). А, во-вторых, алгоритм Гаусса, используя аппарат алгебры матриц, даѐт такую формализацию метода исключений, которая позволяет существенно сократить объѐм выкладок, резко возрастающий вместе с ростом числа уравнений m и числа неизвестных n .

Прежде чем приступить к изложению метода Гаусса в общем случае, продемонстрируем его на простом примере.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

Разделив обе части второго уравнения на (-17), приходим к системе

Наконец, вычитая из первого уравнения 3 вторых, получаем систему уравнений

которая определяет единственное решение исходной системы

1 x .

1

36

Теперь повторим проделанные преобразования на расширенной матрице исходной СЛАУ, заменяя каждое преобразование соответствующим строчным элементарным преобразованием:

Заметим, что итогом проведѐнных преобразований явилось поученное из основной матрицы системы матрицы приведѐнного вида, которая в данном случае совпала с единичной матрицей E(2) . Кроме того, в данном случае правые части последней системы уравнений образуют единственное решение исходной системы.

Перейдѐм к изложению метода Гаусса в общем случае.

Элементарными преобразованиями СЛАУ называются: перемена местами двух еѐ уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения СЛАУ на число, отличное от нуля, добавление к левой и правой частям какого-либо уравнения соответственно левой и правой частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Метод Гаусса решения СЛАУ состоит в последовательном выделении в каждом уравнении неизвестного, которое после этого элементарными преобразованиями СЛАУ исключается из всех еѐ остальных уравнений.

Поскольку каждой СЛАУ вида (2.1) можно поставить в соответствие еѐ расширенную матрицу (2.5) и это соответствие взаимооднозначно, т.е. каждая матрица вида (2.5) является расширенной матрицей некоторой СЛАУ, вместо элементарных преобразований СЛАУ удобно проводить строчные элементарные преобразования еѐ расширенной матрицы. Нетрудно заметить, что после выделения в одном уравнении некоторого неизвестного (это неизвестное называется ведущим в данном уравнении) и последующего его исключения из остальных уравнений СЛАУ, соответствующая строка еѐ основной матрицы будет иметь приведѐнный вид. Поэтому будем говорить, что и уравнение, отвечающее этой строке матрицы, имеет приведѐнный вид. Если же каждое уравнение СЛАУ, содержащее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет приведѐнный вид, будем говорить, что СЛАУ имеет

приведѐнный вид.

Ясно, что в этом случае основная матрица СЛАУ тоже имеет приведѐнный вид.

Алгоритм метода Гаусса распадается на 3 этапа:

1)построение СЛАУ приведѐнного вида, равносильной исходной СЛАУ;

2)анализ СЛАУ приведѐнного вида;

3)описание общего решения.

Следующее предложение является обоснованием применимости метода Гаусса к любой СЛАУ.

37

Предложение 2.1. Для любой СЛАУ вида (2.1) существует равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида.

◄ В силу предложения 1.3 найдѐтся конечное число строчных элементарных преобразований, применяя которые к матрице A , мы получим матрицу P приведѐнного вида. По свойству 5) элементарных преобразований

выше элементарным преобразованиям. Применив те же самые элементарные преобразования к расширенной матрице A b системы уравнений (2.1),

получаем матрицу системы уравнений приведѐнного вида

C A b CA Cb P Cb .

Переходя к соответствующим матричным уравнениям Ax b и CAx Cb , замечаем, что в силу предложения 1.9 они равносильны. Следовательно, равносильны и отвечающие им системы уравнений. ►

Лекция VII.

План

2.3Анализ СЛАУ приведѐнного вида и описание общего решения

2.4Однородные СЛАУ

2.5Решение матричных уравнений методом Гаусса

2.6Отыскание обратной матрицы методом Гаусса

2.3Анализ СЛАУ приведённого вида

Исследование СЛАУ приведѐнного вида распадается на три случая. 1)Система уравнений приведѐнного вида содержит “плохое” уравнение,

т.е. уравнение вида

где c 0 . Так как это уравнение не имеет решений, система уравнений приведѐнного вида, а с ней и исходная система уравнений несовместны.

Пример 2. Решить СЛАУ методом Гаусса и найти еѐ общее решение

2 1 2 3 3 4 5 2 1 2 2 3 3 4 1 . 4 1 3 2 4 3 2 4 2

◄ Переходя к матричной записи системы и применяя подходящие строчные элементарные преобразования, получаем систему приведѐнного вида, равносильную исходной системе уравнений:

38

Мы остановили процесс получения системы приведѐнного вида, так как последняя система (а с ней и исходная система) уравнений несовместна. ►

2) Система уравнений приведѐнного вида не содержит “плохих” уравнений. Все неизвестные в системе уравнений приведѐнного вида делим на две группы: неизвестные, являющиеся ведущими в своих уравнениях, называем связанными, а остальные неизвестные – свободными. (Случай отсутствия свободных неизвестных рассмотрим отдельно). Объявляя свободные неизвестные параметрами c1, c2 , и т.д., принимающими

произвольные действительные значения, выражаем связанные неизвестные через свободные. Полученные в результате этого формулы определяют общее решение СЛАУ. Если свободным неизвестным придать конкретные значения, а после этого вычислить по найденным формулам значения связанных неизвестных, мы получаем некоторое частное решение рассматриваемой системы уравнений.

Таким образом, в данном случае система уравнений приведѐнного вида, а с нею и исходная система уравнений совместны, неопределенны и имеют бесчисленное множество решений.

Пример 3. Следующую систему уравнений решить методом Гаусса, найти еѐ общее и одно частное решения

Полученная система уравнений имеет приведѐнный вид и не имеет “плохих”

39

Замечание. В случае неопределѐнных СЛАУ выбор свободных и связанных неизвестных осуществляется неоднозначно и зависит от элементарных преобразований, применѐнных в алгоритме Гаусса. В связи с этим и общее решение таких систем уравнений может иметь различную форму.

3) Система уравнений приведѐнного вида не содержит “плохих” уравнений и свободных неизвестных. Поскольку в этом случае все неизвестные связанные, расширенная матрица приведѐнной СЛАУ, возможно, после перемены местами некоторых уравнений принимает вид

Ясно, что данная система уравнений является определѐнной, а е единственное решение имеет вид

40