Algebra

Пример 4. Следующую систему уравнений решить методом Гаусса

Полученная приведѐнная система уравнений является определѐнной, а еѐ единственное решение имеет вид

1

x 1 . ►1

Итоги изучения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса сформулируем в виде ряда предложений.

Предложение 2.2. (Критерий совместности СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида не содержала уравнений вида (2.7).

Предложение 2.3. (Критерий определѐнности СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была определѐнной, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида не содержала уравнений вида (2.7) и свободных неизвестных.

41

Предложение 2.4. (Критерий неопределѐнности СЛАУ). Для того, чтобы СЛАУ была неопределѐнной, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида не содержала уравнений вида (2.7) и имела свободные неизвестные.

Если последние два условия выполнены, СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящее от произвольных постоянных c1, c2 , , ck ,

количество которых совпадает с числом свободных неизвестных.

Как уже отмечалось выше, однородная СЛАУ всегда совместна, так как имеет нулевое решение

0

x0 .

0

Поэтому исследование такой СЛАУ сводится к выяснению существования у неѐ нулевого решения. Если нулевого решения не существует, однородная СЛАУ является определѐнной и подчиняется предложению 2.3. Если же ненулевое решение существует, то однородная СЛАУ является неопределѐнной и подчиняется предложению 2.4.

Следующие утверждения вытекают непосредственно из предложений

2.3 и 2.4.

Предложение 2.5. (Критерий определѐнности однородной СЛАУ). Для того, чтобы однородная СЛАУ была определѐнной, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида не содержала свободных неизвестных.

Предложение 2.6 .(Критерий существования у однородной СЛАУ ненулевого решения). Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведѐнного вида имела свободные неизвестные.

Если последнее условие выполнено, СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящее от произвольных постоянных c1, c2 , , ck ,

количество которых совпадает с числом свободных неизвестных.

42

уравнение (2.8) разрешимо для любой F M m n (R) , а B – его единственное

решение.

2) Если P E , тогда для разрешимости уравнений (2.8) необходимо и достаточно, чтобы у матрицы P не было нулевых строк, либо при наличии нулевой строки, например, Pi 0 выполнялось условие Bi 0 (для каждой

такой строки).

3) Если P E и уравнение (2.8) разрешимо, то для того, чтобы его решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы у приведѐнной СЛАУ с матрицей P не было свободных неизвестных. Если последнее условие нарушено, то уравнение (2.8) имеет бесчисленное множество решений, а его общее решение определяется способом, описанным в пункте

2.4.

Пример 5. Решить матричное уравнение (2.8), если

◄ Применяя метод Гаусса к расширенной матрице A F , получаем, что

Откуда следует, что матрица P E, P3 O и B3 O , то есть уравнение (2.8)

разрешимо. Так как у приведѐнной СЛАУ нет свободных переменных, то его решение X M 2 3 (R) единственно и имеет вид

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что уравнение (2.8) с той же самой матрицей A , но с другой правой частью

44

неразрешимо.

Пример 6. Решить матричное уравнение (2.8), если

приведѐнной СЛАУ есть одна свободная неизвестная 3 . Таким образом,

Наконец, заметим, что матричное уравнение вида

XA F

45

применением к нему операции транспонирования сводится к уравнению вида

(2.8)

AT X T F T .

Оба эти уравнения разрешимы или неразрешимы одновременно, а их решения взаимнотранспонированны. ►

2.6 Отыскание обратной матрицы методом Гаусса

Для отыскания обратной матрицы A 1 методом Гаусса достаточно в уравнение (2.8) положить F E . Если матрица A обратима, тогда уравнение

AX E

имеет единственное решение

XA 1 E A 1 .

Вэтом случае матрица A л-эквивалентна матрице E . Если же матрица A необратима, тогда в силу предложения 1.6. л-эквивалентная ей матрица Dr

будет иметь нулевую строку.

В результате, алгоритм выяснения обратимости матрицы A и отыскания матрицы A 1 методом Гаусса принимает следующий вид.

Составляем матрицу A E и строчными элементарными преобразованиями приводим еѐ к виду E B .

1)Если указанные преобразования осуществить удаѐтся, матрица A обратима и A 1 B .

2)Если указанные преобразования осуществить не удаѐтся (в процессе преобразований появляется нулевая строка), матрица A необратима.

Пример 7. Выяснить, является ли матрица A обратимой, и в случае еѐ

обратимости найти матрицу A 1 ,

◄ Применяя только что изложенный алгоритм, получаем

46

47

Гл. 3. Определители

Мы приступаем к изучению одного из самых трудных понятий, связанных с матрицами, понятия определителя. Каждой квадратной действительной матрице можно поставить в соответствие действительное число, которое по специальной формуле выражается через элементы этой матрицы и называется еѐ определителем. Определители появляются в процессе построения формул для решения определѐнных СЛАУ с квадратными матрицами и имеют большое значение для линейной алгебры. В связи с этим отметим только, что в терминах определителей в первой части курса будет получена формула обратной матрицы, а позже – изучены наиболее глубокие, так называемые спектральные свойства, квадратных матриц. Вместе с тем, определители давно уже стали общематематическим, а более точно общенаучным инструментом, так как без них немыслимы многие разделы не только математики, но и физики, экономики и др. В частности, позже мы увидим, как с помощью определителей, получаются формулы для площадей фигур и объѐмов тел.

Содержание ближайших лекций распадается на 3 части. Вначале необходимо провести некоторую подготовку для того, чтобы дать определение определителя произвольного порядка. Для этого мы изучим простейшие свойства отображений множеств и так называемых перестановок n -той степени. Поскольку формула определителя n -ого порядка достаточно сложна и вычисления по этой формуле слишком громоздки, а поэтому нецелесообразны в общем случае, основную часть времени мы потратим на изучение свойств определителя и построение эффективного алгоритма их вычисления. В последнем случае вновь большую роль будут играть приѐмы, связанные с методом Гаусса, что ещѐ раз подчеркивает глубокую связь между теорией определителей и теорией СЛАУ. Наконец, после этого будут рассмотрены первые приложения определителей в алгебре матриц и теории СЛАУ, в частности, будет получена формула обратной матрицы.

Лекция VIII.

План

3.1 Появление определителей в теории СЛАУ.

3.2* Отображения.

3.3Перестановки n -той степени.

3.4Четные и нечетные перестановки.

3.5Суммирование по множеству.

3.1Появление определителей в теории СЛАУ

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

48

и применим к ней метод исключения неизвестных в общем виде, налагая при необходимости соответствующие ограничения на еѐ коэффициенты.

Умножим первое уравнение на 22 и вычтем из него второе уравнение, умноженное на 1 2 . Получим, что

11 22 12 21 1 1 22 12 2 .

Полагая 11 22 12 21 0 , имеем

Теперь умножим второе уравнение на 1 1 и вычтем из него первое уравнение, умноженное на 2 1. Получим, что

11 22 12 21 2 11 2 1 21,

то есть

и обозначается специальным символом

Определитель вида (3.4) называют также определителем второго порядка. Заметим, что выражения, стоящие в числителях формул (3.2) и (3.3), также являются определителями второго порядка,

49

Это позволяет переписать формулы (3.2) и (3.3) в виде

Формулы (3.5) называются формулами Крамера. Напомним, что они получены нами в предложении, что 0.

Вместо системы (3.1) можно рассмотреть систему третьего порядка и, проводя исключение двух неизвестных в каждом из трѐх уравнений, получить формулы Крамера и для этого случая. В этих формулах уже будут участвовать определители третьего порядка (см. [3], Гл.I, §4). Позже, построив теорию определителей произвольного порядка, мы выведем формулы Крамера для системы n уравнений с n неизвестными.

3.2 Отображения

Пусть A и B – непустые множества. Под отображением множества A в множество B будем понимать закон (или правило), который каждому элементу x множества A ставит в соответствие некоторый элемент y множества B . Закон соответствия обычно будем обозначать строчными греческими буквами , , и

т.д. Множество A называется областью определения, а множество B – областью действия данного отображения. Тот факт, что отображение с законом соответствия действует из множества A во множество B будем обозначать

: A B или A B . Часто, допуская вольность речи, будем употреблять выражение «отображение » вместо «отображение A B ». В таких случаях либо из контекста ясно, каковы области определения и действия данного отображения, либо безразлично, каковы эти множества. Если при отображении элементу x из A отвечает элемент y из B , то это записывается следующим образом, y x или x x , x y . При этом элемент y называется образом элемента x при отображении , а элемент x называется прообразом элемента y при отображении . Подчеркнем, что отображение это тройка: область определения, область действия и закон соответствия. Изменения одной из компонент тройки влечѐт изменение отображения, точнее, два отображения исчитаются равными (записывается ) тогда и только тогда, когда совпадают их области определения, области действия и законы соответствия, т.е. для любого x из области определения x x . Отображение числового множества A в числовое множество B называется также функцией, определѐнной на A со значениями в B , и в этом случае x называется независимой переменной, а y – зависимой переменной. В других случаях употребляются термины «преобразование множества A в множество B » или «оператор, действующий из множества A в множество B ». Все эти термины

50