Algebra

имеют одинаковое содержание, а их употребление в конкретных случаях диктуется стремлением подчеркнуть те или иные интуитивные обстоятельства.

Приведем некоторые употребительные частные случаи отображений. Пример 1. Отображение J : A A , которое действует по правилу

J (x) x, x A, называется тождественным отображением.

Пример 2. Отображение : A B , которое каждому элементу x из A ставит в соответствие один и тот же элемент b из B , (x) b, x A , называется постоянным отображением.

Через ( A) обозначается совокупность всех образов элементов множества

Aпри отображении : A B . Ясно, что ( A) B . Если ( A) B , отображение

: A B называется сюръективным (или сюръекцией).

Отображение : A B называется инъективным (или инъекцией), если для любых элементов x1 и x2 из A x1 x2 .

Если отображение : A B одновременно сюръективно и инъективно, оно называется биективным (или биекцией). Биективные отображения называются

означает, что для любого b из B это уравнение имеет хотя бы одно решение. Инъективность отображения означает, что это уравнение при любом b из B не может иметь более одного решения, т.е. для некоторых b решений может не существовать, но если b таково, что решение уравнения существует, то оно единственно. Биективность отображения : A B означает, что уравнениеx b разрешимо при любых b из B и имеет единственное решение x , x A.

Впоследнем случае существует биективное отображение : B A,

действующее по правилу y x , где x – прообраз элемента y ( x A, y B ) при отображении . Отображение называется обратным к отображению и

определено отображение : A C , действующее по правилу: x x . Это

51

существуют, они в общем случае не равны, т.е. композиция отображений некоммутативна.

Достаточное количество соответствующих примеров доставляют элементарные функции школьного курса математики ( sin x, cosx, xn , a x и т.д.), которые можно рассматривать как отображения на R . В этом случае композиция отображений является сложной функцией. Например, sin x2 sin x 2 , x R .

Вто же время композиция отображений обладает свойством

т.е. отображения, стоящие в обеих частях этого равенства, одновременно определены на множестве A , действуют в одно и то же множество D и при этом

для всех x из A

x x .

В самом деле, для любых x из A

x x x ,x x x ,

и поэтому (3.6) выполняется в силу условия равенства двух отображений. Наконец, отметим, что если : A B – биекция, то композиции 1 и

1 всегда определены и представляют собой тождественные отображения соответственно J : B B , и J : A A , так как

дальнейшем природа элементов этого множества для нас значения не имеет,

52

с указанием всех образов ik k , k 1, n , представляющих собой переставленные символы 1, 2, ..., n , откуда и идѐт название перестановка. В связи с этим перестановку обычно изображают таблицей

где ik k , k 1, n . В верхнем ряду таблицы (3.7) числа 1, 2, ..., n не обязательно

должны стоять в порядке возрастания слева - направо. Важно, чтобы под символами верхнего ряда стояли их образы при отображении .

где i1, i2 , ..., in – произвольным образом переставленные символы 1, 2, ..., n , а запись перестановки в виде (3.7) будем называть канонической.

Операция умножения перестановок n -ой степени вводится как композиция отображений,

def

i i i , i 1, n .

Например, если

то

53

произведение перестановок n -ой степени является перестановкой n -ой степени. Действительно, композиция обратимых отображений и является

обратимым отображением и 1 1 1 , т.к.

1 1 J , 1 1 J 1 1

1 1 J 1 1 J

ианалогично 1 J .

Но тогда по критерию обратимости отображения (см.п.3.2) –биективное

и называется единичной перестановкой. Очевидно, что e e для всех

из Sn , т.е. e играет роль единицы для операции умножения перестановок. Учитывая, что Sn 1 Sn , причем

1 1 e ,

получаем, что множество Sn перестановок n -ой степени по операции умножения перестановок образует группу.

Покажем, что Sn n!, т.е. число различных перестановок n -ой степени равно n!. При построении перестановки вида (3.7) элемент вида i1 можно выбрать n способами, тогда для выбора элемента i2 остаѐтся n 1 возможность, а пара { i1 ,i2 } может быть выбрана n(n 1) способами. Для выбора элемента i3 остаѐтся n 2 возможности, а тройка { i1 ,i2 ,i3 } может быть выбрана n(n 1)(n 2) способами. Продолжая этот процесс, получаем, что набор { i1,i2 ,i3 ,...,in 1 } из n 1

различных элементов множества 1, n может быть выбран

n (n 1) (n 2) ...3 2 n! способами. После этого последний элемент in выбирается автоматически как единственный оставшийся элемент множества 1, n . Таким образом Sn n!.

54

3.4 Четные и нечетные перестановки

Перестановка n -ой степени называется циклической, если еѐ можно представит в виде

является циклом длины 4. Заметим, что при использовании этого обозначения необходимо указывать степень перестановки, поскольку циклические перестановки разной степени, но с одинаковым набором вовлеченных в цикл элементов, обозначаются одинаково. Например,

55

берем любой элемент, не вошедший в однострочную запись цикла 1 и удовлетворяющий условию i2 i2 , и аналогично циклу 1 строим цикл 2 ,

2 i2 , i2 , 2 i2 , ..., m2 1 i2 .

Ввиду того, что есть биективное отображение, циклы 1 и 2 независимы. Продолжая этот процесс, после конечного числа шагов мы получим r независимых циклов 1, 2 , ..., r , обладающих тем свойством, что каждый элемент 1 i n , удовлетворяющий условию i i , попадает в запись одного и только одного цикла. Непосредственной проверкой с применением принципа

Разложить в произведение независимых циклов.

◄ Применяя алгоритм, описанный при доказательстве предложения 3.1, получаем,

где все циклы, стоящие в правой части, являются перестановками десятой степени, т.е.

и аналогично для циклов 2, 7 и 6, 9, 8, 10 . ►

Цикл i1 , i2 длины 2 называется транспозицией. Транспозиция i1 , i2 называется простой, если i1 i2 1.

Предложение 3.2. Любую перестановку степени n , n 1, можно представить как в виде произведения конечного числа транспозиций, так и в виде произведения конечного числа простых транспозиций.

◄ Для доказательства справедливости первой части утверждения достаточно проверить, что любой цикл можно представить в виде произведения конечного числа транспозиций, а после этого воспользоваться предложением 3.1. В самом деле, пусть i1, ..., ik цикл длины k , k 2 . Непосредственной

проверкой, применяя принцип равенства отображений, можно убедиться в том, что

56

Тогда в силу предложения 3.1 любую перестановку , отличную от e , можно представить в виде произведения конечного числа транспозиций. Если же e , тогда t 2 , где t – произвольная транспозиция, так как

доказательства справедливости второй части утверждения остается воспользоваться его первой частью. ►

Пример 5. Перестановку вида (3.11) разложить в произведение транспозиций.

◄ Обратимся к разложению (3.12) перестановки в произведение циклов. Так как второй цикл 2, 7 – транспозиция, в произведение транспозиций

формулами (3.13), получаем, что

1, 5, 3 1, 3 1, 5 , 6, 9, 8, 10 6, 10 6, 8 6, 9 .

Поэтому искомое разложение перестановки имеет вид

1, 3 1, 5 2, 7 6, 10 6, 8 6, 9 . ►

Пример 6. Следующую перестановку разложить в произведение простых транспозиций.

◄Разлагая в произведение циклов, получаем, что

1, 6 2, 5 3, 4 ,

где все циклы являются транспозициями, причем 3, 4 – простая транспозиция. По формуле (3.14)

1, 6 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 4, 5 3, 4 2, 3 1, 2 ,

2, 5 2, 3 3, 4 4, 5 3, 4 2, 3 ,

Откуда

1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 4, 5 3, 4 2, 3 1, 22, 3 3, 4 4, 5 3, 4 2, 3 3, 4 . ►

57

Перестановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетной, если она разлагается в произведение нечетного числа транспозиций. На данном этапе введенное определение не является корректным, так как не обсуждена возможность (а точнее невозможность) одновременного разложения произвольной перестановки в произведения как четного, так и нечетного числа транспозиций. На самом деле четность числа транспозиций, на произведение которых разлагается данная перестановка, не зависит от способа еѐ разложения в это произведение. Для того, чтобы доказать этот факт, нужно ввести и изучить еще одно понятие, связанное с перестановками, понятие инверсии.

если i j , а i j . В противном случае будем говорить, что пара { i , j } инверсии не образует.

имеющихся в перестановке . Очевидное правило подсчета этого числа состоит

транспозицию i, i 1 , i 1, n 1, меняет число inv на 1. Действительно,

58

отображении все четные перестановки переходят в нечетные, а все нечетные – в четные. Поэтому числа всех четных и всех нечетных перестановок n -ой степени должны быть одинаковы и равны 12 n! . ►

Другие свойства перестановок читатель найдет в [3], гл.1, §8.

3.5 Суммирование по множеству

Пусть M – непустое конечное множество элементов произвольной природы, M n , и задано произвольное отображение из M в R , т.е. каждому элементу x из M поставлено в соответствие некоторое действительное число ax ,

x ax , x M , ax R .

Часто возникает необходимость в оперировании с суммой или произведением всех образов ax , когда x пробегает множество M .

На практике такая ситуация встречается постоянно. Простейшей моделью является множество M предметов, загружаемых в контейнер. В этом случае в качестве отображения из M в R может быть рассмотрен перечень загружаемых предметов с указанием веса каждого из них, а суммой всех образов этого отображения является вес этого груза. Другим примером является зарплата коллектива работников цеха, отдела или предприятия (в качестве множества M ). Отображением из M в R в этом случае является платежная ведомость, по которой каждый работник получает деньги в кассе.

Основной способ введения обозначений для указанных выше суммы и произведения (он уже применялся выше при введении обозначений для перестановок n -ой степени) состоит в том, что мы, игнорируя природу элементов множества M , проводим их произвольную перенумерацию от 1 до n ,

вследствие чего множество M может быть заменено множеством 1, n {1, ..., n}, а элемент ak этого множества – его номером k . Тогда по определению

Переменный индекс k , по которому идет суммирование и перемножение в левых частях равенства (3.15), называется иногда немым. Первое правило замены переменного в сумме и произведении состоит в том, что немой индекс k может быть заменен на любой другой переменный индекс, например на индекс i ,

В связи с тем, что операции сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, порядок расположения элементов ak в правых частях равенства (3.15) безразличен и при

его произвольном изменении значения всей суммы и всего произведения не

60