Algebra

Элементарные преобразования ci и ci порождают одну и ту же элементарную матрицу

ij

4)элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

5) Пусть A M m n (R) . Проведение в матрице A одного строчного

(столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка m (порядка n ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

21

◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы A вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице A элементарных преобразований соответственно ci и ci c j , а умножение на

матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно ci и ci c j . ►

Лекция IV.

План

1.11 Эквивалентные матрицы

1.12* Отношение эквивалентности

1.11 Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть A, B M m n (R) . Будем говорить, что матрица A л-эквивалентна

конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л-эквивалентные и п-эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому

приведѐнным.

Пусть A M m n (R) . Говорят, что ненулевая строка Ai этой матрицы имеет приведѐнный вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент kj , что все

элементы столбца A j , отличные от ij , равны нулю, kj 0, k 1,i 1 i 1,m . Отмеченный единичный элемент ij строки Ai будем называть ведущим

элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка Ai

матрицы A имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец A j вида

22

внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки A3 претендует также элемент 35 . В дальнейшем, если в строке приведѐнного вида

есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведѐнный вид, если каждая еѐ ненулевая строка имеет приведѐнный вид. Например, матрица

имеет приведѐнный вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы A существует л-эквивалентная ей матрица приведѐнного вида.

◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы A , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведѐнной, т.е. если Ai O , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований,

получаем матрицу

23

у которой строка Bi имеет приведѐнный вид.

Во-вторых, если строка As , i s , в матрице A была приведѐнной, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка Bs матрицы B будет

◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

24

1, i 1, r ,

ii0, i r .

Матрицу Dr удобно записывать в так называемом блочном виде

эквивалентная ей матрица Dr вида (1.21).

◄ Из предложения 1.3 следует, что существует матрица B приведѐнного вида, л-эквивалентная, а поэтому и эквивалентная, матрице A . Пусть r – число ненулевых строк матрицы B . Меняя местами, если это нужно, строки и столбцы матрицы B , приведѐм еѐ к виду

Проводя в матрице C столбцовые элементарные преобразования

25

множестве M можно определить указанием всех пар (a ,b) , принадлежащих B ,

говоря при этом, что элементы a и b из множества M находятся в отношении B . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество B бесконечно), то высказывание “ (a,b) B ” заменяется специальными высказываниями,

зависящими от контекста, например,

a b , a b , a b , a ~ b .

которые читаются соответственно как “ a больше b ”, “ a равно b ”, “ a влечѐт b ”, “ a эквивалентно b ”

Бинарное отношение B на множестве M называется отношением эквивалентности на множестве M , если оно удовлетворяет условиям:

1)(a, a) B для любого a M ,

2)если (a,b) B , тогда (b,a) B ,

3)если (a,b) B и (b,c) B , тогда (a,c) B .

Для отношения эквивалентности принято обозначение a ~ b . Условия 1)-3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

1’) a M a ~ a , 2’) a ~ b b ~ a ,

3’) a ~ b и b ~ c a ~ c .

Введение на множестве M какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактормножеством множества M по бинарному отношению B и обозначается M B .

факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).

В алгебре матриц отношения “л-эквивалентности”, “п-эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве M m n (R) . Наиболее важным из них является

26

последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице Dr вида (1.21) с данным r . Нетрудно посчитать, что

различных видов матриц Dr всего min m, n 1. Это отношение эквивалентности

в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества M m n (R) по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между m и n .

Лекция V.

План

1.13Разложение матрицы в произведение простейших

1.14Матричные уравнения

1.13Разложение матрицы в произведение простейших

Пусть A(k), k 1, s – некоторые матрицы. Введѐм следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

элементарные матрицы порядка n , и матрица Dr имеет вид (1.21).

◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу A к виду Dr . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице A равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную ˆ

Матрицы ˆ(i), ( j) обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения

27

Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица A была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

◄ Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

Необходимость. Пусть матрица A обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например,

обратимы как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы B 1

и C 1 . Из равенства (1.22) получаем, что матрица

Dr B 1 AC 1

и является обратимой как произведение трѐх обратимых матриц. Однако,

29

т.е. матрица A обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6, можно представить матрицу A в виде произведения элементарных матриц, а после этого

найти обратную матрицу A 1 . Однако этот способ обращения матриц является слишком громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберѐм более простой алгоритм отыскания обратной матрицы. ►

Вернѐмся к предложению 1.2. Это предложение является следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая ненулевая и необратимая матрица A из M n (R) , n 1, является истинным делителем нуля.

◄ Пусть A O и A GMn (R) . В силу предложений 1.5 и 1.6 A BDr C , где 1 r n, B, C GMn (R). Введѐм матрицы

FC 1 (E Dr ) , G (E Dr )B 1

иотметим, что F O, G O . Так как Dr2 Dr , то

AF BDr CC 1 (E Dr ) BDr (E Dr ) B(Dr Dr2 ) O ,

GA (E Dr )B 1BDr C (E Dr )Dr C (Dr Dr2 )C O . ►

В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.

Предложение 1.7. Пусть A M n (R) . Следующие утверждения равносильны:

1)A GMn (R) ;

2)A (i) , где (i) – элементарная матрица порядка n ;

i 1, k

л

3) A~ E ;

п

4) A~ E ;

1.14 Матричные уравнения

Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

30