Algebra

изменяется. Иными словами, если – произвольная перестановка n -ой степени, то в равенствах (3.15) справедливо следующее правило замены переменного,

доставляет определенные неудобства и при суммировании и перемножении

сформулированные выше правила замены переменного в сумме и произведении вида (3.15) справедливы также для суммы (3.16) и произведения (3.17). Именно,

ax ay a x , ax ay a x .

x M y M x M x M y M x M

где – произвольная перестановка элементов множества M .

Лекции IX и X.

План

3.6Определитель n -го порядка.

3.7Свойства определителя.

3.6Определитель n-го порядка

где

61

порядка она мало пригодна. Нашей ближайшей задачей является изучение таких свойств определителя, которые бы, в частности, позволили разработать достаточно простой способ их вычисления, отличный от прямого счѐта по формуле (3.18). Такой способ вычисления будет изложен ниже в пункте 3.10. Эффективность его настолько высока, что, как правило, этот способ целесообразно применять даже для вычисления определителей третьего порядка, избегая при этом использования формулы (3.20).

Принимая во внимание запись определителя A в виде таблицы (3.18), ниже

будем использовать следующие термины с очевидным их содержанием: определитель порядка n , элемент определителя, строка определителя, столбец определителя.

3.7 Свойства определителя

(3.21)

и называется членом определителя n -го порядка. Член определителя является произведением n элементов, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца определителя, и числа sgn . Действительно, присутствие в произведении (3.21) по одному элементу из каждой строки является очевидным.

точно по одному элементу из каждого столбца определителя. Верно и обратное,

взятых точно по одному из каждой его строки и каждого столбца, входит в сумму (3.18) либо со своим, либо с противоположным знаком. Перестановка , порождающая соответствующий член определителя, имеет вид

Если – четная перестановка, то произведение (3.22) входит в сумму (3.18) со своим знаком, а если – нечетная перестановка, то – с противоположным знаком. В связи с этим основному определению предыдущего пункта можно

каждой еѐ строки и каждого еѐ столбца, причем каждое произведение входит в указанную сумму со своим знаком, если порождаемая нумерацией его элементов перестановка (3.23) четная, и – с противоположным знаком, если эта перестановка нечетная.

63

Проводя в сумме (3.26) замену 1 и учитывая, что sgn sgn 1 , получаем, что

B sgn a1 1 a2 2 ... an n A . ►

Sn

Из только что доказанного свойства следует, что строки и столбцы определителя равноправны в том смысле, что любое свойство его строк верно также и для его столбцов и наоборот, любое свойство столбцов определителя выполняется также для его строк. С учетом этого замечания последующие свойства определителя будем формулировать, в основном, в терминах его строк.

Предложение 3.7. Если матрица B получена из матрицы A элементарным преобразованием Ck Cl , k, l 1, n, k 1, тогда B A .

Иными словами, при перемене местами двух строк определителя он меняет знак на противоположный.

t , замечаем, что

i , i k, l,

i l , i k,

k , i l,

и sgn sgn , так как перестановки и имеют различную четность. Учитывая это и проводя замену переменной t в сумме (3.27), получаем, что

65

B sgn a1 1 ... al l ... ak k ... an n A . ►

Sn

В качестве иллюстрации замечания о равноправии строк и столбцов определителя покажем, что при перемене местами двух столбцов определитель меняет знак на противоположный.

◄Пусть матрица B получена из матрицы A элементарным

sgn a1 1 ... ak k ... an n A . ►

Sn

Вкачестве следствия этого свойства получаем, что

Здесь проведен вынос числа 2 за знак определителя из второй строки.

строки, еѐ определитель равен нулю.

66