УМК матан

Модуль 18. Несобственные интегралы

ограниченности функции ϕ на [a, +∞) сходимость интеграла

+∞

Z

f(x)ϕ(x)dx?

18.6. Пусть функция f монотонна на [1, +∞), и несобственный интеграл

18.7. Пусть +∞ единственная особая точка функций f и g на [a, +∞).

61

n=1πn(n−1)

18.12. Пусть функция f локально интегрируема на [a, b), f(x) ≥ 0,

a

18.15. Пусть функция f C([a, +∞)) и F (x) е¼ первообразная на [a, +∞), функция g C1([a, +∞)) и несобственный интеграл

62

+∞

Z

|g0(x)|dx сходится. Докажите, что для сходимости несобственного

19.3. Покажите на примерах, что если функция f(x, y) определена на множестве X ЧY R2, непрерывна по x на X при каждом фиксированном y Y и сходится на множестве X при y → y0 к непрерывной на X функции, то сходимость может быть как равномерной, так и неравномерной.

19.4. Пусть функции f, ϕ : X ЧY R2x,y → R, y0 предельная точка мно-

X

жества Y и f(x, y) f1(x), а ϕ(x, y) неравномерно сходится к ϕ1(x)

y→y0

на множестве X при y → y0. Имеет ли место равномерная сходимость функции f + ϕ на множестве X при y → y0?

19.5. Пусть Π = [a; b] Ч [c, d], f : Π → R и f C(Π). Пусть функция g R[a; b]. Докажите, что:

Zb

1) функция I(y) = f(x, y)g(x)dx непрерывна на отрезке [c; d];

a

2) при условии, что функция ∂f∂y (x, y) непрерывна на Π, функция I(y) непрерывно дифференцируема на [c; d], при этом

63

I0(y) = Zb ∂f (x, y)g(x)dx; a ∂y

Zd Zb Zd

3) I(y)dy = dx f(x, y)g(x)dx.

ca c

19.6.Пусть функция f непрерывна на R и a > 0. Докажите, что функ-

öèÿ F (x) = 1 Za f(x + t)dt имеет непрерывную производную на R, и

2a−a

найдите F 0(x).

19.7. Пусть функция f дифференцируема на отрезке [a, b] и

Zy

I(y) = (x + y)f(x)dx, y [a, b] (a < 0 < b). Найдите I0(y) è I00(y),

0

y [a, b].

19.8. Пусть функции f, ϕ определены на множестве [a, b) Ч Y R2x,y, имеют единственную особую точку x = b при любом y Y , и НИЗП

Zb

жите, что для любых α, β R НИЗП (αf(x, y) + βϕ(x, y))dx равно-

a

мерно сходится на множестве Y .

19.9. Пусть функция g : [a, b) Ч Y R2x,y → R, локально интегрируема на [a, b) при каждом y Y , ограничена на [a, b) Ч Y и монотонна

по x на [a, b) при каждом фиксированном y Y . Докажите, что если

Zb

несобственный интеграл f(x)dx (с единственной особой точкой x = b)

a

Zb

сходится, то НИЗП g(x, y)f(x)dx равномерно сходится на множестве

a

Y .

19.10. Пусть функция f монотонна и ограничена на [a, b), функция

g : [a, b) × Y R2x,y → R имеет единственную особую точку x = b

Zb

при каждом y Y и НИЗП g(x, y)dx равномерно сходится на мно-

a

Zb

жестве Y . Докажите, что НИЗП g(x, y)f(x)dx равномерно сходится

a

на множестве Y .

64

19.12. Пусть функция f непрерывна на множестве [a, b) Ч [c, d] и НИЗП

Zb

f(x, y)dx сходится равномерно на (c, d). Докажите, что этот НИЗП

a

сходится равномерно на [c, d].

19.14. Пусть функция f C([a, b] Ч [c, d]), а функция g абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Докажите, что

Zd Zb Zb Zd

dy f(x, y)g(x)dx = dx f(x, y)g(x)dx.

c a a c

19.15. Пусть f : [a, b] Ч Y R2x,y → R, y0 предельная точка множества Y и выполнены следующие условия:

à) f R[a,b], y Y ;

[a,b]

á) f(x, y) φ(x);

y→y0

в) функция g абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смыс-

ëå.

Докажите, что функция g(x)ϕ(x) интегрируема в несобственном смыс-

19.16. Пусть функция f C([a, b] Ч [c, d]) имеет непрерывную частную

65

производную ∂f∂y на [a, b] Ч [c, d]. Пусть функция g абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Докажите, что функция

Zb

I(y) = g(x)f(x, y)dx непрерывно дифференцируема на отрезке [c, d]

a

è I0(y) = Zb g(x)∂f (x, y)dx, y [c, d]. a ∂y

19.17. Пусть функция f : [a, b] Ч [c, d] R2x,y → R и для любого y [c, d] функция f интегрируема по Риману на [a, b]. Пусть y0 [c, d] è ôóíê-

Модуль 20. Ряды Фурье

Всюду далее, если не оговорено другое, рассматриваются ряды Фурье по классической тригонометрической системе.

66

20.12. Пусть f непрерывная, 2π-периодическая функция, an è bn åå коэффициенты Фурье. Найдите коэффициенты Фурье An è Bn ôóíê- öèè f(x + h), ãäå h = const.

σnf (x) n-я сумма Фейера функции f.

20.14.Пусть f C([−π; π]), f(−π) = f(π) и |f(x)| 6 M, x [−π; π]. Докажите, что |σnf (x)| 6 M, x [−π; π], n N.

f1 −

20.15.Пусть f R [ π; π], 2π-периодична и имеет на отрезке

[a, b] [−π; π] ограниченную производную. Докажите, что на любом отрезке [α, β] (a; b) тригономнтрический ряд Фурье функции f сходится к f равномерно.

20.16.Докажите, что если тригонометрический ряд Фурье имеет подпоследовательность частичных сумм, равномерно сходящуюся на отрезке [−π; π] к функции f, то этот ряд является рядом Фурье функции f.

20.17.Не вычисляя коэффициентов Фурье функции f(x) = πx − x|x| вы-

яснить, сходится ли соответствующий ей классический тригонометри- ческий ряд Фурье равномерно на отрезке [−π; π].

20.18. Пусть f C([−π; π]) и ее ряд Фурье сходиться к функции g на [−π; π]. Докажите, что f(x) = g(x), x [−π; π].

67

Фурье равномерно сходиться к f на отрезке [−π; π].

20.20. Пусть f R([−π; π]); , an, bn ее коэффициенты Фурье. Докажите,

Модуль 21. Мера Жордана в Rn и геометрические приложения определенного интеграла

21.1.Докажите, что внутренняя и внешняя меры Жордана ограниченного множества в Rn конечны.

21.2.Докажите, что множество в Rn с конечной внешней мерой Жордана

ограничено. Укажите неограниченное множество с конечной внутренней мерой Жордана.

21.3.Докажите, что измеримое по Жордану множество ограничено.

21.4.Докажите, что:

à) внутренняя мера Жордана множества, имеющего хотя бы одну внутреннюю точку, либо положительна, либо равна +∞;

á) множество с положительной внутренней мерой Жордана имеет внутренние точки;

â) мера измеримого по Жордану множества, не имеющего внутренних точек, равна нулю.

21.5.Пусть X1 X2 Rn. Докажите, что m (X1) 6 m (X2) è m (X1) 6 m (X2).

21.6.Пусть X ограниченное множество в Rn, X1 X. Докажите, что:

à) m (X \ X1) = m (X) − m (X1); á) m (X \ X1) = m (X) − m (X1).

68

21.7.Укажите два таких непересекающихся множества X1 è X2 èç Rn, ÷òî m (X1 X2) 6= m (X1) + m (X2).

21.8.Пусть X1 è X2 открытые множества в Rn. Докажите, что

m (X1 X2) 6 m (X1) + m (X2).

21.9.Укажите два таких множества X1 è X2 èç Rn, ÷òî m (X1 X2) > m (X1) + m (X2).

21.10.Пусть X Rn. Докажите, что если m (X) = 0, то множество X измеримо по Жордану в Rn è m(X) = 0.

21.11.Пусть X1 è X2 измеримые по Жордану множества в Rn. Äîêà- æèòå, ÷òî:

1)m(X1 S X2) = m(X1\X2) + m(X2\X1) + m(X1 T X2);

2)m(X1 S X2) = m(X1) + m(X2) − m(X1 T X2).

21.12.Докажите, что замыкание X измеримого по Жордану множества X Rn измеримо по Жордану и m(X) = m(X).

21.13.Пусть X измеримое по Жордану множество в Rn, intX множество всех его внутренних точек. Докажите, что intX измеримо по Жордану и m(intX) = m(X).

21.14.Пусть X измеримое по Жордану множество в Rn, intX множество всех его внутренних точек. Докажите, что если X1 (X \ intX), òî m(X) = 0.

21.15.Пусть X1 æíì â Rn. Докажите, что для любого множества X

Rn множества X, X X1, X \X1 одновременно либо неизмеримы, либо измеримы и в последнем случае m(X) = m(X X1) = m(X \ X1).

21.16. Пусть множества X1 è X2 измеримы по Жордану в Rn, X1 X2

è m(X1) = m(X2). Докажите, что любое множество X такое, что

X1 X X2, измеримо по Жордану в Rn è m(X) = m(X1) = m(X2).

21.17. Докажите неизмеримость по Жордану множеств:

à) рациональных точек отрезка [0; 1] в R1;

69

21.18. Укажите в R3 неизмеримое по Жордану множество.

∞

21.19. Пусть Xn, n N, æíì â Rn, и пусть X = S Xn измеримое по

j=1

Жордану множество. Докажите, что m(X) = 0.

21.20.Укажите неизмеримое по Жордану множество, замыкание которого измеримо по Жордану.

21.21.Укажите два неизмеримых по Жордану множества, объединение которых измеримо.

21.22.à) Докажите, что график непрерывной на компакте функции является жнм.

á) Укажите функцию, определенную на компакте, график которой неизмерим по Жордану.

â) Укажите непрерывную на области определения функцию, график которой неизмерим по Жордану.

21.23.Докажите, что спрямляемая кривая в Rn является жнм.

21.24.Докажите, что:

à) åñëè X æíì â Rn, òî X ëíì â Rn;

á) если компакт X имеет меру нуль по Лебегу, то он имеет меру нуль по Жордану.

21.25. Докажите, что множество всех рациональных точек отрезка [0; 1] является лнм в R1.

Модуль 22. Кратные интегралы

22.1. Пусть X = [−2; 2] Ч [−1; 1], τn разбиение множества X на равные

2i j

прямоугольники прямыми xi = n , yj = n, где i, j Z и −n 6 i, j 6 n. Найдите нижнюю sf (τn) и верхнюю Sf (τn) суммы Дарбу функции f и

их пределы при n → ∞, если:

à) f(x, y) = 2x − y;

á) f(x, y) = xy;

â) f(x, y) = x2 + y2.

70