УМК матан

19.14. Сформулируйте критерий равномерной сходимости функции

f(x, y) к предельной на множестве X при y → y0 в терминах супрему-

дует ли из этого, что f(x, y) равномерно сходится к функции ϕ(x) на множестве X при y → y0?

19.16. Сформулируйте критерий равномерной сходимости функции

f(x, y) к предельной функции ϕ(x) на множестве X при y → y0 â òåð- минах последовательностей. Сформулируйте в позитивной форме критерий неравномерной сходимости функции f(x, y) к предельной ϕ(x)

на множестве X при y → y0 в терминах последовательностей.

можно сказать о наличии предельной функции функции f(x, y) на множестве X при y → y0?

X

19.18. Пусть f(x, y) → ϕ(x) (y0 R), n N δn > 0 : y Y,

y→y0

1 0 < |y − y0| < δ выполняется неравенство |f(x, y) − ϕ(x)| < 2n ,

x X. Можно ли утверждать, что f(x, y) равномерно сходится к ϕ(x) на множестве X при y → y0?

19.19.Сформулируйте теорему о перестановке двух предельных переходов функции f(x, y).

19.20.При каких условиях на функцию f(x, y) можно утверждать непрерывность е¼ предельной функции ϕ(x) на множестве X при y → y0?

X

19.21. Пусть f(x, y) → ϕ(x), f(x, y) C(X), y Y , и ϕ(x) терпит

y→y0

разрыв в точке x0 X. Что можно сказать о равномерной сходимости f(x, y) к ϕ(x) на множестве X при y → y0?

19.22. Пусть f : X Ч N R2x,y → R, y N f(x, y) C(X), f(x, y)

равномерно сходится к ϕ(x) на множестве X при y → +∞. Что можно сказать о непрерывности функции ϕ(x) на множестве X?

19.23. Сформулируйте теорему об интегрировании предельной функции функции двух переменных.

31

19.24.Сформулируйте теорему о дифференцировании предельной функции функции двух переменных.

19.25.Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра (СИЗП).

19.26.Пусть функция f : [a, b] Ч Y R2x,y → R, y0 предельная точка множества Y и f R[a,b] при каждом фиксированном y Y . При каком

19.27. Сформулируйте теорему о непрерывности СИЗП.

19.28. Сформулируйте теоремы об интегрируемости и непрерывной дифференцируемости на отрезке СИЗП.

19.29. Дайте определение СИЗП, пределы интегрирования которого зависят от того же параметра (СИЗП с ПЗП).

19.30. Укажите достаточные условия непрерывности СИЗП с ПЗП.

19.31. Сформулируйте теорему о непрерывной дифференцируемости СИЗП с ПЗП.

19.32. Сформулируйте теорему о дифференцируемости интеграла с пере-

Zx

менным верхним пределом f(t)dt. Является ли она следствием тео-

0

ремы о дифференцируемости СИЗП с ПЗП? Ответ обоснуйте.

Z1

19.33. Является ли интеграл ln(x2 + y2)dx ÑÈÇÏ, åñëè y [0, 1]?

0

19.34. Дайте определение несобственного интеграла, зависящего от параметра (НИЗП).

Zb

19.35. Что означает факт:“Функция I(y) = f(x, y)dx, y Y , является

a

НИЗП с единственной особой точкой x = b “?

19.36. Дайте определения равномерной сходимости на множестве Y НИЗП

Zb

I(y) = f(x, y)dx с единственной особой точкой x = b в терминах

a

32

Zt Zb

f(x, y)dx и f(x, y)dx. Объясните, почему они равносильны (исполь-

a t

Zt

зуйте понятие равномерной сходимости функции F (t, y) = f(x, y)dx

a

ïðè t → b, t < b).

Zb

19.37. Что означает в позитивной форме факт:"НИЗП f(x, y)dx íå ÿâ-

a

ляется равномерно сходящимся по параметру y на множестве Y "?

Zb

19.38. Почему из равномерной сходимости НИЗП

a

ной особой точкой x = b следует его равномерная сходимость на множестве Y1 Y ?

19.39.Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости НИЗП.

19.40.Сформулируйте в позитивной форме критерий Коши неравномерной сходимости НИЗП.

Zb

19.41. Пусть f(x, y)dx НИЗП с единственной особой точкой x = b и c

a

одновременно сходятся равномерно или неравномерно на множестве Y ?

19.42. Сформулируйте теорему типа Гейне равномерной сходимости НИЗП.

a

кой x = b, последовательность {tn}∞n=1 такова, что tn (a, b), n N, tn → +∞ при n → +∞, функциональная последовательность

Zb

Fn(y) = f(x, y)dx, n N, не является равномерно сходящейся к

tn

33

нулю на множестве Y . Что можно сказать о равномерной сходимости НИЗП I(y) на множестве Y ?

19.45. Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП.

Zb

19.47. Пусть f(x, y)dx НИЗП с единственной особой точкой x = b,

a

сходится абсолютно и равномерно на множестве Y , а функция g(x, y) определена и ограничена на множестве [a, b) Ч Y . Можно ли утвер-

Zb

ждать, что НИЗП f(x, y)g(x, y)dx сходится равномерно на множестве

a

Y ?

19.48. Сформулируйте признак Дирихле равномерной сходимости НИЗП

Zb

f(x, y)g(x, y)dx с единственной особой точкой x = b.

a

19.49. Целесообразно ли применение признака Дирихле равномерной схо-

димости НИЗП при исследовании на равномерную сходимость НИЗП

Zb

f(x, y)g(x, y)dx на Y в случае, когда f(x, y) и g(x, y) положитель-

a

ные функции на множестве [a, b) Ч Y ? Ответ обоснуйте.

19.50.Сформулируйте теорему о предельном переходе в НИЗП.

19.51.Приведите достаточные условия непрерывности НИЗП на отрезке.

19.52.Сформулируйте теорему об интегрируемости по Риману НИЗП на отрезке.

19.53.Сформулируйте теорему о несобственном интегрировании НИЗП на промежутке.

19.54.Сформулируйте теорему о непрерывной дифференцируемости НИЗП на отрезке.

19.55.Сформулируйте достаточные условия непрерывной дифференцируемости НИЗП на промежутке.

34

19.56.Дайте определения интегралов Эйлера 1-ãî è 2-ãî ðîäà.

19.57.Укажите область определения -функции.

19.58.Что можно сказать о дифференцируемости -функции?

19.59.Связаны ли значения (α) и (α + 1) при α > 0?

19.60.Чему равно значение (α + 1), если α N?

19.61.Укажите значения (n + 12), n N è (12).

19.62.Чему равно произведение (α) · (1 − α), α (0, 1)?

19.63.Назовите промежутки возрастания (убывания) -функции. Что можно сказать о направлении выпуклости графика -функции?

19.64.Охарактеризуйте поведение -функции при α → +0 и при

α → +∞.

19.65.Как выглядит график -функции?

19.66.Укажите область определения B-функции.

19.67.Сформулируйте свойство симметрии для B-функции.

19.68.Выпишите формулы приведения для B-функции.

19.69.Укажите второе интегральное представление B-функции.

19.70.Укажите связь между B- и -функциями.

19.71.Укажите значение B(α, 1 − α), α (0, 1).

19.72.Какой несобственный интеграл называется интегралом Дирихле? Укажите его значение.

соответствующие примеры.

20.2. Дайте определение системы функций:

а) ортогональной на отрезке (осф); б) ортонормированной на отрезке.

20.3. Какая система функций называется:

а) обобщенной тригонометрической системой (отс); б) классической тригонометрической системой (ктс)?

35

20.4. Докажите, что система функций: 1, sin πxT , cos πxT , . . . , sin kπxT , cos kπxT , . . ., где T > 0, является ортогональной на любом отрезке

[a, a + 2T ],ãäå T > 0, (a R).

20.5. Докажите, что система функций: 1, sin x, cos x, . . . , sin kx, cos kx, . . . , является ортогональной на любом отрезке [a, a + 2π], где a R.

20.6. Дайте определения ряда Фурье функции по ортогональной на отрезке системе функций и его коэффициентов.

20.9. Пусть f R[2a,b], {ϕn(x)}∞n=0 ортонормированная система функций

(dn 6= 0), n N0. Что понимают под средним квадратичным отклонением многочлена Qn(x) от функции f(x) на отрезке [a, b]?

20.11. Дайте определение и сформулируйте критерий сходимости в смысле

f2

20.14.Пусть f R[−π,π]. Укажите: тождество Бесселя, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля для функции f и ктс функций.

f1

20.15. Сформулируйте лемму Римана для f R[a,b].

36

20.16.Какие функции называются ядрами Дирихле? Укажите их свойства и представление.

20.17.Укажите интегральное представление частичных сумм классиче-

f1 −

ского тригонометрического ряда Фурье функции f R [ π, π].

20.18.Сформулируйте принцип локализации Римана.

20.19.Сформулируйте признак Дини сходимости классического тригоно-

f1

метрического ряда Фурье функции f R[−π,π].

20.20.Сформулируйте условие Гельдера (Липшица)функции в точке.

20.21.Может ли функция, удовлетворяющая условию Липшица в некоторой точке, иметь в этой точке разрыв первого рода?

20.22.Сформулируйте определение односторонних производных f+0 è f−0 функции f в точке, укажите связь между существованием производной

f0(x0) è f+0 (x0) è f−0 (x0).

20.23.Сформулируйте определение обобщенных односторонних производных функции в точке.

20.24.Укажите связь между условием Липшица функции в точке и нали- чием обобщенных односторонних производных функции в этой точке. Приведите соответствующие примеры.

20.25.Укажите связь между условием Липшица функции в точке и дифференцируемостью функции в этой точке.

20.26.Укажите связь между дифференцируемостью функции в проколотой окрестности точки и наличием е¼ обощенных односторонних производных в этой точке.

20.27.Сформулируйте определение функции, кусочно дифференцируемой на отрезке. Удовлетворяет ли такая функция условию Липшица в каждой точке этого отрезка?

20.28.Сформулируйте признак Липшица сходимости в точке классическо-

f1

го тригонометрического ряда Фурье функции f R[−π,π].

20.29.Обобщите признак Липшица на случай функций, рассматриваемых на отрезке [a, a + 2π] (a R) и на отрезке [a, a + 2T ] (a R, T > 0).

20.30.Что можно сказать о коэффициентах тригонометрического ряда

f1

Фурье четной (нечетной) функции f R[−T,T ]?

37

20.31.Укажите продолжение на [−T, T ] по закону четности (нечетности) функции f заданной на [0, T ], (T > 0).

20.32.Какие функции называются ядрами Фейера? Укажите их свойства.

20.33.Дайте определение n−ой частичной суммы Фейера классического

f1

тригонометрического ряда Фурье функции f R[−π,π] (f(π) = f(−π)), укажите е¼ интегральное представление.

20.34.Сформулируйте теорему Фейера.

20.35.Как понимают сходимость классического тригонометрического ряда Фурье к порождающей функции в смысле средних арифметических?

20.36.Пусть f C(R), 2π-периодическая, и е¼ классический тригономет-

рический ряд Фурье сходится в точке x0 R. Покажите, что тогда

lim Sf (x0) = f(x0), ãäå Sf (x0) n-я частичная сумма ряда Фурье

n→∞ n n

функции f в точке x0.

20.37.Сформулируйте аппроксимационные теоремы Вейерштрасса.

20.38.Пусть f C([a, b]). Докажите, что существует последовательность алгебраических многочленов {Pn(x)}∞n=1, которая равномерно на [a, b] сходится к f.

20.39.Пусть f C([−π, π]), f(π) = f(−π), докажите, что существует

последовательность тригонометрических многочленов {Tn(x)}∞n=1, êî- торая равномерно на [−π, π] сходится к f.

20.40.Сформулируйте теорему Ляпунова.

f2

20.41.Åñëè f R[−π,π], то можно ли утверждать, что для этой функции на отрезке [−π, π] выпоняется равенство Парсеваля?

20.42.Пусть f, g C([−π, π]). Укажите необходимое и достаточное условие того, что f(x) = g(x), x [−π, π].

20.43.Пусть f C([−π, π]) и коэффициенты е¼ классического тригоно-

метрического ряда Фурье равны нулю. Что можно сказать о значении функции f на [−π, π]?

20.44. Пусть f C([−π, π]), f(−π) = f(π), f дифференцируема на [−π, π]

0f1

èf R[−π,π]. Укажите классический тригонометрический ряд Фурье производной f0.

38

20.45. Пусть f Cp−1([−π, π]), p ≥ 1, f(−π) = f(π). Укажите харак-

тер поведения коэффициентов классического тригонометрического ряда Фурье функции f, если:

(p) f1 − (p) f2 −

à)f R ([ π, π]); á)f R ([ π, π]).

20.46. Сформулируйте теорему о равномерной сходимости классического тригонометрического ряда Фурье функции f C([−π, π]).

20.56. Сформулируйте теорему об интегрировании классическсого тригонометрического ряда Фурье функции f C([−π, π]).

Модуль 21. Мера Жордана в Rn и геометрические приложения определенного интеграла

21.1.Какое множество в Rn называется параллелепипедом (замкнутым параллелепипедом), определяемым точками a, b Rn?

21.2.Какой параллелепипед Π(a, b) в Rn называют вырожденным?

21.3. Дайте определение меры параллелепипеда Π(a, b) Rn и укажите е¼ свойства.

21.4.Дайте определение элементарного множества в Rn и укажите свой- ства элементарных множеств.

21.5.Сформулируйте лемму о представлении элементарного множества в

Rn.

21.6.Дайте определение меры элементарного множества в Rn. Зависит ли мера элементарного множества от его представления?

21.7.Укажите свойства меры элементарного множества в Rn.

21.8.Дайте определения внутренней и внешней мер Жордана ограниченного множества в Rn.

21.9.Укажите свойства внутренней меры Жордана ограниченного мно- жества в Rn. Обладает ли она свойством аддитивности? Приведите

пример.

21.10. Укажите свойства внешней меры Жордана ограниченного множе- ñòâà â Rn. Обладает ли она свойством аддитивности? Приведите при-

ìåð.

39

21.11.Дайте определения множества, измеримого по Жордану в Rn è åãî ìåðû.

21.12.Является ли элементарное множество измеримым по Жордану?

21.13.Приведите пример ограниченного множества в Rn, неизмеримого по Жордану.

21.14.Укажите свойства меры Жордана.

21.15.Дайте определение жорданова нуль-множества в Rn (æíì).

21.16.Сформулируйте критерий жнм в Rn.

21.17.Докажите, что конечное множество точек в Rn является жнм в Rn.

21.18.Пусть последовательность точек {ak}∞k=1 : ak Rn, n ≥ 1, сходится к точке из Rn. Докажите, что множество {ak : k N} является жнм в

Rn.

21.19. Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a, b]. До-

кажите, что е¼ график f = {(x, f(x)) : x [a, b]} является жнм в

Rn.

21.20.Укажите свойства жнм в Rn.

21.21.Сформулируйте критерий измеримости по Жордану множества в

Rn.

21.22.Укажите свойства множеств, измеримых по Жордану в Rn.

21.23.Какое множество в R2 называется криволинейной трапецией? Измерима ли криволинейная трапеция по Жордану в R2? Укажите е¼

ìåðó.

21.24. Укажите меру множества

G = {(x, y) R2 : x [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)}, ãäå f, g C([a, b]) è f(x) ≤ g(x), x [a, b].

21.25. Какое множество в R2 называют криволинейным сектором? Является ли криволинейный сектор измеримым по Жордану в R2? Укажите åãî ìåðó.

21.26. Какое множество в R3 называют цилиндрическим брусом? Является ли цилиндрический брус измеримым по Жордану в R3? Укажите его ìåðó.

40