УМК матан

à)

(−1)n3n

∞

;

2n + 3n

n=1

∞

∞

15.1. Докажите, что если один из числовых рядов

X

nX

an,

bn сходится,

∞

n=1

=1

nX

а другой расходится, то ряд

(an ± bn) расходится.

=1

n=1

n=1

∞

nX

о сходимости ряда

(an + bn)? Приведите соответствующие примеры.

=1

∞

∞

15.3. Докажите, что если числовые ряды

X

nX

(an+bn) è

(an−bn) сходятся,

∞

∞

n=1

=1

то сходятся и ряды

X

nX

an è

bn.

n=1

=1

15.4. Приведите пример двух числовых последовательностей {an}n∞=1

è

∞

∞

{bn}n∞=1 таких, что an ≥ bn,

n N, ðÿä

nX

X

an сходится, а ряд

bn

расходится.

=1

n=1

∞

nX

15.5. Докажите, чо если числовой ряд

an сходится, то последователь-

=1

ность сумм его остатков является бесконечно малой, то есть

nlim

∞

ak = 0.

→∞

k

X

=n+1

∞

nX

15.6. Докажите, что если положительный числовой ряд

an сходится, то

∞ an2

=1

ðÿä

сходится. Верно ли обратное утверждение?

nX

=1

15.7. Докажите, что из сходимости числовых рядов

∞ an2

è ∞ bn2 следует

nX

X

∞ |anbn| è

∞ (an + bn)2.

=1

n=1

сходимость рядов

nX

X

=1

n=1

∞

15.8. Докажите, что если положительный числовой ряд

nX

an сходится, то

сходятся следующие ряды:

=1

à) ∞

an

;

nX

1 + a

=1

n

∞

an

nX

1 + na

;

á)

=1

n

∞

nX

â)

max(an, an+1, an+2);

=1

∞

nX

min(an, an+1, . . . , a2n−1);

ã)

=1

ä) ∞

√

;

anan+1

nX

=1

√

∞

an

nX

n .

æ)

=1

∞

nX

15.9. Пусть строго положительный числовой ряд

an сходится, докажи-

∞

=1

òå, ÷òî ðÿä

Sn

расходится, где Sn =

n ak, n N.

n

X

kX

n=1

=1

что тогда расходятся следующие ряды:

∞

nX

15.10. Пусть положительный числовой ряд

bn расходится. Докажите,

=1

à) ∞

bn

;

nX

1 + b

=1

n

∞

nX

max(bn, bn+1, . . . , b2n−1).

á)

=1

→∞

∞

nX

15.11. Докажите, что если nlim nan = a 6= 0, òî ðÿä

=1

an расходится.

15.13. Пусть для последовательности положительных чисел

{

a

∞

ñóùå-

an+1

n}n=1

ствует предел

lim

= a. Докажите, что тогда существует

an

lim

= a.

n→∞

n

√an

n→∞

15.14. Докажите признак Раабе. Пусть числовой ряд

∞

an строго по-

=1

an

1! , n

nX

ложителен и Rn = n

−

N. Тогда:

an+1

1) если существует число r > 1 такое, что Rn ≥ r, n ≥ n0, òî ðÿä

∞

an сходится;

=1

nX

∞

2) åñëè Rn ≤ 1, n ≥ n1, òî ðÿä

an расходится.

=1

nX

15.15. Пусть S сумма ряда лейбницевского типа

∞ (−1)nan (an > 0,

=1

nX

n N). Докажите, что S2n ≤ S ≤ S2n+1, n N, ãäå Sn n-ÿ

частичная сумма ряда.

15.16. Докажите, что если числовой ряд

∞

an сходится абсолютно, а чис-

=1

∞

nX

∞

ловой ряд

bn сходится, то характер сходимости ряда

(an + bn)

=1

n=1

nX

∞

X

совпадает с характером сходимости ряда

bn.

=1

nX

∞

15.17. Докажите, что если числовой ряд

an сходится абсолютно, то

=1

∞ an

∞

an .

nX

=1

≤

|

|

nX

X

15.21. Пусть {an}n∞=1 числовая последовательность и

p N

→∞

∞

nX

nlim (an+1

. . . + an+p) = 0. Следует ли отсюда, что ряд an сходится?

=1

∞

∞

∞

nX

15.22. Пусть

an числовой ряд, bn = a2n + a2n+1, n N. Являются ли

X

=1

nX

ðÿäû

an è

bn равносходящимися?

n=1

=1

15.23. Пусть {bn}n∞=1 ограниченная числовая последовательность, а ряд

∞

∞

an (an > 0, n N) сходится. Докажите, что ряд

anbn сходит-

=1

n=1

nX

X

ся. Верно ли утверждение, если последовательность

{an}n∞=1 является

знакопеременной?

15.24. Пусть an

≥ 0, bn ≥ 0, n N, è {ank }k∞=1 : ank

≤ bnk

k N.

Докажите, что из расходимости ряда

∞

ank следует расходимость ряда

=1

∞

kX

bn.

=1

nX

15.25. Приведите примеры сходящихся числовых рядов

∞

∞

=1

an è

bn, äëÿ

=1

∞

nX

nX

которых ряд

anbn расходится.

=1

nX

15.26. Найдите произведение по Коши числовых рядов

∞ an è

∞ bn, ãäå

=1

n=1

nX

X

16.9. Пусть f C1((a, b)). Докажите, что функциональная последователь-

ность fn(x) = n

·

f x +

1

!

−

f(x)!

, n

N, сходится равномерно к

n

условия:

[a,+∞)

à)

fn(x)

f(x)

;

→

б) существуют конечные пределы lim

f(x) = A è lim

fn(x) = An,

n N;

x→+∞

x→+∞

â) lim

An = A;

x→+∞

г) для любого x [a, +∞) числовая последовательность {fn(x)}n∞=1

монотонна.

Докажите, что функциональная последовательность {fn(x)}n∞=1

ñõî-

дится равномерно на промежутке [a, +∞) к функции f(x).

sin nx

N,

16.14. Покажите, что последовательность функций fn(x) =

√

, n

n

равномерно сходится на

R

, а последовательность f0 (x), n

N

, расхо-

n

(

)

n +

1

n

6

1

функции f

Z

f

Z

x , такой, что

lim

(x)dx =

f(x)dx.

→ ∞

0

0

(

)

n +

1

n

1

функции f

Z

(x)dx =

Z

x , такой, что

lim

f

f(x)dx.

→ ∞

0

0

что функциональный ряд

∞

g(x)fn(x) также сходится равномерно на

=1

множестве X.

nX

∞

|vn(x)| сходится равномерно на мно-

16.19. Пусть функциональный ряд

=1

nX

жестве X, функции un(x), n N, определены на X и удовлетворяют

условию |un(x)| ≤ |vn(x)|, x X. Докажите, что функциональный

∞

|un(x)| сходится абсолютно и равномерно на множестве X.

ðÿä

=1

nX

∞

∞

16.20. Докажите, что если числовой ряд

1

сходится, то ряд

1

=1

a

n

n=1

x a

n

|

−

nX |

X

сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом ограниченном

множестве, не содержащем точек x = an, n N.

16.21. Покажите, что из условий:

1) ðÿä

∞

un(x) равномерно сходится на множестве X;

=1

nX

{vn(x)}n∞=1 равномерно огра-

2) функциональная последовательность

ничена на множестве X,

∞

вообще говоря, не следует, что ряд

un(x)vn(x) равномерно сходится

=1

nX

на X. Какие дополнительные условия надо наложить на последова-

тельность {vn(x)}n∞=1, чтобы гарантировать равномерную сходимость

∞

ðÿäà

un(x)vn(x) на множестве X?

=1

nX

16.22. Следует ли из абсолютной и равномерной сходимости на множе-

∞

∞

ñòâå X ðÿäà

un(x) равномерная сходимость ряда

|un(x)| íà X?

=1

=1

nX

∞

nX

(Рассмотрите пример ряда

(−1)nxn(1 − x), X = [0, 1]).

=1

nX

16.23. Пусть числовой ряд

∞ an2

сходится, ряд

∞ un2 (x)

сходится пото-

=1

=1

nX

nX

чечно на множестве X и его сумма ограничена на X. Докажите, что

∞

функциональный ряд

anun(x) абсолютно и равномерно сходится на

=1

множестве X.

nX

∞

16.24. Пусть числовой ряд

an

сходится. Докажите, что ряд Дирихле

=1

nX

∞

16.25. Пусть функциональный ряд

nX

un(x) сходится абсолютно в точках

=1

a и b (a < b), а функции un(x),

n N, монотонны на отрезке [a, b].

Докажите, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [a, b].

16.26. Пусть функции un(x),

n N, непрерывны на отрезке [a, b], и ряд

∞

nX

un(x) сходится равномерно на [a, b) к S(x). Докажите, что ряд

=1

∞

nX

un(b) сходится и S(x) непрерывна на [a, b].

=1

∞

nX

|an+1(x) − an(x)| сходится равно-

16.27. Пусть функциональный ряд

=1

|

мерно на множестве X,

n

lim

sup

a

n

(x)

= 0, а функциональная после-

довательность n

→

+

∞

x

X |

bk(x) ∞

равномерно ограничена на X. Докажите,

k=1

∞

равномерно сходится на мно-

X

n=1

что функциональный ряд

nX

an(x)bn(x)

жестве X.

=1

16.28. Пусть функции un C([a, b]), n N, è un(x) > 0, x [a, b],

∞

n N, а функциональный ряд

nX

un(x) поточечно сходится на [a, b] к

=1

непрерывной на [a, b] функции S(x). Докажите, что функциональный

∞

ðÿä

nX

un(x)равномерно сходится на [a, b].

=1

á) bn =

an

, n N.

1 + |an|

∞

17.2. Докажите, что если числовой ряд

nX

an сходится и его сумма рав-

∞ anxn

=1

на S, то существует

lim

= S. Справедливо ли обратное

утверждение?

x

→

−

0

nX

1

=1

∞

an

b

n

ласть сходимости степенного ряда

+

! xn.

=1

n

n

2

nX

17.4. Пусть радиусы сходимости степенных рядов

∞ anxn è

∞ bnxn равны

=0

=0

nX

nX

17.7. Пусть R радиус сходимости степенного ряда

∞ anxn

(an 6= 0,

nX

=0

N0), l = lim

an

,

an

. Докажите, что

≤

≤

n

L = nlim

l

R

L.

an+1