УМК матан

Модуль 22. Кратные интегралы

Комплексная цель

Определить понятие кратного интеграла по измеримому множеству, изучить его свойства и методы вычисления. Рассмотреть при-

ложения двойных и тройных интегралов к решению задач о вычислении меры множеств в R2 è R3. Изучив материал модуля, студент должен

владеть методами вычисления кратных интегралов и мер множеств в

R2 è R3.

Кратный интеграл по параллелепипеду в Rn. Функция, интегрируемая по параллелепипеду в Rn, необходимое условие интегрируемости, критерий Дарбу. Лебегово нуль-множество (лнм) в Rn, свойства лнм. Критерий Лебе- га интегрируемости функции по параллелепипеду в Rn. Интегрируемость

измененной на жнм функции.

Кратный интеграл по измеримому множеству в Rn, корректность его

определения. Критерий Лебега интегрируемости функции по измеримому множеству в Rn. Характеристическая функция измеримого множества в

Rn. Критерий измеримости множества в Rn в терминах его характеристи-

ческой функции. Свойства кратного интеграла по измеримому множеству â Rn. Теорема Фубини для параллелепипедов. Теорема Фубини для декар-

това произведения жордановых множеств. Вычисление кратного интеграла по измеримому множеству специального вида. Теорема о замене перемен-

ных в кратном интеграле, е¼ частные случаи: переход к полярной системе координат в R2, переход к цилиндрической и сферической системам коор-

динат в R3.

Модуль 23. Кривые в Rn и криволинейные интегралы

Комплексная цель

Ввести понятия непрерывной, спрямляемой кривой и параметризо- ванной линии в Rn. Рассмотреть способы параметризации линии. Ука-

зать достаточные условия спрямляемости кривой. Ввести понятия криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода, изучить их свойства, получить формулы их вычисления. Установить связь между криволинейным интегралом 2-го рода и кратным интегралом. Изучив материиал модуля, студент должен владеть методами вычисления криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода.

11

Кривая в Rn (непрерывная, непрерывно дифференцируемая, гладкая, кусочно гладкая), е¼ параметризации. Спрямляемая кривая в Rn. Ñâîé-

ства спрямляемых кривых. Теорема о достаточных условиях спрямляемости непрерывно дифференцируемой кривой. Функция длины спрямляемой кривой, е¼ непрерывная дифференцируемость. Формулы вычисления длины непрерывно дифференцируемой кривой.

Криволинейный интеграл 1-го рода, достаточные условия его существования и формула его вычисления. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

Ориентация линии (кривой) в Rn. Криволинейный интеграл 2-го рода,

достаточные условия его существования и формула его вычисления. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов.

Область типа T в R2. Формула Грина для областей типа T и е¼ обоб-

щения.

Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от линии интегрирования.

Модуль 24. Поверхности и поверхностные интегралы.

Комплексная цель

Ввести понятия поверхности в Rn, заданной параметрически, е¼

квадрируемости и величины площади поверхности. Определить понятия ориентируемой поверхности и поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода. Рассмотреть свойства поверхностных интегралов и способы их вы- числения. Установить связь между поверхностными, кратными и криволинейными интегралами. Изучив материал модуля, студент должен владеть методами вычисления поверхностных интегралов.

Поверхность в R3, элементарная гладкая поверхность в R3 (ÝÃÏ), çà-

данная параметрически. Квадрируемость ЭГП с явным заданием и формула вычисления е¼ площади. Гладкая (кусочно гладкая) поверхность в R3.

ЭГП (гладкая, кусочно гладкая поверхность) в R3 с краем. Ориентация гладкой (кусочно гладкой) поверхности (с краем) в R3. Согласованность

ориентаций поверхности и е¼ края.

Поверхностный интеграл 1-го рода, достаточные условия его существо-

12

вания и формула вычисления. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода.

Поверхностный интеграл 2-го рода, достаточные условия его существования и формула вычисления. Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го родов. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов по кусочно

гладкой поверхности.

Z-цилиндрическая поверхность в R3. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса. Элементы теории поля.

Список рекомендуемой литературы Основная литература

1.Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, т.1. М.: Высшая школа, 1988.

2.Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, т.2. М.: Высшая школа, 1988.

3.Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, т.3. М.: Высшая школа, 1989.

4.В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ, т.1. М.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1985.

5.В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ, т.2. М.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1987.

6.А.Н.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. Курс математичесого анализа. М.: Изд-во МФТИ, 2000.

7.В.А.Зорич. Математический анализ, т.2. М.: Наука, 1984.

8.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко,Ю.А.Кирютенко. Курс лекций по математическому анализу, II курс, 3 семестр. Ростов-на-Дону: ФГУОП ВПО ЮФУ, 2007.

9.Т.И.Коршикова, Ю.А.Кирютенко, Л.И.Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1 семестр. Ростов- на-Дону: ФГУОП ВПО ЮФУ, 2007.

10.Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.

13

Дополнительная литература

11.Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубаринов. Лекции по математи- ческому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

12.Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986.

13.Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. Ñ.-Ï.: 1994.

14.И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, книга 1. М.: Высшая школа, 2000.

15.И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, книга 2. М.: Высшая школа, 2000.

Методическая литература

3семестр

1.А.В.Абанин, Ю.С.Налбандян. Верхний и нижний пределы числовой последовательности. Методические указания по математическому анализу для студентов 1-2 курсов механико-математического факультета РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1998, 28 с.

2.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, И.С.Шабаршина. Числовые ряды. Методические указания к курсу лекций по математическому анализу для студентов второго курса механико-математического факультета РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2004, 36 с.

3.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, И.С.Шабаршина. Функциональные ряды. Методические указания к курсу лекций по математическому анализу для студентов второго курса механико-математического факультета РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2004, 43 с.

4.Ю.Ф.Коробейник, Ю.А.Кирютенко, В.В.Моржаков. Несобственные интегралы. Методические указания к курсу лекций ½Математический анализ“. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1985, 30 с.

5.Ю.Ф.Коробейник, Ю.А.Кирютенко, В.В.Моржаков. Интегралы, зависящие от параметра. Методические указания к курсу лекций ½Математический анализ“. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1986, 30 с.

14

6.А.В.Абанин, Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко. Ряды. Методические указания к лабораторным занятиям по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2004, 37 с.

7.А.В.Абанин, О.В.Епифанов, Ю.А.Кирютенко, Л.И.Спинко. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Методические указания к лабораторным занятиям. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1986, 30 с.

8.О.В.Епифанов, Ю.А.Кирютенко. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989, 22 с.

Методическая литература

4семестр

9.Ю.А.Кирютенко, В.В.Моржаков. Ряды Фурье. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета и слушателей ФПК. Ростов- на-Дону: УПЛ РГУ, 1994, 38 с.

10.Т.И.Коршикова, В.В.Моржаков. Мера Жордана в Rn. Методические указания к курсу лекций ½Математический анализ“. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1984, 30 с.

11.В.В.Моржаков, Т.И.Коршикова. Кратные интегралы Методические указания к курсу лекций ½Математический анализ“. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1986, 28 с.

12.Ю.А.Кирютенко, Т.И.Коршикова, В.А.Савельев. Спрямляемые кривые

èкриволинейные интегралы первого рода. Методические указания к курсу лекций по математическому анализу для студентов 2 курса механи-

ко-математического факультета и слушателей ФПК. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999, 40 с.

13.Ю.А.Кирютенко, Т.И.Коршикова, В.А.Савельев. Криволинейные интегралы второго рода и формула Грина. Методические указания к курсу

15

лекций по математическому анализу для студентов 2 курса механикоматематического факультета и слушателей ФПК. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999, 36 с.

14.Ю.А.Кирютенко, Т.И.Коршикова, В.А.Савельев. Поверхности и поверхностные интегралы. Часть 1. Методические указания для студентов 2 курса механико-математического факультета и слушателей ФПК. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2002.

15.Ю.А.Кирютенко, Т.И.Коршикова, В.А.Савельев. Поверхности и поверхностные интегралы. Часть 2. Методические указания для студентов 2 курса механико-математического факультета и слушателей ФПК. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2002.

16.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко. Определенный и кратный интегралы, их геометрические приложения. Часть 1. Методиче- ские указания к лабораторным занятиям по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета. Ростов- на-Дону:УПЛ РГУ, 1995, 36 с.

17.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко. Определенный и кратный интегралы, их геометрические приложения. Часть 2. Методиче- ские указания к лабораторным занятиям по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета. Ростов- на-Дону:УПЛ РГУ, 1995, 36 с.

18.Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко, В.А.Савельев. Определенный и кратный интегралы, их геометрические приложения. Часть 3. Методические указания к лабораторным занятиям по математиче- скому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999, 35 с.

16

Технология обучения студентов при модульном построении курса математического анализа (2 курс, 3-4 семестры)

Лекционный материал 3-го семестра разбит на 7 модулей, практиче- ских занятий на 6 модулей, а материал 4-го семестра разбит, соответственно, на 4 и 5 модулей. Так как лекции по теме ½Ряды Фурье “ читаются

в 3-ем семестре, а на практических занятиях данная тема изучается в 4- ом семестре, то отчетность по этой теме проводится в 4-ом семестре. Для каждого модуля определена форма промежуточного контроля (самостоятельная работа, контрольная работа, индивидуальное задание, коллоквиум), приведенные в следующей таблице:

17

Рекомендации по проведению промежуточного контроля

Самостоятельную работу рекомендуется проводить на практических занятиях в течение 40 минут, а контрольную работу в течение 80 минут. Индивидуальное задание следует выдавать студенту вместо домашнего задания. Коллоквиум в 3-ем семестре целесообразно провести по модулям 14-15 и 16-17, а в 4-ом семестре по модулям 20, 21-22.

Контрольные вопросы

Модуль 14.Верхний и нижний пределы числовой последовательности

14.1.Дайте определение частичного предела числовой последовательности.

14.2.Сформулируйте критерий того, что точка a R является частичным пределом числовой.

14.3.Сформулируйте критерий того, что множество частичных пределов числовой последовательности состоит из одного элемента.

14.4.Сформулируйте определение разбиения числовой последовательности {xn}∞n=1 íà m подпоследовательностей.

14.5.Пусть числовая последовательность {xn}∞n=1 разбивается на m подпоследовательностей, каждая из которых имеет предел aj, j = 1, m, è

ai 6= aj, если i 6= j. Укажите множество частичных пределов последовательности {xn}∞n=1.

14.6.Дайте определение верхнего (нижнего) предела числовой последовательности.

14.7.Всякая ли числовая последовательность имеет верхний (нижний) предел? Ответ обоснуйте.

14.8.Сформулируйте критерий того, что верхний предел числовой последовательности равен: +∞; −∞; a R.

14.9.Сформулируйте критерий существования предела числовой последовательности в терминах е¼ верхнего и нижних пределов.

14.10.Сформулируйте свойства верхнего и нижнего пределов числовой последовательности.

18

Модуль 15. Числовые ряды

15.1.Дайте определения числового ряда, его n-ой частичной суммы.

15.2.Дайте определения сходящегося (расходящегося) числового ряда и его суммы.

15.3.Является ли числовой ряд сходящимся, если его частичные суммы определены по правилу: Sn = (1 + (−1)n)n, n N?

15.4.Сформулируйте критерий Коши сходимости (расходимости) числового ряда.

15.5.Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда.

15.7.Сформулируйте простейшие свойства числовых рядов.

15.8.Дайте определение n-го остатка числового ряда. Какова связь между сходимость числового ряда и его остатков?

15.9.Сформулируйте критерий сходимости положительного числового ряда. Имеет ли он место для знакопеременных числовых рядов? Ответ обоснуйте примерами.

15.10.Сформулируйте признаки сравнения сходимости положительного числового ряда (в предельной и непредельной формах).

∞

15.11. Покажите на примерах, что если числовой ряд X an сходится, и

∞

15.13. Покажите на примерах, что если X an положительный числовой

∞

n=1

ðÿä, X bn сходящийся строго положительный числовой ряд, и

n=1

19

15.15. Сформулируйте признак Маклорена-Коши сходимости положительного числового ряда.

15.20.Сформулируйте признак Даламбера сходимости строго положительного числового ряда (в непредельной и предельной формах).

15.21.Сформулируйте признак Коши сходимости положительного числового ряда (в непредельной и предельной формах).

15.23. Дайте определение ряда лейбницевского типа.

20