УМК матан

15.24. Сформулируйте признак Лейбница сходимости числового ряда.

15.31.Дайте определение абсолютно сходящегося и условно сходящегося числового ряда.

15.32.Применим ли признак сравнения в непредельной форме к знако-

15.33.Сформулируйте сочетательное свойство сходящегося числового ря-

äà.

15.34.Сформулируйте переместительное свойство положительного числового ряда.

15.35.Сформулируйте переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда.

15.36.Обладают ли условно сходящиеся ряды переместительным свойством? Сформулируйте теорему Римана.

21

15.40.Сформулируйте теорему Коши о произведении абсолютно сходящихся числовых рядов.

15.41.Сформулируйте теорему Мертенса.

15.42.Дайте определения бесконечного числового произведения и его n-го частичного произведения.

15.43.Дайте определения сходящегося (расходящегося) бесконечного числового произведения и его значения.

15.44.Сформулируйте необходимое условие сходимости бесконечного числового произведения.

15.45.Сформулируйте критерии сходимости бесконечного числового произведения в терминах сходимости соответствующих числовых рядов.

15.46.Сформулируйте достаточный признак сходимости бесконечного числового произведения.

15.47.Дайте определение абсолютно сходящегося бесконечного числового произведения.

15.48.Сформулируйте критерий абсолютной сходимости бесконечного числового произведения.

22

Модуль 16. Функциональные последовательности и ряды

16.1.Дайте определения сходимости функциональной последовательности в точке, е¼ области сходимости и предельной функции.

16.2.Дайте определение поточечной сходимости функциональной последовательности {fn(x)}∞n=1 к функции f(x) на множестве X в терминах

”ε − N”.

16.3. Пусть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 определена на множестве X. Сформулируйте в позитивной форме утверждение: "Последовательность {fn(x)}∞n=1 не является поточечно сходящейся на множестве X".

16.4. Дайте определение равномерно сходящейся на множестве X функциональной последовательности {fn(x)}∞n=1 к функции f(x), приведите его геометрический смысл.

16.5. Сформулируйте в позитивной форме утверждение: "Функциональ- ная последовательность {fn(x)}∞n=1 не является равномерно сходящей-

ся к функции f(x) на множестве X".

16.6.Сформулируйте теоремы об арифметических операциях с равномерно сходящимися на множестве функциональными последовательностями.

16.7.Сформулируйте критерий равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве (в терминах супремумов).

16.8.Объясните, почему функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходится на множестве X к функции f(x), если выполнены

условия:

X

à) fn(x) → f(x) ïðè n → ∞;

á) {cn}∞n=1 : cn ≥ 0, |fn(x) − f(x)| ≤ cn, x X, n N, lim cn = 0.

16.9.Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве.

16.10.Сформулируйте в позитивной форме критерий Коши неравномерной сходимости функциональной последовательности на множестве.

16.11.Дайте определения сходимости (абсолютной сходимости) функционального ряда в точке, его области сходимости (области абсолютной сходимости).

23

16.12. Дайте определение поточечной сходимости функционального ряда на множестве.

16.13. Дайте определение равномерной сходимости функционального ряда на множестве.

16.14. Сформулируйте критерий равномерной сходимости функционального ряда (в терминах супремумов) на множестве.

16.15. Что можно сказать о равномерной сходимости функционального

∞

ðÿäà X fn(x) на множестве X, если функциональная последователь-

→ ∞

16.16. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда на множестве.

16.17. Сформулируйте необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда на множестве.

16.18. Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда на множестве.

16.19. Что можно сказать о равномерной сходимости функционального ря-

∞

äà X fn(x) на множестве X, если |fn(x)| ≤ cn, x X, n N, è ðÿä

∞ n=1

X

cn сходится?

n=1

∞

16.20. Приведите примеры функциональных рядов X fn(x), для которых

n=1

sup |fn(x)| → 0, n → ∞, но ряд не является равномерно сходящимся

x X

на множестве X, и ряд, который равномерно сходится на множестве

X.

16.21. Дайте определение равномерно ограниченной на множестве функциональной последовательности. Приведите пример функциональной последовательности, которая не является равномерно ограниченной на множестве.

16.22. Сформулируйте признак Дирихле равномерной сходимости функ-

∞

ционального ряда X an(x)bn(x) на множестве.

n=1

24

16.23. Сформулируйте признак Абеля равномерной сходимости функцио-

∞

нального ряда X an(x)bn(x) на множестве.

n=1

16.24.Сформулируйте теорему о пределе предельной функции функциональной последовательности.

16.25.Сформулируйте теорему о непрерывности предельной функции функциональной последовательности в точке и на множестве. Что можно сказать о характере сходимости функциональной последовательности непрерывных на множестве функций к разрывной функции?

16.26.Сформулируйте теорему о предельном переходе к пределу в функциональном ряде и теорему о непрерывности суммы функционального ряда в точке и на множестве.

16.27.Сформулируйте теорему Дини для функциональной последовательности (ряда).

16.28.Сформулируйте теорему об интегрировании функциональной последовательности .

16.29.Сформулируйте теорему о почленном интегрировании функционального ряда.

16.30.Сформулируйте теорему о дифференцировании функциональной последовательности.

16.31.Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.

Модуль 17. Степенные ряды

17.1.Дайте определение степенного ряда. Почему область сходимости степенного ряда не пуста?

17.2.Сформулирууйте первую теорему Абеля теории степенных рядов. Что можно сказать о множестве точек, в которых степенной ряд рас-

ходится, если существует точка x0, в которой ряд расходится?

17.3.Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда R. Укажите поведение степенного ряда в зависимости от величины R.

17.4.Сформулируйте определение интервала и области сходимости степенного ряда.

25

17.5. Сформулируйте теорему Коши-Адамара.

17.7 Найдите радиус сходимости следующих степенных рядов:

n! (x − 1)n.

n=1 nn

17.8.∞Сформулируйте теоремы о равномерной сходимости степенного ряда

X

anxn внутри интервала сходимости и на отрезках [−R, 0], [0, R], ãäå

n=1

R (0, +∞), R радиус сходимости степенного ряда.

17.9.Что можно сказать о непрерывности суммы степенного ряда, если его радиус сходимости R 6= 0?

17.10.Сформулируйте вторую теорему Абеля теории степенных рядов.

17.11.Сформулируйте теорему о почленном интегрировании степенного ряда.

17.12.Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.

17.13.Если степенной ряд имеет ненулевой радиус сходимости, то что можно сказать о непрерывной дифференцируемости суммы степенного ряда?

17.14.Дайте определение разложения функции в степенной ряд на множестве.

17.15.Сформулируйте необходимое условие разложения функции в степенной ряд на множестве и теорему о единственности разложения.

26

17.16. Дайте определение ряда Тейлора функции в точке a (по степеням (x − a)). Всегда ли сумма ряда Тейлора функции f совпадает с функцией f?

17.17.Сформулируйте критерий и достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.

17.18.Укажите ряды Тейлора для основных элементарных функций: ex, sin x, cos x, (1 + x)α, α R\{0}, ln(1 + x).

Модуль 18. Несобственные интегралы

18.1.Дайте определение функции, локально интегрируемой на промежут- ке. Является ли функция f(x) = x1 локально интегрируемой на интервале (0, +∞)?

18.2.Какова связь между классом локально интегрируемых функций на [a, b] Rloc[a, b] и классом функций, интегрируемых по Риману на [a, b],

R[a,b]?

18.3.Пусть f Rloc[a, b), b R. Укажите условие, при котором f R[a,b].

18.4.Пусть f : [a, b) → R. Что означает факт: ½Точка b единственная особая точка функции f на промежутке [a, b)“?

18.5.Укажите особые точки функций:

à)f(x) = arctg x, x [0, +∞);

1

á) f(x) = (2 − x)3 , x [1, 2);

x

â) f(x) = (x + 1) sin x, x (−1, 0);

arcsin x

(x2 + x), x (0, +∞).

18.6. Дайте определение сходящегося (расходящегося) несобственного ин-

Zb

теграла f(x)dx, åñëè f Rloc[a, b).

a

27

18.7. Укажите α R, при которых:

18.8.Сформулируйте теорему об арифметических операциях со сходящимися несобственными интегралами.

18.9.Что можно сказать об интегрируемости в несобственном смысле функции f + ϕ на [a, b), если f R[a,b), à ϕ / R[a,b)?

18.10. Пусть f Rloc[a, b), c (a, b). Сформулируйте теорему о сходимо-

Zb Zb

сти несобственных интегралов f(x)dx è f(x)dx.

ac

18.11.Сформулируйте критерий Коши сходимости (расходимости) несоб-

Zb

ственного интеграла f(x)dx, åñëè f Rloc[a, b).

a

18.12. Можно ли утверждать, что если f Rloc[a, b) и несобственный ин-

18.13.Сформулируйте теорему об интегрировании по частям несобственного интеграла с единственной особой точкой.

18.14.Сформулируйте формулу типа Ньютона-Лейбница интегрирования несобственного интеграла с единственной особой точкой.

18.15.Сформулируйте теорему о замене переменной в несобственном интеграле с единственной особой точкой.

18.16.Сформулируйте критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.

18.17.Сформулируйте признак сравнения (в непредельной и предельной формах) сходимости несобственного интеграла.

18.18.Что можно сказать о сходимости (расходимости) несобственного ин-

28

18.19. Укажите связь между сходимостью несобственных интегралов

Zb Zb

f(x)dx è |f(x)|dx, åñëè f Rloc[a, b).

aa

18.20.Дайте определение абсолютно сходящегося и условно сходящегося несобственного интеграла. Приведите соответствующие примеры.

18.21.Сформулируйте признак Дирихле сходимости несобственного инте-

Zb

грала f(x)ϕ(x)dx с единственной особой точкой x = b. Можно ли

a

утверждать, что несобственный интеграл сходится, если условия признака Дирихле выполнены в некоторой полуокрестности точки x = b?

18.22 Сформулируйте признак Абеля сходимости несобственного интегра-

Zb

ëà f(x)ϕ(x)dx с единственной особой точкой x = b.

a

18.23 Целесообразно ли применять признаки Абеля и Дирихле при ис-

функции f, и ϕ неотрицательны на промежутке [a, b)?

18.24.Дайте определение сходящегося (расходящегося) несобственного интеграла с особой точкой внутри промежутка интегрирования.

18.25.Дайте определение сходящегося (расходящегося) несобственного интеграла с несколькими особыми точками.

Модуль 19. Интегралы, зависящие от параметра

19.1.Дайте определение поточечной сходимости функции двух переменных f(x, y) на множестве X при y → y0.

19.2.Дайте определение предельной функции функции двух переменных f(x, y) на множестве X при y → y0.

19.3.Что понимают под множеством сходимости функции f(x, y) при y → y0?

19.4.Дайте определение в терминах ½ ε − δ“ поточечной сходимости функ-

ции f(x, y) к ϕ(x) на множестве X при y → y0, åñëè y0 R (y0 = +∞, y0 = −∞)?

29

19.5. Что означает в позитивной форме в терминах ½ ε−δ“ факт: Функция ϕ(x) не является предельной функцией функции f(x, y) на множестве

Xïðè y → y0 (y0 R) ?

19.6.Дайте определение в терминах окрестностей и ½ ε − δ“ равномерной сходимости функции f(x, y) к предельной функции ϕ(x) на множестве

Xïðè y → y0 (в случаях, если y0 R, y0 = +∞, y0 = −∞).

19.7.Что означает в позитивной форме в терминах ½ ε−δ“ факт: Функция f(x, y) неравномерно сходится к предельной функции ϕ(x) на множе-

ñòâå X ïðè y → y0 ?

19.8. Пусть функция f(x, y) сходится равномерно к функции ϕ(x) на множестве X при y → y0 è X1 X. Что можно сказать о характере сходимости функции f(x, y) к функции ϕ(x) на множестве X1 ïðè y → y0?

19.9. Пусть функции f(x, y) и g(x, y) определены на множестве X Ч Y R2x,y и выполняются условия:

1)функция f(x, y) сходится равномерно к функции ϕ(x) на множестве X при y → y0;

2)функция g(x, y) сходится равномерно к функции ψ(x) на множестве X при y → y0;

3) y Y функция f непрерывна по x в точке x0 X.

При каких дополнительных ограничениях на функцию g(x, y) можно утверждать, что функция ϕ(x) + ψ(x) непрерывна в точке x0?

19.10. Пусть функция f(x, y) сходится равномерно к функции ϕ(x) на мно- жестве X1 ïðè y → y0 è X2 ïðè y → y0. Можно ли утверждать, что функция f(x, y) сходится равномерно к функции ϕ(x) на множестве

X1 X2 ïðè y → y0?

19.11. Пусть f C([a, b] Ч[c, d]). Укажите предельную функцию функции f(x, y) на [a, b] при y → y0 (y0 [c, d]) в случае е¼ существования, каков характер сходимости функции f(x, y) к предельной функции на [a, b] ïðè y → y0? Является ли предельная функция непрерывной на отрезке [a, b]? Ответ обоснуйте.

19.12.Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функции f(x, y) к предельной на множестве X при y → y0.

19.13.Укажите в позитивной форме критерий Коши неравномерной сходимости функции f(x, y) к предельной на множестве X при y → y0.

30