УМК матан

21.27. Какое множество в R3 называют телом вращения? Является ли тело вращения измеримым по Жордану в R3? Укажите его меру.

Модуль 22.Кратные интегралы

22.1.Дайте определения: разбиения τΠ параллелепипеда Π Rn; ячейки разбиения; диаметра разбиения d(τΠ).

22.2.Укажите свойства разбиения τΠ параллелепипеда Π Rn.

22.3.Дайте определение интегральной суммы Sf (τΠ, ξ) функции f, составленной по разбиению τΠ параллелепипеда Π и выборке ξ.

22.5.Дайте определения функции, интегрируемой по параллелепипеду, кратного интеграла по параллелепипеду.

22.6.Пусть RΠ класс всех функций, интегрируемых по параллелепипеду

ΠRn. Докажите, что он не пуст.

22.7.Укажите необходимое условие интегрируемости функции по параллелепипеду. Является ли оно достаточным? Приведите соответствующий пример.

22.8.Пусть функция f ограничена на параллелепипеде Π Rn. Дайте

определение верхней и нижней сумм Дарбу функции f, построенных по разбиению τΠ параллелепипеда Π Rn. Укажите их свойства.

22.9.Сформулируйте критерий Дарбу интегрируемости функции f по па- раллелепипеду Π Rn, укажите его различные формы.

22.10.Пусть Π Rn, f C(Π), что можно сказать об интегрируемости f на Π?

22.11.Дайте определение лебегова-нуль множества (лнж) в Rn. Укажите свойства лнм в Rn.

22.12.Сформулируйте критерий Лебега интегрируемости функции по параллелепипеду в Rn.

22.13.Сформулируйте теорему об интегрировании измененной на жнм функции.

41

22.15.Дайте определения функции , интегрируемой по измеримому мно- жеству в Rn, и кратного интеграла по измеримому множеству.

22.16.Является ли определение кратного интеграла по измеримому мно- жеству в Rn корректным?

22.17.Укажите необходимое условие интегрируемости функции по измеримому множеству в Rn.

22.18.Сформулируйте критерий Лебега интегрируемости функции по измеримому множеству в Rn.

22.19.Какую функцию называют характеристической функцией множества, ограниченного в Rn?

22.20.Сформулируйте критерий измеримости множества по Жордану в Rn в терминах его характеристической функции.

22.21.Докажите формулу вычисления меры Жордана измеримого множества в Rn.

22.22.Укажите свойства кратного интеграла по измеримому множеству: линейность; интегрируемость произведения; интегрирование неравенства f(x) ≤ g(x); интегрирование по жнм, интегрирование |f(x)| и

оценку модуля интеграла; интегрирование по измеримому подмножеству; аддитивность; интегрирование по внутренности и замыканию множества.

22.23. Сформулируйте теорему Фубини для параллелепипедов в Rn.

ZΠ×Q

f(x, y)dy? Приведите пример.

Q

22.25. Сформулируйте теорему о вычислении кратного интеграла по измеримому множеству специального вида. Укажите е¼ частные случаи для n = 2, n = 3.

22.26. Сформулируйте теорему Фубини для декартова произведения жордановых множеств в Rn.

42

22.27.Дайте определение непрерывного (непрерывно дифференцируемого) продолжения функции на границу множества.

22.28.Сформулируйте теорему о замене переменных в кратном интеграле.

22.29.Укажите формулы перехода в кратном интеграле от декартовых координат: к полярным координатам в R2; к цилиндрическим коорди-

натам в R3; к сферическим координатам в R3.

Модуль 23. Кривые в Rn и криволинейные интегралы

23.1.Дайте определения: непрерывной кривой в Rn; носителя кривой в Rn (непрерывной линии в Rn, соответствующей кривой).

23.2.Что называется началом (концом) непрерывной кривой ϕ : [a, b] → Rn? Какая кривая называется замкнутой?

23.3.Какая кривая называется простой?

23.4.Какая кривая называется прямолинейным отрезком в Rn ?

23.5.Какое множество L Rn называется непрерывной (непрерывно дифференцируемой) параметризованной линией в Rn?

23.6.Дайте определение эквивалентных непрерывных кривых в Rn.

23.7.Укажите свойства эквивалентных непрерывных кривых в Rn.

23.8.Дайте определения: ломаной в Rn; ломаной, вписанной в непрерыв- ную кривую ϕ : [a, b] → Rn; длины ломаной.

23.9.Какая кривая ϕ : [a, b] → Rn называется спрямляемой? Что называется длиной спрямляемой кривой?

23.10.Какая линия L Rn называется спрямляемой?

23.11.Пусть кривая ϕ спрямляема в Rn, и ϕ ψ. Что можно сказать о спрямляемости кривой ψ и е¼ длине?

23.12.Какая кривая в Rn называется объединением кривых ϕ1 è ϕ2?

23.13.Сформулируйте свойство спрямляемости объединеия кривых в Rn.

23.14.Дайте определение дуги кривой Rn.

23.15.Сформулируйте свойство спрямляемости дуги кривой в Rn.

43

23.16.Следует ли из непрерывности кривой е¼ спрямляемость? Приведите пример.

23.17.Сформулируйте теорему о достаточных условиях спрямляемости кривой в Rn.

23.18.Дайте определение функции длины дуги спрямляемой кривой в Rn.

23.19.Сформулируйте теорему о непрерывной дифференцируемости функции длины дуги непрерывно дифференцируемой кривой Rn.

23.20.Укажите формулу вычисления длины непрерывно дифференцируемой кривой в Rn.

23.21.Пусть f C1([a, b]), укажите формулу вычисления длины е¼ графика f .

23.22.Пусть r C1([α, β)) ([α, β] [0, 2π]), укажите формулу вычисления длины r = {(r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ) R2 : ϕ [α, β]}.

23.23.Дайте определение гладкой (кусочно гладкой) кривой в Rn.

23.24.Дайте определение натуральной параметризации гладкой линии в Rn, сформулируйте лемму о е¼ существовании.

23.25.Всякая ли гладкая параметризованная линия в Rn имеет гладкую натуральную параметризацию, эквивалентную данной?

23.26.Пусть ϕ : [a, b] → Rn спрямляемая кривая, L = ϕ([a, b]), τ разбиение отрезка [a, b]. Дайте определения разбиения линии L и диаметра разбиения l(τ), соответствующих τ. Как связаны диаметры разбиения l(τ) и d(τ)?

23.27.Дайте определения: функции, определенной на кривой; функции непрерывной (кусочно непрерывной) вдоль кривой.

23.28.Дайте определение интегральной суммы σf (τ, ξ) функции f по спрямляемой кривой ϕ : [a, b] → Rn, соответствующей разбиению τ отрезка

[a, b] и выборке ξ.

23.29. Что означает факт: lim σf (τ, ξ) = I( R)?

l(τ)→0

23.30. Дайте определения функции f, интегрируемой по спрямляемой кривой; криволинейного интеграла 1-го рода от функции f по спрямляемой кривой.

44

23.31.Сформулируйте теорему о достаточных условиях существования криволинейного интеграла 1-го рода и укажите формулу его вычисления.

23.32.Укажите основные свойства криволинейного интеграла 1-ãî ðîäà.

23.33.Дайте определение ориентируемой линии в Rn. Что означает, что непрерывная параметризованная линия в Rn положительно, (отрица-

тельно) ориентирована?

23.34. Пусть ϕ : [a, b] → R3 непрерывная кривая, на линии L = ϕ([a, b])

выбрано положительное направление; функция P определена на L. Дайте определение интегральной суммы σLf + (τ, ξ, x), составленной по функции P , положительно ориентируемой линии L, разбиению τ от-

резка [a, b] и выборке ξ.

23.36. Дайте определение криволинейного интеграла 2-го рода в R3 îò функции P (x, y, z) по переменной x (или от дифференциальной формы P dx) по положительно ориентируемой линии L.

23.39. ДайтеZ определение полного криволинейного интеграла 2-го рода в

R3 P dx + Qdy + Rdz.

L+

23.40. Сформулируйте теорему о достаточных условиях существования криволинейного интеграла 2-го рода и укажите формулу его вычисления.

23.41. Укажите свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

23.42. Имеют ли место для криволинейного интеграла 2-го рода свойства, связанные с неравенствами, и теорема о среднем?

23.43. Пусть L отрезок прямой в R2, перпендикулярный оси Ox, функ-

Z

ция P опеределена на L. Докажите, что P dx = 0.

L+

45

23.44.Укажите связь между криволинейными интегралами 1-ãî è 2-ãî ðî-

äà.

23.45.Какое множество G Rn называют линейно связным?

23.46.Какое множество G Rn называют областью?

23.47.Что означает факт: ½Область G R2 имеет непрерывную (гладкую, кусочно гладкую) границу?“

23.48.Что означает факт: ½Граница области G R2 положительно (отри- цательно) ориентирована?“

23.49.Какая область G R2 называется областью типа Tx (Ty)?

23.50.Какая область G R2 называется областью типа T ?

23.51.Сформулируйте формулу Грина для областей типа T .

23.52.Сформулируйте формулу Грина для объединения конечного числа областей типа T .

23.53.Какая область G R2 называется односвязной (многосвязной)?

23.54.Сформулируйте формулу Грина для многосвязной области.

23.55.Укажите формулу вычисления площади ограниченной области G R2 с кусочно гладкой замкнутой, простой границей, используя криво-

линейный интеграл 2-го рода.

23.56.Сформулируйте теорему о независимости криволинейного интеграла 2-го рода от линии интегрирования.

23.57.Сформулируйте теорему о существовании непрерывно дифференцируемой в области функции u такой, что du = P dx + Qdy.

23.58.Является ли требование односвязности области существенным для справедливости предыдущей теоремы? Приведите пример.

46

Модуль 24. Поверхности и поверхностные интегралы

24.1.Дайте определения: поверхности в R3, заданной параметрически; па- раметров поверхности; е¼ параметризации.

24.2.Дайте определение элементарной гладкой поверхности (ЭГП)в R3, заданной параметрически.

24.3.Какие параметризации ЭГП в R3 называются эквивалентными?

24.4.Сформулируйте лемму об ЭГП в R3 с явным заданием.

24.5.Сформулируйте лемму о том, что каждая ЭГП, заданная парамет- рически в R3, локально является ЭГП с явным заданием.

24.6.Дайте определение ЭГП в R3 с краем (гладким, кусочно гладким). Какое множество называется е¼ краем?

24.7.Является ли ЭГП в R3 с явным заданием ЭГП с краем? Укажите множество, которое является е¼ краем.

24.8. Пусть множество S = {(x, y, z) R3 : z = x2 + y2, (x, y) Ω}, ãäå Ω = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 4}. Является ли S ЭГП с краем? Какое множество является е¼ краем?

24.9.Приведите пример поверхности в R3, которая не является ЭГП.

24.10.Дайте определение Z-цилиндрической поверхности в R3.

24.11.Пусть S ЭГП в R3 с явным заданием. Точка M S. Выпишите:

уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M; векторы единичной нормали n± к поверхности S в точке M.

24.12.Дайте определение площади ЭГП с явным заданием в R3.

24.13.Сформулируйте теорему о квадрируемости ЭГП с явным заданием â R3 и укажите формулу вычисления е¼ площади.

24.14.Сформулируйте теорему о квадрируемости ЭГП, заданной парамет- рически в R3, и укажите формулу вычисления е¼ площади.

24.15.Зависит ли площадь ЭГП в R3 от выбора (эквивалентной) параметризации?

24.16.Дайте опеределение гладкой поверхности в R3 .

24.17.Дайте определения: гладкой поверхности в R3 с краем (гладким, кусочно гладким); края гладкой поверхности.

47

24.18.Дайте определения: кусочно гладкой поверхности в R3 è å¼ êðàÿ.

24.19.Какая кусочно гладкая поверхность в R3 называется замкнутой?

24.20.Что понимают под площадью кусочно гладкой поверхности в R3?

24.21.Дайте определения: ориентируемой (двусторонней) гладкой поверх- ности в R3; стороны гладкой поверхности; е¼ ориентации.

24.22.Сформулируйте лемму об ориентируемости ЭГП в R3.

24.23.Пусть S ЭГП в R3, заданная параметрически. Укажите е¼ ориентации.

24.24.Пусть S ЭГП с явным заданием в R3. Укажите е¼ ориентации.

24.25.Приведите пример гладкой неориентируемой поверхности.

24.26.Пусть S ЭГП с кусочно гладким краем s â R3.Что означает, что ориентации поверхности S и е¼ края s согласованы?

24.27.Дайте определение гладкой ориентируемой с краем поверхности в

R3.

24.28.Пусть Ω открытое, измеримое по Жордану множество в R2. Дайте определение разбиения τΩ множества Ω.

24.29.Пусть Ω открытое, измеримое по Жордану множество в R2,

S = {r(u, v) : (u, v) Ω} ЭГП, функция f : S → R. Дайте определение интегральной суммы, составленной по функции f, поверхности S, разбиению τΩ = {Ωj} множества Ω и произвольной выборке

{Kj} (Kj Ωj).

24.30.Дайте определение поверхностного интеграла 1-ãî ðîäà.

24.31.Сформулируйте теорему о достаточных условиях существования поверхностного интеграла 1-го рода, и укажите формулы его вычисления: для ЭГП; для ЭГП, имеющей явное задание.

24.32.Укажите свойства поверхностного интеграла 1-ãî ðîäà.

24.33.Дайте определение поверхностного интеграла 2-го рода от дифференциальных форм: P (x, y, z)dydz, Q(x, y, z)dxdz, R(x, y, z)dxdy, по

выбранной стороне ЭГП.

24.34. Дайте определение полного поверхностного интеграла 2-го рода по выбранной стороне ЭГП.

48

24.35.ZZКак связаны поверхностные интегралыZZ 2-ãî ðîäà

24.36.Сформулируйте теорему о достаточных условиях существования поверхностного интеграла 2-го рода и укажите формулы его вычисления: для ЭГП; для ЭГП с явным заданием.

24.37.Укажите связь между поверхностными интегралами 1-ãî è 2-ãî ðî-

äà.

24.38.Дайте определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода для кусочно гладких поверхностей.

24.39.Дайте определение Z-цилиндрического (Y -цилиндрического,

X-цилиндрического) òåëà â R3, укажите поверхность, являющуюся его границей.

24.40.Сформулируйте теорему Гаусса-Остроградского.

24.41.Сформулируйте теорему Стокса.

24.42.Дайте определение поверхностно односвязной области в R3. Являет- ся ли поверхностно односвязной областью: R3: часть шара, отсекаемая

плоскостью; шар с выброшенным центром; тор?

24.43.Дайте определение поля (непрерывного, дифференцируемого, непрерывно дифференцируемого) на области G R3.

24.44.Что называется потоком векторного поля a через кусочно гладкую, ориентируемую поверхность S в направлении е¼ ориентации n+?

24.45.Какую скалярную функцию называют дивергенцией дифференцируемого поля?

24.46.Сформулируйте теорему (формулу) Гаусса-Остроградского в терминах потока и дивергенции непрерывно дифференцируемого векторного поля.

24.47.Какой вектор называют ротором (вихрем) дифференцируемого векторного поля?

24.48.Какой криволинейный интеграл называют циркуляцией векторного поля?

24.49.Сформулируйте теорему (формулу) Стокса в терминах потока ротора и циркуляции непрерывно дифференцируемого векторного поля.

49

24.50.Какое векторное поле называется потенциальным? Дайте определение потенциала векторного поля.

24.51.Пусть G R3 поверхностно односвязная область, укажите утверждения, равносильные тому, что непрерывно дифференцируемое на G векторное поле a(P, Q, R) является потенциальным.

Задания для самостоятельной работы

Модуль 14. Верхний и нижний пределы числовой

последовательности

14.1. Докажите, что для произвольной числовой последовательности {xn}∞n=1 множество е¼ частичных пределов P ({xn}) имеет максималь-

ный и минимальный элементы, то есть sup P ({xn}) P ({xn}) è inf P ({xn}) P ({xn}).

14.2. Докажите, что если числовая последовательность {xn}∞n=1 допускает

разбиение на m (m N) подпоследовательностей {x(j)}∞ , j = 1, m,

nk k=1

каждая из которых имеет придел aj(ai 6= aj, i 6= j) òî P ({xn}) =

{a1, . . . , am}.

14.3. Пусть {xn}∞n=1 занумерованная в каком либо порядке последова- тельность всех рациональных чисел из (0, 1). Докажите, что P ({xn}) =

[0, 1].

14.4. Укажите множество частичных пределов следующих числовых по-

50