8.4 Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

8.4.1 Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

1. ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;

2. ограничения сверх длины очереди;

3. ограничения общего времени пребывания заявки в системе.

8.4.2Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

P₀=1 : {Σ ρ^к/к!+ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)^m]}

n – число каналов;

m – длина накопителя;

ρ – интенсивность нагрузки;

К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

2. Вероятность отказа в обслуживании: P_отк= ρ^n+m/n!n ^m*P₀

3. Вероятность обслуживания: Р_обс= 1- P_отк

4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Р_обс

5. Среднее число занятых каналов: _

n₃=A/μ= λ Р_обс/μ=ρ Р_обс, где ρ=λ/ μ

6. Среднее число заявок в очереди:

_

L_оч= ρⁿ⁺¹/n*n! * 1-(ρ/n)^m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)² * P₀

7. Среднее время ожидания обслуживания: _ _

t_оч= L_оч/λ

_ _ _

8. Среднее число заявок в системе: z= L_оч+ n₃

_

9. Среднее время пребывания в системе: t_смо= z/λ

8.5 Примеры решения задач.

Пример № 1.

Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

Определить характеристики дежурного администратора как системы массового обслуживания.

Решение:

1. Классифицировать СМО:

• с отказами (нет накопителя);

• многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).

2. Обозначения:

λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)

n – число каналов (n=5);

μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ t_обс)

t_обс – среднее время обслуживания (t_обс=2мин)

ρ – интенсивность нагрузки;

k – номер заявки (число заявок), k=n=5;

Р₀ – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Р_отк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;

Р_обс – вероятность обслуживания.

n_з = ρ* Р_обс - среднее число занятых обслуживанием каналов.

к_з = n_з / n - для каналов, занятых обслуживанием.

А = λ Р_обс - абсолютная пропускная способность СМО.

3. Определяем характеристики данной СМО:

а) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = 3/2 * 2 = 3

_n

б) Р_о= 1/ (Σρ^к/к!) = 1/ (ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+(ρ³/3!)+(ρ⁴/4!)+(ρ⁵/5!)=

^к=0

=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+

+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054

в) Р_отк= ρⁿ/ n!* Р_о= (3⁵/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=

= (243/120)*0,054=0,12

г) Р_обс = 1- Р_отк= 1-0,12=0,88

д) n_з = ρ*Р_обс= 3*0,88=2,6

е) к_з = n_з / n = 2,6/5=0,52

ж) А = λ Р_обс = (3/2)*0,88 = 1,31.

Пример № 2.

На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.

Определить характеристики этой СМО.

Решение:

1) Классифицируем СМО:

- с ограниченной длиной очереди

- с накопителем

- многоканальная

- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

2) Обозначения:

m=2 - длина накопителя

n=2 - число каналов

Остальные обозначения - как в Примере № 1.

3) Определяем характеристики данной СМО:

а) λ = 1/3;

б) t_обс = 2 мин;

в) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = (1/3)*2=2/3.

г) Вероятность простоя каналов:

_n

Р_о= 1/(Σρ^к/n!)+ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)^m]= 1/ ((ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+

^к=0

+(ρ²⁺¹/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)²]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)²/(1*2) )+

+( (2/3)³/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52

д) Вероятность отказа в обслуживании:

Р_отк= ρ^n+m/ n!n^m*Р_о= ( (2/3)⁴/1*2*2² )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013

е) Вероятность обслуживания:

Р_обс = 1- Р_отк= 0,987

ж) Абсолютная пропускная способность:

А = λ Р_обс= 0,987*1/3=0,33

з) Среднее число занятых каналов:

n_з = ρ*Р_обс= 2/3*0,987=0,658

Для каналов, занятых обслуживанием:

к_з = 0,658/2=0,329.

и) Среднее число заявок в очереди:

_

L_or= ρⁿ⁺¹/n*n! * ( 1-(ρ/n)^m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)² * Р_о

_

L_or =( (2/3)³/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)² )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)²) *0.52

=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14

к) Среднее время ожидания обслуживания:

_

t_or= L_or/ λ = 0.14/0.33=0.42

л) Среднее число заявок в системе:

_

Z= L_or+ n_з =0,14+0,66=0,8

м) Среднее время пребывания в системе:

t_смо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или t_смо= t_or+ t_oбс= 0,42+2=2,42 мин

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?

2. Какие блоки включает схема СМО?

3. Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?

4. На какие классы делятся СМО в зависимости от :

а) характера потоков,

б) числа каналов,

в) дисциплины обслуживания,

г) ограничения потока заявок,

д) количества этапов обслуживания?

5. Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?

6. Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица измерения этого показателя?

7. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами ?

8. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?

9. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?