6.3. Задача распределения средств на 1 год.

Пример: имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный капитал S₀=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по каждому предприятию.

Х	1 предприятие f (х1)	2 предприятие f (х2)	3 предприятие f (х3)	4 предприятие f (х4)
20	3	2	3	3
40	4	5	4	6
60	9	8	9	8
80	11	7	5	7
100	12	15	12	14

Решение:

Схема решения:

4предприятия Условная оптимизация

денег всего S₀=80

S_o____Iпр____S₁____IIпр_____S₂____IIIпр____S₃____IVпр________S₄

1шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг

х₁ х₂ х₃ х₄

f(x₁) f(x₂) f(x₃) f(x₄)

F₄=max{f(x₄)}

Безусловная F₃=max{ f(x₃)+F₄}

Оптимизация F₂=max{ f(x₂)+F₃}

F₁=max{ f(x₁)+F₂}

Используется принцип Беллмана:

Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление , выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом.

математическая модель прямой задачи:

Экономический смысл переменных:

x_i – количество денег, вкладываемых в i предприятие.

S_i – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);

F(x_i) – прибыль от вложенной суммы денег;

S₀ – начальный капитал.

Рассмотрим 4-й шаг:

На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить следующую.

S3	Х4	f (x4)	F4
0	0	0	0
20	20	3	3
40	40	6	6
60	60	8	8
80	80	7	7
100	100	14	14

Рассмотрим 3-й шаг:

На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);

60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).

Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага

Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.

Вклад	Проект	Остаток	Прибыль из матрицы	Прибыль за шаг		Прибыль на шаге
S2	Х3	S3	f (x3)	F4	f+F	F3
0	0	0	0	0	0	0
20	0	20	0	3	3	3
	20	0	3	0	3
40	0	40	0	6	6	6
	20	20	3	3	6
	40	0	4	0	4
60	0	60	0	8	8	9
	20	40	3	6	9
	40	20	4	3	7
	60	0	9	0	9
80	0	80	0	7	7	12
	20	60	3	8	11
	40	40	4	6	10
	60	20	9	3	12
	80	0	5	0	5
100	0	100	0	14	14	15
	20	80	3	7	10
	40	60	4	8	12
	60	40	9	6	15
	80	20	5	3	8
	100	0	12	0	12

Рассмотрим 2-й шаг.

Вклад	Проект	Остаток	Прибыль из матрицы	Прибыль за шаг		Прибыль на шаге
S1	Х2	S2	f (x2)	F3	f+F	F2
0	0	0	0	0	0	0
20	0	20	0	3	3	3
	20	0	2	0	2
40	0	40	0	6	6	6
	20	20	2	3	5
	40	0	5	0	5
60	0	60	0	9	9	9
	20	40	2	6	8
	40	20	5	3	8
	60	0	8	0	8
80	0	80	0	12	12	12
	20	60	2	9	11
	40	40	5	6	11
	60	20	8	3	11
	80	0	7	0	7
100	0	100	0	15	15	15
	20	80	2	12	14
	40	60	5	9	14
	60	40	8	6	14
	80	20	7	3	10
	100	0	15	0	15

Рассмотрим 1-й шаг.

Вклад	Проект	Остаток	Прибыль из матрицы	Прибыль за шаг		Прибыль на шаге
S1	Х2	S2	f (x2)	F3	f+F	F2
100	0	100	0	15	15	15
	20	80	3	12	15
	40	60	4	9	13
	60	40	9	6	15
	80	20	11	3	14
	100	0	12	0	12

Анализ результатов:

Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:

1. 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.

2. 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.

3. 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

4. 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

5. 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.