2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка

2.1. Методы понижения порядка уравнения

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения (1.1) является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и:(или– общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка).Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, то есть всякие два решения с общим начальным условием совпадают на пересечении интервалов, на которых определяются уравнения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удаётся далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удаётся понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной . Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

, (1.2)

то есть в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная . Это позволяет принятьза новый аргумент, а производную 1-го порядкапринять за новую функцию. Тогда

Таким образом, уравнение 2-го порядка для функции, не содержащее явно, свелось к уравнению 1-го порядкадля функции. Интегрируя это уравнение, получаем общий интегралили, а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения (1.2), зависящий от двух произвольных постоянных:

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях:

Решение. Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент , то примем за новую независимую переменную, а– за. Тогдаи уравнение для функцииприобретает следующий вид:

Последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, а значит

.

Отсюда следует , то есть.

Так как при начальном условии и, то подставляя эти данные в последнее равенство, получаем, чтои, откуда. В результате для функцииимеем уравнение с разделяющимися переменными, решая которое получаем. Используя начальные условия, получаем, что. Следовательно, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид:

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции .Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , то есть в уравнение явно не входит искомая функция . В этом случае вводят подстановку . Тогда и уравнение 2-го порядкадля функциистановится уравнением 1-го порядкадля функции. Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции: Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения зависящий от двух произвольных постоянных:

Пример 2. Найти общее решение уравнения: .

Решение. В данное уравнение 2-го порядка явно не входит искомая функция , следовательно, делаем замену:иВ результате чего получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции:

или

.

Полученное уравнение является линейным уравнением. Решая его, получаем: или. Итак, для функцииполучили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:, откуда следует общее решение исходного уравнения:.

3. Порядок степени понижается, если удаётся преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по x от каких-нибудь функций.

Например, рассмотрим уравнение . Разделяя обе части наполучаем

.

А, следовательно, порядок уравнения понижен.