4.6. Метод вариации произвольных постоянных

Применим метод вариации постоянных, описанный ранее, для решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (5.1).

Общее решение соответствующей однородной системы (3.1) задаётся парой выражений:

,

где и– произвольные постоянные. Будем искать решение системы (5.1) в виде

(6.1)

где и– функции, подлежащие определению.

Подставим выражения (6.1) в систему (5.1), получим:

.

Откуда получаем .

Аналогично получаем второе уравнение для функций :

.

Итак, для производных имеем систему уравнений

, (6.2)

определитель которой есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений системы (3.1), который не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Поэтому, решая систему (6.2), однозначно определяютсяи:

и .

Интегрируя эти выражения и подставляя результат в систему (6.1), получим ответ.