Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Показанную на рис. 62 зависимость x(t) можно интерпретировать наглядно, рассматривая модель водяного колеса, динамика которого, как было показано ранее, описывается уравнениями Лоренца. В этом случае переменная x отвечает за скорость вращения колеса. Из рис. 62 видно, что величина скорости вращения не остаётся постоянной, а, наоборот, меняется с течением времени по сложному закону, содержащему осцилляции. Так, области x 0 соответствуют вращению колеса в одну сторону, а области x 0 – вращению в противоположную сторону. Из рис. 62 видно, что направление вращения время от времени меняется на противоположное, причём число оборотов (осцилляций) в определённом направлении, раз от разу, меняется хаотически.

На рис. 63 показан фазовый портрет системы Лоренца. Как можно видеть фазовая траектория вырисовывает в пространстве состояний (x, y, z) некий объект сложной структуры. Это образование называют странным аттрактором или, применительно к рассматриваемой системе, аттрактором Лоренца.

Рис. 63. Фазовый портрет аттрактора Лоренца при

«классических» значениях параметров: 10, b 8 3 ,

r 28 .

Можно проверить, что при указанных выше «классических» значениях параметров , b , r , вид установившегося режима движения в виде аттрактора Лоренца не зависит от выбора начальных условий.

В своей работе Лоренц установил, что наблюдаемый в системе хаос имеет динамическое происхождение. Для доказательства этого он рассмотрел зависимость от времени переменной z и пронумеровал её максимумы в порядке их следования во времени. Далее он построил график зависимости величины очередного максимума от предыдущего

Таким образом, вместо исследования динамики исходных уравнений Лоренца (110), ему теперь нужно было решить более простую задачу – исследовать динамику одномерного отображения (128).

На рис. 64 представлен график отображения (128). Это отображение очень похоже на отображение «тент», которое рассматривалось ранее. Значит и динамика отображения (128) должна быть похожа на динамику отображения «тент». Ранее было установлено, что отображению «тент» соответствует хаотическая динамика, поэтому она же имеет место и в отображении (128). Этот результат сравнения двух похожих отображений является весомым аргументом в пользу динамической природы хаоса, наблюдаемого в системе Лоренца.

Рис. 64. Отображение zn 1 f (zn ), полученное численно для системы Лоренца (а), и показанное для сравнения отображение «тент» (б).

Аналитическое исследование уравнений Лоренца

Чтобы достигнуть по возможности полного понимания особенностей системы Лоренца, обратимся к рассмотрению тех аспектов динамики, которые можно выявить посредством аналитического исследования.

1. Симметрия

Сначала рассмотрим свойства симметрии уравнений Лоренца. Их явного вида (110) этих уравнений

Нетрудно увидеть, что вид этих уравнений не изменяется при одновременной смене знака у переменных x и y .

Наличие такой симметрии приводит к двум возможностям для траекторий системы в фазовом пространстве:

2)траектория не обладает указанной выше симметрией, однако при замене x x , y y она превращается в другую возможную траекторию системы. Другими словами существует пара траекторий, переходящих одна в

xx , y y .