30)Нормальный закон распределения случайных погрешностей. Функция Лапласа. Распределение Стьюдента.

Распределение стьюдента

Пусть —независимыестандартные нормальныеслучайные величины, такие что. Тогдараспределениеслучайной величины, где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут. Её распределение абсолютно непрерывно и имеетплотность

,

где —гамма-функцияЭйлера.

31)Построение кривой плотности распределения вероятности. Получение вероятнейшего значения по мнк.

Основы метода наименьших квадратов

При производстве измерений, отягощённых погрешностями, обычно стремятся сделать их больше, чем необходимо для отыскания искомых величин.

Избыточность измерений обеспечивает контроль и предохраняет от грубых промахов, даёт возможность получить более точные результаты и оценить как их погрешности , так и погрешности отдельных измерений. В то же время из за различных погрешностей избыточные измерения приводят к неодинаковым результатам. Поэтому вместо однозначного решения задачи получается несколько ответов , которые необходимо согласовать между собой.

Так, для оценки приращения координат Δφ и Δλ на плоскости могут быть измерены три навигационных параметра, т.е. n=3. В этой ситуации говорят. Что избыточность равна единице. Система уравнений линий положений будет иметь вид:

g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω = u₀₁-u_c1

g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω = u₀₂-u_{c2 (10)}

g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω = u₀₃-u_c3

Из-за наличия погрешностей измерений линии положения образуют фигуру погрешностей – треугольник (рис 2)

Решение любых двух уравнений из трёх даст нам положение вершин этого треугольника относительно начала координат (счислимого места). Это означает, что решение любой пары уравнений не обращает в тождество оставшееся уравнение. Такая система не совместна, т.е. решение любой пары несовместно с третьим уравнением. Анализ размеров фигуры погрешностей и её поведение в последовательности измерений дают полезные сведенья о качестве измерительной навигационной информации.

Для того, чтобы получить согласованное решение необходимо ввести дополнительное условия, которые можно получить, если более детально представить систему (10). Необходимо в окрестности фигуры погрешностей выбрать точку(предполагаемое решение), относительно которой и можно было бы сформулировать дополнительное условие.

Отрезки u ^/1 u ^/₂ u ^/₃ называются невязками. В специальной литературе также встречается термин «поправка» или «ошибка линий положения» в зависимости от знака. В такой ситуации именно невязки определяют решение относительно фигуры погрешностей. Множество возможных сочетаний невязок определяет множество решений и задача заключается в подборе наиболее простого и физически интерполируемого условия. если обозначить Δu₁= u_0i- u_ci, то с учетом невязок систему (10) можно записать так:

g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω-Δu₁ = u₀₁-u_c1

g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω-Δu₂ = u₀₂-u_{c2 (11)}

g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω-Δu₃= u₀₃-u_c3

Здесь величины u₁ u₂ u₃ – невязки, выраженные в единицах измерений навигационного параметра, что более удобно для дальнейших выкладок.

Для согласования системы (11) с рис.2 необходимо выразить невязки u_i в линейных единицах т.е. разделить все челены на модули соответствующих градиентов:

g ₁ cos τ₁^.Δφ+ g ₁ sin τ₁^.Δω-Δn₁ = u₀₁-u_c1

g ₂ cos τ₂^.Δφ+ g ₂ sin τ₂^.Δω-Δn₂ = u₀₂-u_{c2 (12)}

g ₃ cos τ₃^.Δφ+ g ₃ sin τ₃^.Δω-Δn₃= u₀₃-u_c3

Избыточная система уравнений(10) превратилась в систему (12) с недостаточным числом уравнений, так как невязки также неизвестны. Формально наиболее простое решение такой системы можно получить, если принять следующее условие:

S= [u²]= u²₁+ u²₂ +u²₃=min, ₍₁₄₎

При увеличении числа измерений (n>3) возникает более сложная фигура погрешностей с числом вершин , но условие (13) даёт однозначное решение системы уравнений линий положения при любом значенииn. Его суть сводится к поиску «центра тяжести» фигуры погрешностей измерений, т.е. к определению некоторого среднего значения координат из множества координат вершины фигуры. Решение системы уравнений называется оптимальным в смысле выполнения условия S=min, т.е. при выполнении критерия минимума суммы квадратов невязок.

32)СКП одного измерения, среднее арифметическое результатов измерений и его СКП.

33)Обнаружение грубых погрешностей.