1.Теоретическая часть

1.1. Математические методы линейного программирования в сетевой системе

При решении задач определения оптимального соотношения затрат на выполнение производственного процесса и их продолжительности сталкиваются с тем, что процесс представляет собой комплекс взаимоувязанных работ. В этом случае задача может быть сведена к оптимизации графа (сетевого графика), описывающего данный комплекс работ, с использованием минимума времени или минимума затрат. При этом в качестве основного оптимизирующего аппарата можно использовать аппараты линейного программирования.

Для применения аппарата линейного программирования при оптимизации сетевых графиков необходимо выполнение следующих условий:

1. По каждой работе сетевого графика устанавливается сетевая зависимость затрат на выполнение работы от ее продолжительности:

C_k=a_{k +}b_kt_k(1)

где C_k– затраты на выполнение к-й работы;

t_k– время выполнения к-й работы;

a_k,b_k– константы линейной функции.

2. Продолжительность выполнения каждой работы ограничена

d_kt_k D_k (2)

где d_k, D_k– экстремальные значенияt_k.

При решении практических задач значения d_k, D_kдолжны отвечать следующим условиям:

d_k>0;D_k<(3)

Первое условие связано с тем, что время выполнения работы зависит от мощности соответствующего подразделения (чем больше мощность, тем меньше времени). Поэтому для обеспечения равенства нулю необходимо иметь неограниченно большие мощности соответствующего подразделения, что практически нереально.

Второе условие определяется необходимостью выполнения комплекса работ в реальные сроки.

На основании условия (2) продолжительность выполнения комплекса работ ограничена заданными интервалами

T_minTT_max(4)

где T_max– продолжительность выполнения комплекса работ при условииt_k=D_k;

T_min– продолжительность выполнения комплекса работ при условииt_k=d_k(равна величине критического пути сетевого графика).

Затраты на выполнение комплекса работ также ограничены

S_minSS_max(5)

где S_max– затраты на выполнение комплекса работ при условииt_k=d_k, т. е.

S_max=(6)

S_min– затраты на выполнение комплекса работ при условииt_k=D_k, т. е.

S_min=(7)

В зависимости от используемых критериев оптимальности данную задачу можно представить как:

а) минимизацию затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени;

б) минимизацию времени выполнения комплекса работ при заданных затратах;

в) минимизацию суммарных затрат по комплексу работ и объекту.

Рассмотрим три части курсового проекта:

1.2.1.Минимизация затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени

Условные задачи следующие: директивно задано предельное время выполнения комплекса работ. Необходимо определить продолжительность работ, при которых затраты на выполнение комплекса будут минимально возможными, а время выполнения комплекса не превысит директивного времени.

Формализованная структура задачи следующая:

Целевая функция:

(8)

Преобразуем целевую функцию

(9)

В связи с тем, что первая часть целевой функции фиксирована,

(10)

Целевую функцию можно свести к следующему виду:

(11)

Система ограничений состоит из следующих подсистем:

а) t_kd_k (12)

б) t_kD_k(13)

Число выражений в каждой из этих подсистем совпадает с числом действительных работ N_раб.

в) (14)

где – булева переменная;

1, если k-я работа входит в 1-й полный путь

0, если k-я работа не входит в 1-й полный путь

Каждое выражение данной подсистемы ограничений определяет максимальную продолжительность каждого полного пути сетевого графика. Число выражений совпадает с числом полных путей.

В связи с тем, что одним из общих ограничений задач линейного программирования является X0, в рассмотренной задаче необходимо ввести новые переменные, отвечающие этому требованию, т. е.

(15)

С учетом введения новых переменных система ограничений примет вид:

а) (16)

б)(17)

в) 1=1,(18)

В связи с введением новых переменных целевая функция примет вид:

(19)

Преобразуем полученную целевую функцию:

(20)

Но вторая часть функции константа, т. е.

(21)

Тогда целевая функция примет вид:

(22)

Для дальнейших расчетов в качестве целевой функции будет использоваться выражение:

(23)

где

Если рассмотреть структуру полученной задачи линейного программирования, то выяснится, что это вторая частная параметрическая задача. В системе ограничения в составе свободного члена используется параметр T, предел изменения которого определен выражением (4).

Преобразуем задачу таким образом, чтобы параметр Tбыл в целевой функции, т. е. перейдем к первой частной параметрической задаче. Для этого используем принцип двойственности. Целевая функция примет вид:

(24)

Система ограничений:

(25)

где– булева переменная:

1, если входит в к-е ограничение (26)

0, если не входит в к-е ограничение

Справедливо соотношение (для оптимальных планов прямой и двойственной задачи):

Двойственно-сопряженная задача на максимум. Перейдем от задачи на минимум к задаче на максимум. Для этого умножим целевую функцию (24) на –1.

Получим:

(27)

для которой

Решение двойственной задачи позволяет установить:

a) деление исходного интервала измененияT(4) на частные интервалы, в пределах которых оптимальное значение будет постоянным;

b) значение для каждого частного интервала;

c) линейный вид целевой функции отTдля каждого частного интервала, устанавливающий зависимость минимальных затрат на выполнение комплексных работ отT

(28)

где A_i,B_i– коэффициент линейной функции дляi-го частного интервала.

Используя выражение (28), можно определить значение минимальных затрат, соответствующих T_д.

Для этого достаточно:

а) определить частный интервал изменения T, в который попадаетT_д,

где ,– границыi-го частного интервала.

Это, в свою очередь, позволяет определить значения A_iиB_i.

б) подставить значения T_дв выражение (28), т. е.