Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона

Биноминальная теорема. Для любых чисел и , и для любого натурального справедлива формула

Доказательство:Перемножим последовательно раз. Тогда получим сумму слагаемых видагдеравно либо , либо. Разобьём все слагаемые на подмножествоотнеся к подмножествувсе те произведения, в которыхвстречается множителем раз, а встречается раз.

Ясно, что каждый элемент – множества это перестановка с повторением, содержащая элементов, среди которых раз встречаетсяи раз . Следовательно,

Каждое слагаемое из равно , поэтому

Теорема доказана.

Замечание. Числаназывают биномиальными коэффициентами, а формулу предыдущей теоремы – формулой бинома Ньютона.

Числа обладают рядом важных свойств. Укажем некоторые из них и установим несколько интересных тождеств, которым удовлетворяют биномиальные коэффициенты.

Свойство 5.1:

Равенство легко проверяется вычислением значений и.

Свойство 5.2:

Доказательство:

Следствие. Свойство 5.2 показывает, что биномиальные коэффициенты можно последовательно выписывать в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля:

					1
			1		2		1
		1		3		3		1
	1		4		6		4		1
1		5		10		10		5		1

В - ой строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома Ньютона, причём каждый коэффициент, кроме двух крайних, которые равны единице, равен сумме двух его «охватывающих» коэффициентов из предыдущей строки.

Свойство 5.3: .

Это равенство было доказано ранее.

Свойство5.4:

Равенство получается из формулы бинома Ньютона, если в ней положить .

Свойство 5.5:

Доказательство:Рассмотрим все- элементные подмножества множестват.е. множество. Представим множествов видегде– подмножество всех тех- элементных подмножеств множества, в которых элемент с наименьшим индексом равенясно, что. Так как каждый элемент изможет быть получен присоединением кнекоторого- элементного подмножества множествато.

Следовательно,

т.е.

Свойство 5.5 доказано.

Свойство 5.6: .

Доказательство:Запишем тождество

Откуда, используя формулу бинома Ньютона, получаем

или

Так как необходимыми и достаточными условиями тождественного равенства двух многочленов являются равенства коэффициентов при одинаковых степенях то, приравнивая коэффициенты прив правой и в левой части последнего тождества, получаем

Свойство 5.6 доказано.

Полиноминальная теорема: Для любых заданных чисел и для любого натурального имеет место равенство

где сумма в правой части распространена на всевозможные разбиения числа нацелых неотрицательных чисел.

Доказательство:Перемножим последовательнораз. Тогда получим суммуслагаемых видагдеравно либо,... либо. Обозначим черезмножество всех тех слагаемых, гдевстречается множителемраз,–раз,…,–раз, причём должно выполнятся равенство. Ясно, что каждый элемент множества– это перестановка с повторением. Следовательно,

Каждое слагаемое из равно, поэтому

или

Теорема доказана.

Замечание:Числаназывают полиномиальными коэффициентами. Полученная формула является обобщением формулы бинома Ньютона.

Замечание:Если числаполучаются из чиселперестановкой, то. Поэтому, например, в разложениикоэффициенты прииодинаковы. Это облегчает выписывание членов разложения: достаточно найти полиномиальные коэффициенты для таких разбиений числачто, а потом переставлять показатели всеми возможными способами.