МЕХАНИКА_ЗФ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. Основные понятия и определения

Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил.

По характеру рассматриваемых задач курс теоретической механики делится на статику, кинематику и динамику.

Статика - это учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием

сил.

Кинематика посвящена изучению геометрических свойств движения тел без учета вызывающих эти движения причин.

В разделе Динамика изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Твердое тело - материальное тело, не изменяющее свою форму и объем, какое бы действие на него не было оказано. В теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. Далее определения тела «твердое» и «материальное» будут использоваться по умолчанию.

Твердое тело можно представить как совокупность (систему) материальных точек (точек, не имеющих размера, но обладающих массой).

Равновесие - состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Сила - величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел. Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется:

1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сила, действующая на тело.

Система сил - совокупность сил, действующих на тело.

Линия действия - прямая, проведенная через точку приложения силы в направлении действия силы.

Свободное тело - тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

Две системы сил называются эквивалентными, если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело.

Уравновешенная (эквивалентная нулю) система сил - система сил, под действием кото-

рой свободное твердое тело может находиться в покое.

Равнодействующая данной системы сил - сила, эквивалентная этой системе. Уравновешивающая сила - сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противо-

положная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой.

Внешние силы действуют на части данного тела со стороны других материальных тел, внутренние силы - силы, с которыми части данного тела действуют друг на друга.

Сосредоточенная сила - сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела - распре-

деленные силы.

Момент силы F относительно центра (точки) О – вектор mО(F) равный векторному произведению радиуса вектора r, проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F. Модуль момента силы равен произведению модуля силы F на плечо h, где плечо

3

h – это перпендикуляр, опущенный из центра О на линию действия силы F. Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, и отрицательным - по ходу часовой стрелки.

Пара сил - система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил. Плоскость, в которой лежат эти силы, называется плоскостью пары, а кратчайшее расстояние d между линиями действия сил - плечом пары. Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, и отрицательным - по ходу часовой стрелки.

Момент пары - вектор m = dxF, модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

Центр тяжести тела - центр сил гравитации (сил тяжести материальных точек, составляющих тело).

2. Аксиомы теоретической механики

Аксиома 1. Если на свободное тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 2.1).

Рис. 2.1. На свободное тело действуют две силы

Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Рис. 2.2. Действие силы на тело.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке).

Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

4

3.Теоремы статики

3.1.Теорема о трех непараллельных силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил.

3.2.Теорема Вариньона: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки О равен сумме моментов составляющих сил, относительно той же точки.

3.3.Теорема о параллельном переносе силы: силу F, не изменяя ее действие на абсолютно твердое тело, можно переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом m, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится [m = mО(F)].

3.4.Теорема Пуансо (теорема о главном векторе и главном моменте): любая система

сил F1, F2, ..., Fn действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил, приложенной в

центре О и парой сил с моментом MО, равным главному моменту системы сил относительно центра (точки) О. Главный вектор представляет собой сумму всех сил, а главный момент - сумму моментов всех сил относительно центра O

4.Основные виды связей

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.

4.1. Гладкая поверхность. Это вид связи характеризуется отсутствием трения, поэтому реакция R гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 4.1, б), то реакция направлена по

Рис. 4.1. Связь в виде гладкой поверхности

4.2.Нить – это связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити

4.3.Цилиндрический шарнир (подшипник). Реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира (рис. 4.2, а).

Рис. 4.2. Цилиндрический, шаровой шарниры и подпятник

5

4.4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве (рис. 4.2, б,в).

Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве.

R

Рис. 4.3. Связь в виде стержня

4.5.Стержень. Реакция R стержня направлена по прямой, соединяющей шарниры на концах стержня.

4.6.Подвижная шарнирная опора (рис. 4.4, опора А) препятствует движению тела только

внаправлении, перпендикулярном плоскости скольжения опоры. Реакция RA такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.

4.7.Неподвижная шарнирная опора (рис. 4.4, опора В). Реакция RB такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа.

90o

Рис. 4.4. Неподвижная и подвижная шарнирные опоры

4.8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис. 4.5).

Для нахождения реакции неподвижной защемляющей опоры надо определить три неизвестных величины: компоненты вектора силы XA, YA и момент MA.

Рис. 4.5. Жесткая заделка

5. Статика. Условия равновесия

5.1. Произвольная плоская система сил Основная форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил

необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую из координатных осей и сумма моментов относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю.

Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно каких ни будь двух точек А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю.

6

Третья форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

5.2. Параллельная плоская система сил Основная форма условий равновесия: для равновесия плоской системы параллельных сил

необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и сумма их моментов относительно точки, лежащей на плоскости действия сил, были равны нулю.

Вторая форма условий равновесия: для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно любых двух точек

Аи В (причем прямая АВ не параллельна силам), были равны нулю.

6.Статика. Распределенные силы

При расчетах иногда встречается нагрузка, распределенная вдоль данной поверхности по определенному закону.

Равномерно-распределенная нагрузка характеризуется постоянной по величине интенсивностью q т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного участка. При статических расчетах эту систему параллельных сил можно заменить равнодействующей Q, приложенной в середине отрезка АВ а ее модуль равен

A B

l/2

Q

7. Статика. Примеры решения задач

Пример 7.1. Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается выступ D. Определить линию действия реакции RA (реакции связи в точке А).

Рис. 7.1. Стержень, опирающийся на гладкий цилиндр

7

Решение

Так как стержень однородный, то равнодействующая сил тяжести (сила P), действующих на стержень, приложена в его геометрическом центре (точка С). Так как стержень опи-

рается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила RD) в точке касания (точка D) направлена по нормали к этой поверхности. На тело действуют три силы, направления двух сил

( RD и P) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекают-

ся в одной точке. Следовательно, сила RA направлена вдоль линии AK.

Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

R Rx2 Ry2 Rz2 .

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Fkx 0, Fky 0, Fkz 0.

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Fkx 0, Fky 0.

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Пример 7.2. Однородная балка (рис. 7.2, a), сила тяжести которой G = 600 Н, прикреплена к полу в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры; в точке В поддерживается стержнем, имеющим на концах шарниры. К концу балки С прикреплена веревка, перекинутая через блок и несущая груз F = 200 Н. Найти реакции опор, если АС = 6 м, АВ = 4 м. Трением на блоке пренебречь.

Решение Освободимбалку отсвязей, отбросив все связи и заменивих силами реакций (рис. 7.2. б).

Вточке А балка имеет шарнирно-неподвижную опору, направление реакции которой неизвестно ни по модулю, ни по направлению. Разложим ее на две неизвестные составляющие RAX, RAY, направив их вдоль выбранных осей координат.

Вточке С балка имеет связь в виде гибкой нити, реакция которой всегда направлена вдоль нити в сторону от рассматриваемого тела. Известно, что блок изменяет лишь направление силы, не меняя ее числового значения, значит, N1 = F = 200 H.

Рис. 7.2. Конструктивная и расчетная схемы балки

8

Опора в точке В представляет собой стержень с шарнирами на концах. Его реакция направлена по прямой, соединяющей центры шарниров, т. е. по стержню. Если реакция нити всегда направлена от тела, то реакция стержня может быть направлена как от тела, так и к телу. Если стержень растягивается, то его реакция направлена от рассматриваемого тела, при сжатии - в сторону от стержня к телу. При составлении уравнения равновесия все стержневые связи условно считаются растянутыми. Если в результате решения задачи реакция како- го-либо стержня окажется отрицательной, то это означает, что данный стержень не растянут, а сжат.

На балку действует плоская система произвольно расположенных сил. Составим три уравнения равновесия:

Fix 0, Fiy 0, M A Fi 0.

Начало осей координат поместим в точку А, направив ось Х вдоль балки, а Y перпендикулярно к балке. В качестве центра моментов по-прежнему возьмем точку А. Тогда уравнение проекций на ось Х примет вид:

Составляющая RAX не вошла в данное уравнение, так как она перпендикулярна оси Y. Составим уравнение моментов относительно точки А. Для нахождения плеч сил опустим

из точки А перпендикуляры на линии действия всех сил. Плечом силы G будет отрезок AD, плечом силы N2 будет отрезок AB, плечом силы N1 будет отрезок AC.

Уравнение моментов имеет вид

Моменты сил G и N2 направлены по часовой стрелке, поэтому они вошли в уравнение с положительным знаком. Момент силы RC направлен против часовой стрелки, поэтому имеет знак «минус».

Из уравнения (7.3)

N2 N1 AC G AD AB 0.

Из рис. 7.2, б видно, что AD = (AC / 2) cos60o = (6/2) 0,5 = 1,5 м.

Подставив числовые значения и вспомнив, что N1 = F = 200 H, получим:

N2 200 6 600 1,5 4 75 Н.

Из уравнения (7.2)

RAY N2 G cos 60 N1.

Подставив значения сил, получим:

RAY 75 600 0,5 200 175 Н.

Из уравнения (7.1)

RAX G cos30 600 0,866 520 Н.

Проверим правильность решения задачи, составив уравнение моментов относительно точки В:

M B Fi RAY AB G BE N1 BC 0.

Из рис. 7,2 б видно, что BE = 1 sin30o =0,5 м, тогда

M B Fi 175 4 600 0,5 200 2 0; 700 700 0; 0 0.

При подстановке получили тождество 0 = 0, значит, задача решена, верно. Полная реакция опоры RA:

RA 1752 5202 548,66 кН. Ответ: RA 548,66 кН; RВ 75 Н.

9