- •Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
- •Тема 1.2. Алгебраические структуры
- •Тема 1.3. Основные свойства групп
- •Тема 1.4. Поля и кольца
- •Раздел 2. Алгебра множеств Тема 2.1. Основные определения теории множеств
- •Тема 2.2. Подмножество, понятие универсального множества
- •Тема 2.3. Операции над множествами
- •Раздел 3. Основные теоремы комбинаторики
- •Тема 3.1. Метод математической индукции
- •Тема 3.2. Основные принципы комбинаторики
- •Раздел 4. Комбинаторные объекты Тема 4.1. Сочетания
- •Тема 4.2. Размещения и перестановки
- •Раздел 5. Полиномиальные тождества Тема 5.1. Бином Ньютона
- •Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений
- •Тема 5.3. Метод производящих функций
- •Тема 5.4. Метод траекторий
- •Тема 5.5. Примеры комбинаторных задач
- •Раздел 6. Соответствие, отношение, отображение Тема 6.1. Понятие кортежа. Декартово произведение множеств
- •Тема 6.2. Определения и свойства
- •Тема 6.3. Типы отношений
- •Пересечение и объединение отношений
- •Композиция отображений и отношений
- •Тема 6.5. Решётки
- •Тема 6.4. Верхняя и нижняя границы множества.
- •Раздел 7. Операции булевой алгебры Тема 7.1.Понятие высказывания, простые и составные высказывания
- •Тема 7.2.Операции на множестве высказываний
- •Отрицание
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •«Исключающее или»
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Раздел 8. Законы и тождества Булевой алгебры Тема 8.1.Формулы Булевой алгебры
- •Тема 8.2.Законы и тождества Булевой алгебры
- •Тема 8.3.Составление формулы по заданной таблице истинности
- •Тема 8.4. Двойственность
- •Тема 8.5.Булева алгебра и теория множеств
- •Тема 8.6.Днф, интервалы и покрытия
- •Раздел 9. Функциональная полнота. Алгебра Жегалкина
- •Тема 9.1.Функционально полные системы
- •Тема 9.2.Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •Тема 9.3.Замкнутые классы. Монотонные функции
- •Тема 9.4.Теоремы о функциональной полноте
- •Раздел 10. Хорновские формулы
- •Тема 10.1.Задача получения продукции
- •Тема 10.2.Решение задачи о продукции
- •Алгоритм замыкание(X,f)
- •Алгоритм ПрямаяВолна(X,y,f)
- •Алгоритм БыстроеЗамыкание(X,f)
- •Раздел 11. Теория релейно-контактных схем Тема 11.1.Основные понятия
- •Тема 11.2.Основные задачи теории релейно-контактных схем
- •Тема 11.3.Построение машины голосования
- •Тема 11.4.Двоичный сумматор
- •Тема 11.5.Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач
- •Раздел 12. Логика предикатов Тема 12.1.Определение предиката
- •Тема 12.2.Логические операции над предикатами
- •Тема 12.3.Кванторы
- •Тема 12.4. Истинные формулы и эквивалентные соотношения
- •Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов
- •Раздел 13. Теория графов
- •Тема 13.1.Основные определения теории графов
- •Тема 13.2. Способы задания графов
- •Тема 13.3. Отношения порядка и эквивалентности на графе
- •Тема 13.4. Числовые характеристики графа
- •Тема 13.5.Изоморфизм графов
- •Раздел 14. Проблемы достижимости на графах Тема 14.1.Граф достижимости
- •Тема 14.2.Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа
- •Раздел 15. Некоторые классы графов Тема 15.1.Деревья
- •Тема 15.2. Обход графа
- •Тема 15.3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Раздел 16. Машина Тьюринга
- •Тема 16.1. Формальное описание машины Тьюринга
- •Тема 16.2. Примеры построения машины Тьюринга
- •Тема 16.3. Свойства машины Тьюринга как алгоритма
- •Раздел 17. Машина Поста
- •Тема 17.1. Теоретическая часть. Состав машины Поста
- •Тема 17.2. Применимость программ. Определение результата выполнения программ
- •Раздел 18. Основные понятия теории автоматов Тема 18.1. Общие подходы к описанию устройств, предназначенных для обработки дискретной информации
- •Тема 18.2. Способы задания конечного автомата
- •Тема 18.3. Эквивалентные автоматы
- •Тема 18.4. Автоматы Мура и Мили
- •Тема 18.5. Примеры синтеза автоматов
Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства
Часто в математике нам приходится комбинировать элементы некоторого множества. Так в арифметике комбинируются числа, в векторной алгебре – векторы.
Существенной особенностью каждого из этих примеров является правило, по которому устанавливается соответствие для элементов определённых множеств. Целью данного раздела является рассмотрение ситуации, когда любым двум элементам множества ставится в соответствие элемент того же множествапо определённому правилу. Такое соответствие назовём «бинарной операцией».
Определение:Бинарная операцияна непустом множестве– это правило, которое ставит в соответствие любой упорядоченной пареединственный элемент.
Пример 1.1: Арифметическое сложение на множестве целых положительных чисел является бинарной операцией, а разность – не является, т.к. для любыхиразность – не всегда положительное число.
Для некоторых бинарных операций порядок следования операндов несущественен, для других – важен.
Пример 1.2: в произведении порядок элементов роли не играет т.к., а для частного – играет.
Следовательно, бинарная операция должна рассматриваться как действие над упорядоченной парой элементов.
Замечание:Если прочесть определение повнимательнее, то можно увидеть, что бинарная операция вполне может рассматриваться как функция, которая задаёт элементдля каждой упорядоченной пары элементов.
Определение:Условиеявляется свойством замкнутости бинарной операции. Когда такое условие выполняется будем говорить, чтозамкнутоотносительно операции.
Пример 1.3:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве целых чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.к. при делении одного целого числа на другое не всегда получается целое число. Т.е.– не является замкнутым множеством относительно операции деления.
Пример 1.4:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве рациональных чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.кне определено для всех.
Пример 1.5:Если– множество всех подмножеств некоторого множества, то операции пересечения, объединения являются бинарными операциями.
Бинарная операция на конечном множестве может быть определена с помощью таблицы Кейли.
Пример 1.6:Еслито бинарную операциюможно определить следующим образом:
Таблица интерпретируется так:
Дадим определения, которые позволят нам говорить о некоторых свойствах операций.
Определение:Бинарная операция, заданная на непустом множественазываетсякоммутативной, если
Пример 1.7:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются коммутативными. Вычитание не является коммутативной операцией.
Пример 1.8:Операции конъюнкции, дизъюнкции на множестве высказываний являются коммутативным, Импликация не является коммутативной.
Определение:Операция, заданная на непустом множественазываетсяассоциативной, если.
Пример 1.9:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются ассоциативными.
Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. Элемент, такой чтоназываетсяэлементом идентичностидля операциина множестве.
Замечание:Обратите внимание, что для того чтобы элементявлялся элементом идентичности свойство должно выполняться длявсехэлементов множества.
Пример 1.10:Элементом идентичности для операции сложения на множестве рациональных чиселявляется элемент 0. Но при этом 0 не является элементом идентичности для операции вычитания, т.к– верно, но.
Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. И существует– элемент идентичности для операции. Элементназываетсяобратнымдляесли.
Обратный элемент обычно обозначают . При этом если– обратный элемент для, то– обратный элемент для.
Пример 1.11:Обратным элементом для операции сложения на множестве рациональных чиселдляявляется число.
Теорема: Пусть – бинарная операция, заданная на непустом множестве . Если элемент идентичности существует, то он единственный.
Доказательство:
Пусть ,– элементы идентичности на множестведля операции. Т.к.- элемент идентичности, то следовательно и для:
аналогичны рассуждения и для элемента идентичности . Следовательно. Что и требовалось показать.
Теорема:Пусть – ассоциативная бинарная операция с элементом идентичности, заданная на непустом множестве . Для любого элемента, который имеет обратный элемент, обратный элемент единственный.
Доказательство:Пусть элементимеет два различных обратных элемента. Тогда:
и – по определению обратного элемента.
Поэтому .
Следовательно, обратный элемент единственный.