Тема 12.5.Доказательства в логике предикатов

Метод доказательства формул, содержащих переменные, путём непосредственной подстановки в них констант называется методом интерпретацийили методом моделей. Подстановка констант позволяет интерпретировать формулу как осмысленное утверждение об элементах конкретного множества. Поэтому такой метод, выясняющий истинность формулы путём обращения к её возможному смыслу называется семантическим (смысловым). Метод интерпретаций удобен для доказательства выполнимости формул или их неэквивалентности, поскольку и в том, и в другом случае достаточно найти одну подходящую подстановку. Он удобен также для исследования истинности формул на конечных областях. Дело в том, что если областьконечна, то кванторы переходят в конечные формулы логики высказываний:

,.

Заменяя все кванторы по этим соотношениям, любую формулу логики предикатов можно перевести в формулу, состоящую из предикатов, соединённых логическими операциями. Истинность такой формулы на конечной области проверятся конечным числом подстановок и вычислений. Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называются финитными.

Для бесконечных же областей, в общем случае, при доказательстве тождественной истинности формул метод интерпретации связан с большими трудностями. Поэтому для построения множества истинных формул в логике предикатов выбирается иной путь. Это множество порождается из неких исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур - правил вывода. Используются лишь формальные (а не содержательные), внешние свойства последовательности символов, образующих формулы, причём эти свойства полностью описываются правилами вывода. Множества, порождённые таким формальным методом, называются формальными.

Раздел 13. Теория графов

Первые задачи теории графов связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о Кёнигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задача о перевозках, задача о кругосветном путешествии). Одним из первых результатов в теории графов явился критерий существования обхода графа без повторений, полученный Леонардом Эйлером, при решении задачи о Кёнигсбергских мостах.

Тема 13.1.Основные определения теории графов

Наглядное представление о графе можно получить, если представить себе некоторое множество точек плоскости , называемых вершинами, и множество направленных или ненаправленных отрезков, соединяющих все или некоторые из вершин и называемых дугами. Математически граф определяется как пара множеств.

Определение:Если две вершины соединены направленным отрезком, то пара называется упорядоченной, а отрезок называетсяребромграфа. Если вершины соединены ненаправленным отрезком, то вершины называются неупорядоченными, отрезок, их соединяющий, называетсядугой.

Определение:Граф, содержащий только рёбра, называетсяориентированным.

Определение:Граф, содержащий только дуги, называетсянеориентированным.

Определение: Пара вершин может соединяться двумя или более рёбрами одного направления, такие рёбра называютсякратными.

Определение:Дуга или ребро может начинаться или заканчиваться в одной вершине, такие дуги называютсяпетлями. Считается, что длина петли равна 1.

Определение:Вершины, соединённые ребром или дугой называютсясмежными.

Определение:Дуги, имеющие общие вершины называютсясмежными.

Определение:Ребро и любая из двух её вершин называетсяинцидентными.

Определение:Подграфомграфаназывается граф, в который входит лишь часть вершин графа, образующих множествовместе с дугами, соединяющими эти вершины.

Определение:Частичным графомграфаназывается граф, содержащий все вершины графа и только часть дуг графа.

Пример 13.1:Пусть граф– карта шоссейных дорог России, тогда карта шоссейных дорог Приморья – подграф, а карта главных дорог России – частичный граф.

Определение:Путёмв графеназывается такая последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги является началом следующей дуги.

Определение:Длиной путиназывается число, равное числу дуг, составляющих путь.

Путь может быть конечным и бесконечным. В случае бесконечного пути полагаем .

Определение:Путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды, называетсяпростым.

Определение:Путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды, называетсяэлементарным.

Определение:Контур– это конечный путь, у которого начальная и конечная вершина совпадают. При этом контур называетсяэлементарным, если все его вершины различны (за исключением начальной и конечной вершины).

Для неориентированного графа аналогичными понятиями являются понятия цепиицикла. С понятием неориентированного графа связано понятие связности графа.

Определение:Графсвязен, если любые две его вершины можно соединить цепью.

Определение:Если граф не связен, то его можно разбить на такие подграфы, что все вершины в каждом подграфе связны, а вершины из различных подграфов не связны. Такие подграфы называютсякомпонентами связностиграфа.

Для того чтобы определить связность ориентированного графа, не нужно обращать внимание на ориентацию дуг. Для ориентированного графа существует понятие сильной связности.

Определение:Ориентированный графсильно связен, если для любых вершинисуществует путь, идущий изв.

Определение:Степенью вершиныграфаназывается число рёбер, инцидентных этой вершине.

Теорема:Если граф без петель имеет вершин и дуг, то сумма степеней всех вершин .

Определение:Вершина называетсяизолированной, если , иконцевой, если .

Определение:Граф, у которого все вершины имеют одинаковые степени (равные), называетсярегулярным(степени).

В полном графе нет петель, и каждая пара вершин соединена в точности одним ребром.

Определение:Для графа, не имеющего петель и кратных дуг или рёбер,дополнительнымназывают граф, у которого, и вершины смежны только в том случае, если они несмежны в.

Граф дополнительный к полному, состоит из изолированных вершин. Такой граф называется пустым, или вырожденным.