5семанглийскоеКалинина / третийкурс / величина / величинакалинина7

+=;

=( + ): т.е. для нахождения площади фигуры достаточно к числу квадратов -го ранга,

лежащих внутри фигуры , прибавить половину числа квадратов того же ранга, задевающих фигуру , но не лежащих внутри нее, полученную сумму разделить на -тую степень числа 100.

Рис.12. Рис. 13

В частности , где – число квадратов нулевого ранга, целиком лежащих внутри фигуры , и – число квадратов нулевого ранга, задевающих фигуру , но не лежащих внутри нее.

На практике числа и находят при помощи простого прибора – палетки, которая представляет собой прозрачную бумагу (кальку) с нанесенной на ней сетью квадратов (или несколькими сетями). Иногда поступают наоборот: фигуру перерисовывают на кальку и кальку накладывают на сеть, нанесенную на непрозрачную бумагу (например, миллиметровую бумагу). Это, так называемый, прямой способ измерения площади фигуры.

Совершенно очевидно, что нахождение площадей фигур непосредственным подсчетом числа квадратов очень неудобно (да и, как мы видели, неточно). Существуют и другие способы нахождения площадей фигур. В частности, для нахождения площадей многоугольников достаточно произвести измерение некоторых отрезков и произвести определенные действия над полученными числами, используя известные формулы.

Итак, площади плоских фигур обладают следующими свойствами:

1. Площади равных фигур при одной и той же единице измерения длины равны между собой.

2. Площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей, если все площади найдены при одной и той же единице измерения длины.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку, равна единице.

4. При изменении единичного отрезка площадь фигуры также изменяется, причем площадь фигуры при “новом” единичном отрезке равна ее площади при “старой” единице измерения отрезков, умноженной на квадрат меры “старого” единичного отрезка при “новом” единичном отрезке.

Очень важно следующее: может оказаться, что неравные фигуры имеют равные площади. Такие две фигуры, т.е. фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Площадь прямоугольника и других многоугольников

Как мы видели, площадь фигуры может быть найдена с помощью палетки. Однако, в математике господствуют косвенные способы нахождения площадей фигур, т. е. способы вычисления площади фигуры по известным длинам линейных элементов фигур. При выводе формул для вычисления площадей плоских фигур используется метод разложения, разбиения фигуры на части, способы нахождения площадей которых известны. При этом часто из одной фигуры, разбивая ее на части, получают другую, площадь которой можно найти по известным формулам. Для обоснования такого подхода к выводу формул нахождения площади фигур вводят понятие равносоставленности фигур. Две фигуры называются равносоставленными, если разрезав одну из них определенным образом на части, можно из всех этих частей, располагая их иначе, составить вторую фигуру.

На основании известных свойств площади () и () легко доказать, что равносоставленные фигуры всегда равновелики. А вот обратная задача до сих пор не решена. Неизвестно, являются ли любые равновеликие фигуры равносоставленными. Утвердительный ответ на этот вопрос для особого класса фигур был дан двумя математиками - венгром Фаркашем Бойяи (1832г.) и немцем Гервином (1833 г.).Они доказали, что равновеликие многоугольники всегда равносоставлены.

Приступим теперь к выводу формул для вычисления площадей некоторых фигур. Условимся, что единичный отрезок всюду в дальнейшем один и тот же.

Прежде всего выведем формулу для вычисления площади прямоугольника. Для этого вновь будем использовать сеть квадратов. Расположим прямоугольник так, чтобы один из его углов, например угол, совпал с углом одного из квадратов нулевого ранга. Возможны три случая:

1. Меры всех сторон прямоугольника – натуральные числа.

2. Хотя бы одна из сторон не измеряется натуральным числом, но все стороны измеряются рациональными числами, которые могут быть выражены конечными десятичными дробями.

3. Хотя бы одна из сторон измеряется числом, которое выражается бесконечной десятичной дробью, т.е. является иррациональным числом или бесконечной периодической дробью.

В первом случае прямоугольник составлен из квадратов нулевого ранга, причем число = , где и – меры смежных сторон прямоугольника при выбранной единице длины (например на рис.14, =8, =5 и =40). В самом деле, можно считать, что прямоугольник составлен из вертикальных полос, в каждой из которых по квадратов нулевого ранга. Отсюда согласно замечанию 1 площадь прямоугольника равна = = . Итак, в рассмотренном случае площадь прямоугольника равна произведению мер его смежных сторон.

Понятно, что стороны прямоугольника не всегда измеряются натуральными числами. В этом случае две его стороны совместим с осями, а две другие при этом не совпадут с сетью квадратов.

Рис. 14

Тогда вновь возможны два случая.

Пусть длины смежных сторон прямоугольника выражаются конечными десятичными дробями 1,12 и 0,87 . Очевидно, что в этом случае прямоугольник составлен из квадратов второго ранга, причем =. Тогда согласно замечанию 1 площадь прямоугольника равна:

= = = =

Т.е. и в этом случае площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Аналогично можно рассуждать всякий раз, когда стороны прямоугольника измеряются рациональными числами, которые выражаются конечными десятичными дробями. Надо только представить эти числа десятичными дробями с одним знаменателем.

Можно доказать, что и в третьем случае площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Пусть длины сторон прямоугольника измеряются бесконечными периодическими или непериодическими десятичными дробями и (рис.15).

Рассмотрим десятичные приближения этих чисел с точностью до 1; 0,1; 0,01;... по недостатку и по избытку. Обозначим приближения по недостатку для и как: ; ; ;...; и ; ; ;...;. Эти приближения - рациональные числа.

4