5семанглийскоеКалинина / третийкурс / величина / величинакалинина8

Приближения по избытку соответственно: ; ;...; и ; ;...;. Это также рациональные числа.

Понятно, что ............,

а ............

Ясно, что площадь прямоугольника удовлетворяет системе неравенств: .............

Но этим же неравенствам удовлетворяет и произведение чисел и в соответствии с определение произведения действительных чисел:

...... .......

Из этих двух систем неравенств следует, что = .

Рис. 15

Итак, площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Выведем формулы для вычисления площадей некоторых других многоугольников, причем будем применять один и тот же метод: покажем, что рассматриваемая фигура равносоставлена с фигурой, площадь которой мы уже умеем вычислять (или, можно сказать, данную фигуру будем “перекраивать” в иную фигуру, площадь которой мы уже умеем вычислять).

1. Всякий параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из сторон параллелограмма, а другая – высоте параллелограмма, проведенной к данной стороне (рис.16). Отсюда следует, что площадь любого параллелограмма равна произведению длины любой его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне: .

2. Треугольник равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из сторон треугольника, а другая равна половине высоты треугольника, проведенной к этой стороне треугольника (рис.17). Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Рис. 16 Рис. 17

3. Ромб равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из диагоналей ромба, а другая – половине второй диагонали ромба (рис.18). Отсюда следует, что площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей: .

4. Трапеция равносоставлена с прямоугольником, одна из сторон которого равна средней линии трапеции, а вторая равна высоте трапеции (рис.19). Отсюда площадь трапеции равна произведению длины его средней линии на длину высоты или произведению полусуммы длин оснований на длину высоты трапеции:

Рис. 18

Рис. 19

Подобно тому, как при измерении отрезков, за единичный отрезок можно было принять любой отрезок, так и при измерении площадей за единицу измерения можно принять площадь любого квадрата (да и не только квадрата!). В целях стандартизации за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единице длины.

Общеизвестна зависимость между различными единицами площади (она является следствием зависимости между соответствующими единицами длины; например, 1 дм = 10 см, а поэтому по формуле для вычисления площади прямоугольника 1 кв. дм = 1010 кв. см= 100 кв. см):

1 кв. дм = 100 кв.см;

1 кв. м = 100 кв. дм = 10000 кв.см;

1 кв. км = 1 000 000 кв. м и т.д.

Общеизвестны также меры измерения площадей: ар (а) и гектар (га), которыми пользуются для измерения площадей земельных участков:

1 а = 100 кв. м,

1 га = 100 а = 10 000 кв. м,

1 кв. км = 100 га = 10 000 а.

История системы мер.

В истории становления системы мер можно выделить несколько этапов.

С незапамятных времен человеку приходилось измерять расстояния в связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и с добыванием пищи. Подобно тому, как при счете человек пользовался вначале пальцами рук и ног, так и при измерении расстояний он прибегал к рукам и ногам. Вот почему мерами длины служили шаг, ладонь и др. Названия мер у разных народов свидетельствуют об их происхождении от различных частей человеческого тела. Это был самый древний период становления системы мер: единицы длины отождествлялись с названием частей человеческого тела.

На ранних стадиях развития человечества почти не приходится говорить о заимствовании мер одним народом у другого. Но при возникновении международной торговли на более высоких ступенях развития появляется необходимость в единообразных мерах или в установлении соотношения между мерами разных народов. Наибольшего развития попытки регулирования существующих первоначальных мер и приведения их в некоторую систему получили у шумеро-вавилонских народов.(Место проживания этих народов - юг Кавказа, равнина между реками Тигр и Евфрат, Закавказье, Армения). Первоначально у шумеров была десятичная система счисления, позднее у них появилась нумерация с основанием 60. Параллельно с этим вавилоняне создали и систему мер, в которой единичным отношением мер служило также число 60. Выбор одинаковых оснований для системы счисления и системы мер дает большие удобства.

С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикладыванием локтя. Кроме того, длина локтя или шага у разных людей могла быть различной, а мера длины должна быть постоянной. Появились, как мы сказали бы сегодня, эталоны. Постоянные образцы мер стали изготовлять в виде деревянных линеек или металлических стержней. В наших музеях можно найти в достаточно большом числе эталоны греческих и римских мер.

У римлян в качестве единичных отношений мер чаще других фигурирует число 12. Для общей истории мер значение имело то обстоятельство, что римская власть принудительно ввела единую систему мер в самых отдаленных областях, подчиненных Риму. Так римляне оказали положительное влияние на эволюцию системы мер многих народов, хотя их собственная система и не была совершенной.

В Х1У-ХУ1 вв. в связи с развитием торговли появляются так называемые объективные единицы измерения величин. В Англии, например, дюйм приравняли 3-м ячменным зернам (по длине), массу в 1 гран определили как массу семени одного из видов бобовых.

Разнообразие единиц величин тормозило развитие производства, мешало прогрессу, развитию торговых связей.

В ходе исторического развития, совершенствования систем мер различных народов человечество пришло к определенным выводам, с учетом которых появляется метрическая система мер. Это послужило завершением второго весьма длительного периода развития системы мер.

Следующим важнейшим этапом можно считать создание и внедрение метрической системы мер.

А мы являемся свидетелями уже нового этапа, связанного с принятием и использованием большинством государств единой интернациональной системы мер – СИ.

Дополнительный материал

Из истории мер.

Происхождение древних мер длины.

МЕРА - Греч.meroz (мерос) - часть, мера (1/n часть данной величины, n - натуральное число). Измерение путем последовательного откладывания меры -catamerh (катаметрэ).

Др. термин: metron (метрон) - мера вообще; вес, емкость, мерка и так далее. Соответственно metreo (метрео) - мерю. Русская мера от metron (через Библию). Лат. modulus - модуль, "мера числа", то есть абсолютная величина. В геометрии meroz переводили словом pars (часть).

Способы измерения величин появились, как и способы счета, с опорой на использование частей человеческого тела.

Первым счетным прибором , как Вы знаете, были пальцы рук и ног. Те же пальцы, руки и ноги дали человеку первые меры длины.Мы и сегодня иногда измеряем расстояние, то есть длину некоторого отрезка пути, шагами. Для измерения больших расстояний шаг оказался неудобной мерой.

В Риме входит в употребление миля, равная тысяче двойных шагов. Отсюда понятно и название этой меры, происходящее от корня mille, milia – тысяча.

Но не только величина измеряемой длины оказывала влияние на выбор меры. Были и другие причины появления новых мерок для измерения длины. Так, ткань или веревку неудобно мерить шагами. Уже у египтян, а затем и у других древних народов появляется мера локоть – расстояние от конца пальцев до локтя (рис.20).

Измеряемая ткань удобно наматывалась на такой эталон длины; полный оборот ткани около него назывался двойным локтем (рис.21).

Обхват ствола дерева удобно было мерить растянутыми руками: появляется мера – сажень, расстояние между кончиками пальцев, вытянутых в противоположных направлениях рук.

Для измерения меньших расстояний употреблялась ладонь – ширина кисти руки. Английский любитель лошадей до сих пор определяет высоту лошади в ладонях.

Для измерения небольших отрезков употреблялась длина сустава большого пальца – дюйм (рис.22). Слово это происходит от голландского duim– сустав пальца, производимого от латинского корня digitus – палец)

6