5семанглийскоеКалинина / третийкурс / величина / величинакалинина6

любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел. Этот предел и называют площадью фигуры при единице измерения длины .

Обозначим площадь фигуры символом . По определению = при . Т.е. =

2.Обозначим через число квадратов первого ранга, задевающих фигуру (это могут быть 1, 2, или 4 квадратных дециметра, смотря по тому, как мы истолкуем границы квадратов первого ранга на рисунках 9-11).

Рис. 9 Рис. 10

Обозначим через – число квадратов второго ранга, задевающих фигуру (на рис.11 число =53).

Рис. 11

И т.д. Очевидно, что при любом натуральном значении : . Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:

; ; ; ...; ; ...(2). Можно доказать, что эта последовательность является невозрастающей и ограниченной снизу, например, любым членом последовательности (1), а потому имеет предел:

.

Покажем, что для всех фигур, о которых идет речь, этот предел совпадает с пределом последовательности (1), т.е. также равен площади фигуры . При любом имеем:

, а так как фигура является квадрируемой фигурой, то разность ( - ) величина сколь угодно малая. Предел этой разности при равен 0. Следовательно, пределы последовательностей (1) и (2) совпадают:

= =

Таким образом, площадь квадрируемой фигуры определяется как общий предел этих двух последовательностей.

Замечание 1.

Пусть фигура составлена из квадратов нулевого ранга. Тогда все члены последовательности (1) равны числу . Действительно , а поэтому = , аналогично , т.е. = = , и т.д. Отсюда следует, что в этом случае предел последовательности (1) равен числу , т.е. = . Теперь ясно, что площадь каждого квадрата нулевого ранга равна 1.

Если же фигура составлена из квадратов -го ранга при некотором натуральном значении , то все члены последовательности (1), начиная с (+1)-го, равны числу , а поэтому предел этой последовательности равен , т.е. = . Отсюда следует, что площадь каждого квадрата -го ранга равна.

Замечание 2.

Числа и (площади многоугольников) можно рассматривать как приближенные значения площади фигуры , причем первое – с недостатком, а второе – с избытком. Следует заметить, что эти числа тем меньше отличаются от площади , чем больше (рис.12 и рис.13)

На практике часто находят приближенное значение площади фигуры как среднее арифметическое чисел и , причем это число тем ближе к площади фигуры , чем больше :

( + ):2 = :2

Числитель этой дроби находят иногда иначе: ведь каждый квадрат -го ранга, лежащий внутри фигуры , также и задевает фигуру , т.е. = +, где - число квадратов -го ранга, задевающих фигуру , но не лежащих внутри нее. Отсюда:

4