V. Понятие задачи на построение и её решения

Задачей на построение называется изложение требования построить некоторую фигуру находящуюся в указанных отношениях к некоторым давним фигурам, отношения между которыми также указаны.

Данные фигуры, их отношения друг к другу и отношения искомой фигуры к данным называются условиями задачи. Целесообразно отметить следующие особенности условий задач на построение: в одних задачах данные фигуры могут быть без изменения сущности задачи заменены их мерами. Таковы, например, задачи построить треугольник по стороне, медиане другой стороны и радиусу описанной окружности; построить параллелограмм по его углу и диагоналям.

В других задачах фиксируется положение данных фигур на плоскости. Так, по условию задачи: “В данном треугольнике АВС провести прямую параллельную AC, так, чтобы отрезки АД и ВС, отсекаемые ею на сторонах AB и BC были равны”,— треугольник АВС дан, т. е. уже построен (аксиома 1), положение его на плоскости определено.

В задаче: построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямой и окружности — имеем три фигуры с зафиксированным положением на плоскости.

Отмеченное различие в условиях лежит основанием для следующей классификации задач на построение. К одному классу относятся задачи, условия которых отличаются первой из указанных особенностей; такие задачи называются метрическими. К другому классу относятся задачи, в условиях которых есть хотя бы одна построенная фигура, фигура с фиксированным положением на плоскости. Эти задачи называются позиционными задачами.

Каждая фигура, удовлетворяющая всем условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти (построить) решение задачи, или, что то же, решить задачу значит указать такую последовательность элементарных построений из множества W, после выполнения которых соответствующими инструментами искомая фигура будет считаться настроенной в силу аксиом конструктивной геометрии. Инструменты для построения решения могут быть при этом заранее указаны.

Очевидно, что последовательность элементарных построений, необходимых для построения решения той или иной задачи, существенно зависит от выбора инструментов.

В некоторых задачах в результате построения может быть получена не одна, а несколько фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи. В связи с этим возникает вопрос: будут ли всякий раз все получающиеся при построении фигуры различными решениями рассматриваемой задачи? Ответ на этот вопрос находится в непосредственной, зависимости от введенной нами классификации задач. В метрических задачах положение искомой фигуры может быть произвольным, и к различным решениям задачи относятся лишь равные фигуры, получающиеся при построении и удовлетворяющие всем условиям задачи. Говорят, что такие задачи требуют решения с точностью до равенства.

В позиционных задачах представляет интерес положение искомой фигуры относительно данных фигур; позиционные задачи требуют решения с точностью до положения. Различными решениями будут все фигуры, в том числе и конгруэнтные, но занимающие различные положения относительно данных фигур.

Так же, как и всякие другие задачи из различных разделов математики, задачи на построение могут быть неопределенными, переопределенными, не имеющими решения и неразрешимыми выбранными инструментами.