lg77.23 ≈ 2.8878 ≈ 2.888 .

Примечание. При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем указано в округлении при выполнении математических действий над числами. В окончательном результате эта "запасная" цифра отбрасывается. Приведенный ниже пример поясняет сказанное:

Значение физической величины округляется до первой сомнительной цифры. Все цифры, стоящие после сомнительной, отбрасываются. Абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры, относительная ошибка - до двух значащих цифр.

Пример. Путем измерений и математических расчетов было получено, что для объема некоторого тела имеют место следующие числа (см. с. 13: Вычисление абсолютной и относительной ошибок измерений):

V = 43.235 м3; ∆V = ± 0.423 м3.

Оказалось, что сомнительной цифрой при вычислении объема является 2. Тогда результат можно записать в следующем виде:

V= (43.2 ± 0.4) м3; EV = 43.20.4 ×100% = 0.92%.

Промахи, систематические и случайные погрешности измерений

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Измерение тел, предметов или любой физической величины всегда производится с той или иной степенью точности1, т.е. с той или иной степенью приближения к ис-

1 Точностью называется величина, обратная относительной погрешности. Точность обработки результатов измерений должна согласовываться с точностью самих измерений.

тинному значению искомой величины. Если указываем, что высота дерева 2 м 56 см, а измерена она с точностью до 1 см, то это будет означать, что отклонение найденной высоты от истинной не превышает 1 см.

При измерении физических величин под действием самых разнообразных причин возникают погрешности измерения. Все погрешности принято подразделять на систематические, слу-

чайные и промахи (ошибки).

1. Промахи

Это наиболее распространенная причина ошибок. Она возникает по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении. К промахам, например, относятся неточно установленный нуль секундомера или нониуса микрометра, неправильная установка самого прибора (вертикальная вместо горизонтальной или наоборот), неразборчивая или небрежная запись в черновиках, а следовательно, и неправильное переписывание данных при составлении отчета дома и т.п.

Эта ошибка бывает значительно больше погрешностей других измерений. Если ошибка допущена в одном измерении из нескольких, сделанных верно, то, сравнивая числовые значения полученных результатов или их абсолютных погрешностей, ее легко обнаружить. Результат, полученный ошибочно, резко отличается от результатов других измерений, а абсолютная погрешность имеет значение, значительно превышающее абсолютные погрешности других измерений. Эта ошибка должна быть исключена из результатов измерений.

2. Систематические погрешности

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при использовании для вычислений неточных зависимостей (формул), констант и т.д.

Эти ошибки очень трудно контролировать, поскольку они связаны с конструкцией либо состоянием самого измерительного прибора или инструмента (например: неправильно отградуированный штангенциркуль, не установленная на нуль стрелка прибора), а также с влиянием на них незаметных, на первый взгляд, факторов (температуры, влажности, электрических и магнитных полей, вибрации, освещенности и т.п.). В этом случае всегда измеряемая величина (линейные размеры, ток, напряжение, сопротивление и т.п.) будет заниженной или завышенной по сравнению с истинной. Таким образом, из сказанного выше ясно, что для избежания таких ошибок необходимо тщательно готовить измерительные приборы, оборудование, установки, обеспечивать правильное хранение, а также исключить внешние факторы, влияющие на результат измерения.

3. Случайные погрешности

Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов, изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.

Случайные ошибки присутствуют при любых измерениях и связаны с неточностью отсчета. Например, различное зажатие деталей микрометрическим винтом микрометра или ножками штангенциркуля, различное положение глаза при отсчете по шкале и т.п. Однако в этом случае отличия носят случайный характер и отклонения от истинного значения могут происходить как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения его. Эта ошибка может быть уменьшена увеличением числа повторных измерений и нахождением среднего арифметического из полученного количества результатов. Например, если А1, А2, А3, ...

An - результаты, полученные в процессе отдельных измерений, то величина

13

будет средним арифметическим из n указанных результатов. Эта величина будет наиболее близкой к истинному значению искомой величины.

В общем случае при измерении любой величины могут присутствовать все три вида ошибок, но последний будет присутствовать всегда.

Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение каждого из результатов измерения от истинной величины можно лишь при наличии данных большого числа измерений с использованием теории вероятности. Однако на практике, в лабораторных условиях проводят 3-5 измерений. В этом случае абсолютная погрешность отдельного i-го измерения будет следующей:

|∆Аi| = |АСР - Аi|,

где АСР - средняя величина размера А. Средняя арифметическая величина всех ∆Аi значений

называется абсолютной погрешностью опыта. Окончательный результат измерения может быть записан в виде

А = АСР ± ∆АСР,

где А - искомая величина, которая лежит внутри интервала

АСР ± ∆АСР.

Например, если сделаем несколько измерений длины заготовки в столярной мастерской и получим среднее значение lСР = 75.5 см, а среднее арифметическое абсолютной погрешности ∆lСР = 0.3 см, то результат запишется в виде

l = (75.5 ± 0.3) см.

Это означает, что истинное значение длины заготовки лежит в интервале от 75.2 см до 75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять среднее значение с большим числом знаков после запятой, так как от этого точность не увеличивается.

14

2. Относительная погрешность

Абсолютная погрешность измерения не характеризует точности проведенных измерений. Поэтому для того, чтобы сравнить точность различных измерений и величин разной размерности, находят среднюю относительную погрешность результата (ЕА). Относительная погрешность определяется отношением абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой величины, которая определяется в процентах:

ЕА= ∆ACP 100%.

ACP

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеренной величины. Это дает возможность оценить точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, пусть при измерении бруска длиной l = 1.51 см была допущена абсолютная погрешность 0.03 мм, а при измерении расстояния от Земли до Луны L = 3.64.105 км абсолютная погрешность составила 100 км. Может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В большинстве случаев при выполнении физических экспериментов исследуемая величина не может быть измерена не-

2 При косвенных измерениях значение физической величины получают расчетным путем на основании ее зависимости от величин, измеряемых прямо.

посредственно, а является функцией одной или нескольких переменных, измеренных непосредственно. При косвенных измерениях абсолютная и относительная погрешности результатов измерений находятся вычислением через абсолютные и относительные погрешности непосредственно измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.

Рассмотрим это более подробно. Допустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:

A = f (x, y, z ...).

Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:

1) Найти полный дифференциал функции dA = ∂∂Ax dx+ ∂∂Ay dy+ ∂∂Az dz+ .

2) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, ... соответствующими абсолютными ошибками аргументов ∆x, ∆y, ∆z, … (при этом знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс", так чтобы величина ошибки была максимальной):

dA = ∂∂Ax ∆x + ∂∂Ay ∆y + ∂∂Az ∆z + .

Применяя это правило к частным случаям, получим:

-абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то ∆X = ∆a + ∆b;

-абсолютная погрешность разности равна сумме абсо-

жителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (aCP) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (bCP) на абсолютную погрешность

первого. Если X = а b, то ∆X = aCP ∆b + bCP ∆а. Если X = a n , то

∆X = n аCPn-1 ∆а;

- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на

3) По определению найдем относительную погрешность

EA = ∆A 100% .

ACP

Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть ЕА = ∆A/Аср , но d(lnA) = ∆A/А и, следовательно, ∆(lnA) = ∆A/А.

Правило II.

1)Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, ...).

2)Дифференцируют полученный логарифм по всем аргу-

ментам.

3)Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, ... абсолютными

ошибками соответствующих аргументов ∆x, ∆y, ∆z, … (знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками

"плюс").

После вычислений получают относительную погрешность

ЕА.

4) Абсолютную погрешность находят из формулы

17

∆A = ΑCP ΕΑ..

Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.

2. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.

Рассмотрим следующие примеры:

1. В результате изучения равноускоренного движения не-

которого тела получено выражение S = v0 t + a t2/2, в котором v0 = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с2; t = (30 ± 2) с;

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда

∆S = t ∆V0 + V0 ∆t + 12 t CP2 ∆a + aCP t CP ∆t .

Так как

∆V0 = 1 м/с; ∆t = 2 с; ∆a = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с; aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для ∆S,

получим

∆S = 1 м/с 30 с + 2 с 12 м/с + 1/2 0.4 м/с2 900 с2 + 2.5 м/с2 30 c 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м ≈ 400 м.

Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда

ES = 1500400 100% = 0.266 100% = 27%.

Окончательный результат будет иметь вид:

S = (1500 ± 400) м; ЕS = 27%.

2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращающееся по окружности, пользуются формулой

18