8. Распределение Стьюдента.

Пусть – независимые с.в., причём – нормально распределённая с.в. по закону , а имеет распределение с степенями свободы. Можно показать, что с.в. имеет плотность вероятности

, . (8.1)

Распределение вероятностей с.в. с плотностью (8.1) называется распределением Стьюдента с степенями свободы или -распределением Стьюдента. Графики функции (8.1) называются кривыми Стьюдента. При любом они симметричны относительно оси ординат (рис. 8.1), поэтому при любом м.о. . Дисперсия с.в. равна . Можно показать, что при плотность вероятности распределения Стьюдента (8.1) сходится к плотности вероятности нормального распределения , причём при распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением.

Рис. 8.1

Значения квантилей распределения Стьюдента сведены в таблицу 5 в зависимости от числа степеней свободы и заданной доверительной вероятности .

9. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

Пусть требуется оценить м.о. генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии . Известно, что для выборки выборочное среднее , согласно теореме 5.2 (Тема: Первичная обработка выборок), имеет нормальное распределение . Рассмотрим с.в.

; ,

где – выборочная дисперсия. Ясно, что , а , т.е. с.в. распределена по нормальному закону . Можно показать, что с.в. имеет распределение .

Так как и независимые с.в., то с.в.

, (9.1)

где – модифицированная (исправленная) выборочная дисперсия, имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, которое не зависим от дисперсии генеральной совокупности.

Из таблицы 5 распределения Стьюдента по выбранной доверительной вероятности и числу степеней свободы находим такое , для которого выполняется условие , где – выбранный уровень значимости.

Подставив вместо выражение (9.1) и разрешив полученное неравенство относительно , получим

.

Таким образом, доверительный интервал для м.о. нормального закона распределения с неизвестной дисперсией имеет вид

. (9.2)

Рис. 9.1

Пример 9.1. Пусть в результате измерения диаметры четырёх однотипных подшипников оказались равными , , , . Считая распределение диаметров подшипников нормальным, найти доверительный интервал для истинного диаметра подшипников с доверительной вероятностью .

Δ По условию задачи , , выборочное среднее . Модифицированная выборочная дисперсия , откуда .

Из таблицы 5 распределения Стьюдента для двухсторонней критической области при трёх степенях свободы и находим квантиль . Следовательно, . Отсюда, согласно формуле (9.2), искомый доверительный интервал есть .

Таким образом, можно утверждать, что примерно в 95 % истинный диаметр подшипников находится в интервале . ▲