Теория вероятностей Тема: Основные законы и формулы комбинаторики

Тема: Вероятность события

1. Пространство элементарных событий.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. В её основе лежат определения ряда основных понятий, таких, например, как «событие», «вероятность», «случайная величина», а также исходная система аксиом.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием будем понимать осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления. Например, пусть опыт заключается в подбрасывании монеты. Результат его – выпадение герба (Г) или решётка (Р) – нельзя предсказать заранее Точно так же при стрельбе по мишени нельзя заранее (до выстрела) предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах. Аналогично при заполнении билета «Русское лото» невозможно заранее предсказать величину выигрыша.

Всякий результат опыта или наблюдения называется событием. В рассмотренных выше примерах случайных экспериментов событиями являются: выпадение герба или решётки, попадание в цель или промах, выигрыш в «Русское лото» опредёленной суммы. Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти. Все перечисленные выше события – случайные. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии годных деталей есть событие достоверное. Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными или разложимыми. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий – выпадения на гранях костей следующих пар цифр: , , , , соответственно. Далее, пусть опыт заключается в определении – возраста человека при переписи населения. Каждое конкретное значение – элементарное событие. Событие, заключающееся в определении возраста лет, – составное.

Итак, каждое составное событие представляется суммой элементарных событий. Множество всех элементарных событий в условиях данного эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается , а сами элементарные события (исходы опыта) – точками этого пространства. Событием является любое подмножество пространства элементарных событий. Будем говорить, что событие произошло, если исход опыта принадлежит .

Пример 1.1. При подбрасывании двух игральных костей пространством является множество 36 пар цифр , , …, , , …, , . Точкой (элементарным событием этого пространства) является любая такая пара цифр. Подмножество этого пространства – событие, заключающееся в выпадении шести очков в сумме на двух гранях. Таким образом, событие произошло, если при подбрасывании двух костей сумма выпавших цифр равна шести.

Пример 1.2. Пусть в партии из ста деталей возможны бракованные. Наудачу из них выбирается деталь и проверяется на годность. Среди этих деталей бракованных может быть 0, 1, 2, …, 100. Всё это – элементарные события, образующие пространство элементарных событий, состоящее из 101 точки.

Пример 1.3. Бросается монета до выпадения герба (Г). Элементарными событиями при этом являются следующие: Г, РГ, РРГ, РРРГ, …, т.е. пространство элементарных событий в данном случае состоит из бесконечного, но счётного множества элементарных событий.

Пример 1.4. Продолжительность работы радиоприёмника является элементарным событием, а пространством элементарных событий в этом случае служит временной полуинтервал .

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта. Например, пусть из урны, в которой находятся белые, синие и красные шары, извлекается один шар. Тогда извлечение красного шара исключает появление синего или белого.

Событие , которое обязательно произойдёт, если не произойдёт событие , называется противоположным событию . Например, выигрыш и проигрыш в лотерее – противоположные события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение синего шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и синие шары.